中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用） 3.2 函数的性质（讲）（解析版）

3.2函数的性质1．函数的单调性(1)函数单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．(3)函数的最值最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N；②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．2．函数的奇偶性(1)偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．(3)奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．(4)具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件．(5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.(6)函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数．3．函数的周期性(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一、函数的单调性【典例1】函数的单调递增区间是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是，故选：B.【典例2】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为，故选：C.【典例3】已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题知，当或，即或时，满足题意，故选：A.【典例4】设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数为偶函数，则，，当时，是减函数，又，则，则，故选：C.【典例5】如果奇函数在区间上是增函数，且，那么函数在区间上是（

）A．增函数，且 B．增函数，且C．减函数，且 D．减函数，且【答案】B【解析】奇函数图象关于原点中心对称，在对称的区间上具有相同的单调性，故在区间上是增函数，且，故选：B.1、定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为，故选：B．2、已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（

）A． B．(2，3)C．(1，2) D．(1，3)【答案】A【解析】∵是定义在R上的增函数，且，∴，解得，则a的取值范围为，故选：A．3、已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]【答案】A【解析】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以，故选：A.4、若偶函数在上是减函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】是偶函数，所以，在上是减函数，所以在上是增函数，所以，故，故选：B.5、偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（

）A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值【答案】A【解析】偶函数在区间上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有在上单调递增，即有最小值为，最大值对照选项，A正确，故选：A.二、函数的奇偶性【典例1】下列函数为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确；对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误，故选：B．【典例2】已知是偶函数，，则.【答案】4【解析】因为是偶函数，，所以，4，故答案为：4.【典例3】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】时，，，∴，故选：C.【典例4】已知函数，若，则（

）A．4 B．5 C．7 D．【答案】A【解析】构建在R上为奇函数，则，即，则，故选：A．【典例5】已知函数．（1）当时，判断函数的奇偶性；（2）当时，判断函数在上的单调性，并证明．【答案】(1)奇函数；(2)在上是单调递减函数；证明见解析【解析】（1）解：当时，，定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数．（2）证明：当时，，证明：取，，所以，，则，即，所以在上是单调递减函数．1、下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】AD选项为奇函数，故AD错；B选项为偶函数，当时，，单调递增，故B正确；C选项为偶函数，但在上单调递减，故C错，故选：B.2、函数是定义在上的奇函数，当时，，则.【答案】【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，故答案为:.3、是R上的奇函数，当时，，则时，（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，当时，，则，又为R上的奇函数，所以，故选：C.4、已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（

）．A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】由奇函数的性质可知

a=2，，故选：D.5、已知函数.（1）若函数的图象过点（2，2），求函数的单调递增区间；（2）若函数是偶函数，求值.【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1）由题意，，∴，即，∴函数的单调递增区间为；（2）∵函数是偶函数，∴，即，∴．三、函数的周期性【典例1】已知是以2为周期的函数，且，则（

）A．1 B．-1 C． D．7【答案】A【解析】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即，所以，故选：A.【典例2】已知定义在上的函数满足，当时，，则.【答案】【解析】由得，故是以2为周期的周期函数，所以，故答案为：.【典例3】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则.【答案】【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以，，因为当时，，所以，所以，所以，故答案为：.1、下列函数是周期函数的有（

）①

②

③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【解析】易得和