江苏省2025年秋季学期中职三年级期初考试 （职教高考）数学试卷（解析版）

第第页江苏省2025年秋季学期中职三年级期初考试（职教高考）数学试卷本试卷共4页，三大题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．本试卷共4页，包含选择题（第1题~第10题，共10题）、非选择题（第11题~第23题，共13题）两部分．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、考场、座位号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与您本人是否相符4．作答选择题（第1题~第10题），必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签宇笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑．一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在下列每小题中，选出一个正确答素，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1.下列对象能组成集合的是（）A.很大的实数 B.大于20的自然数C.班上身高很高的同学 D.班上数学成绩好的同学【答案】B【解析】【分析】由集合的概念即可得解.【详解】“很大的实数”“身高很高”“成绩好”没有具体标准，A、C、D选项中的对象都无法确定，A、C、D均不能组成集合.而大于20的自然数是确定的对象，故B正确.故选：B.2.已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C.3 D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意，先求出共轭复数，结合复数的乘法运算，及虚部的概念，即可求解.【详解】因为复数，所以，所以，所以的虚部为．故选：B．3.设向量，，，则（）A. B.5 C. D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合向量坐标的线性运算，及向量的模的坐标表示，即可求解.【详解】因为向量，，，所以，所以．故选：A．4.“”是“”（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件及必要条件的定义结合正弦函数的性质即可得解.【详解】当时，则，即充分性成立；反之，当时，，即必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要条件．故选：.5.从3台甲型和6台乙型打印机中任取3台，其中至少要甲型和乙型打印机各1台，则不同的取法共有（）A.15利 B.21种 C.63种 D.84种【答案】C【解析】【分析】分为两种情况，结合组合数公式和计数原理求解即可．【详解】由题意得，可以取甲型打印机2台，乙型打印机1台，或取甲型打印机1台，乙型打印机2台，则不同的取法共有（种）．故选：C．6.把函数的图像上的所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标伸长到原来的3倍，则所得图像的表达式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合三角函数图像的变化规律即可得解.【详解】函数的图像上的所有点向右平移个单位得函数，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标伸长到原来的3倍得函数．故选：．7.已知中，，，，以斜边为轴旋转一周，则所得的几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以斜边AB为轴旋转一周，所得的几何体为共底面的两个圆锥，结合题意代入圆锥的体积公式即可得解.【详解】如图所示，中，，，所以，，以斜边AB为轴旋转一周，形成的组合体为共底面的两个圆锥，圆锥底面半径，设共底面的两个圆锥的高分别为，则，则几何体的体积为．故选：.8.已知等边三角形的边长为1，则（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】【分析】根据向量内积的定义及运算律计算即可.【详解】由题意，．故选：C．9.已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距为（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线离心率公式及点到直线的距离公式，列出方程组求解.【详解】双曲线渐近线的方程为，即．不妨取右焦点，则焦点到渐近线的距离为，由题意知解得，所以双曲线的焦距．故选：B．10.若正实数x，y满足，则的最小值是（）A. B.4 C. D.5【答案】A【解析】【分析】根据题意结合基本不等式即可得解.【详解】正实数x，y满足，令，则，，则，由基本不等式可知，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，即的最小值是，故选：.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知，则___________．【答案】【解析】【分析】由两边同时平方可得，再根据诱导公式及二倍角公式可求出结果.【详解】由两边同时平方得，即，得，则．故答案为：.12.已知数列满足，，则___________．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合数列的递推公式，可判断数列是一个等差数列，继而求得首项和公差，即可求得数列的通项公式，代入，即可求解.【详解】因为数列满足，，所以，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，因此，所以，所以．故答案为：.13.在空间四边形中，，的中点分别是P，Q，若，，，则异面直线和所成的角的大小为___________．【答案】【解析】【分析】取中点，则，，所以为异面直线和所成的角或其补角，即可求解.【详解】取中点，连接，，，因为P，Q分别为，的中点，所以，，所以为异面直线和所成的角或其补角．在中，因为，，，则，所以，即异面直线和所成的角的大小为．故答案为：.14.已知直线与圆相交于两点，且弦的中点坐标是，点为圆上异于的一点，则面积的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合圆的标准方程求得圆心坐标和半径，结合垂径定理可求得弦心距，继而求得弦长和点到直线的最大距离，结合三角形面积公式，即可求解.【详解】因为圆，所以圆的圆心坐标为，半径，因为弦AB的中点坐标是，由垂径定理可得,所以圆心到直线的距离，所以，因此点到直线的距离最大为，所以面积的最大值为．故答案为：.15.已知函数若方程有4个不同的实根，，，．且满足，则___________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数与对数函数的图像，作出的图像，再作出直线，可得出的取值情况，从而得解.【详解】的图像开口向下，对称轴为；先作出函数的图像，再作出直线，如图，由图可得，，即，，因此，，所以．故答案为：.三、解答题（本大题共8小题，共90分）16.已知关于的不等式的解集为．（1）求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合一元二次不等式与二次函数之间的关系，及含参数的不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，结合指数函数的单调性，及二次不等式的解法，即可求解.【小问1详解】因为不等式的解集为，所以，即，所以，解得，所以实数取值范围为．【小问2详解】因为，所以指数函数在R上单调递减，又不等式，即，所以，即，所以，解得，故原不等式的解集为．17.已知函数，其中m，n为常数，且，．（1）求函数的解析式；（2）判断函数的奇偶性并说明理由．【答案】（1）（2）函数为奇函数，理由见解析【解析】【分析】（1）由，列方程组求出即可；（2）利用函数奇偶性的定义判断即可．【小问1详解】因为，，所以解得所以．【小问2详解】因为函数的定义域为，．所以函数为奇函数．18.某中职学校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名参加．现已知高一某艺术班36名同学中，有2名男同学和4名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校．现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流活动（每名同学被选到的可能性相同）（1）若在该班随机选取2名同学，求这2名同学都参加摄影社的概率；（2）求从这6名同学中选出的2名同学代表中恰有1名男同学的概率；（3）求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解.【小问1详解】由题意，该班36名同学中共有6名同学参加摄影社，所以在该班随机选取2名同学，这2名同学都参加摄影社的概率为．【小问2详解】由题意从6名同学中选出的2名同学代表共有（种）等可能的结果，其中恰有1名男同学的结果有（种），根据古典概率计算公式，从这6名同学中选出的2名同学代表恰有1名男同学的概率为．【小问3详解】从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率为．19.设的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．（1）若，且，求的面积；（2）若，且，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式可求得，由得，结合条件可得，然后由三角形面积公式求解；（2）由余弦定理得，结合已知条件可求得，由可求得，进而可得周长．小问1详解】根据正弦定理，由得，即，在中，，，所以，又，则，因为，所以．由，得，代入，解得，所以．【小问2详解】因为，即，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的周长为．20.2025年国庆假期即将来临，某海边景区的酒店有80间海景房，若每间房每天的住宿费为500元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元，则人住的房间数会相应减少间．（1）该酒店每间海景房每天住宿费为多少元时每天的收入不少于60000元？（2）若该海景酒店每天的固定消耗成本为30000元，每间入住的房间消耗成本为200元，问每间海景房每天住宿费为多少元时利润最大？最大为多少元？【答案】（1）每天住宿费在元之间时每天的收入不少于60000元（2）每天住宿费为1350元时利润最大，最大为22900元【解析】【分析】（1）由题意列出不等式求解；（2）设海景酒店每天的利润为元，得出的表达式，利用二次函数的性质求解．【小问1详解】由题意得，化简得，即，，解得，当时，；当时，，所以该酒店每间海景房每天住宿费在元之间时每天的收入不少于60000元．【小问2详解】设海景酒店每天的利润为元，则，化简得，，所以当时，，即每间海景房每天住宿费为1350元时利润最大，最大为22900元．21.如图所示，在正四棱锥中，是四棱锥的高，是斜高，且，．（1）求四棱锥表面积和体积；（2）证明：平面平面．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用棱锥的表面积和体积公式计算即可；（2）由平面得，又，所以平面，进而可证得结论．【小问1详解】在中，，由题可知四边形为正方形，所以，则，所以．在中，，所以四棱锥的表面积，四棱锥的体积．【小问2详解】由题意得，平面，平面，则，又，，平面，所以平面，又因平面，所以平面平面．22.已知数列满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件化简，并利用等比数列的定义证明即可；（2）由（1）求出等比数列的通项公式，进而求出数列的通项公式；（3）由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n项和法，求出数列的前项和.【小问1详解】因为，所以，又，则，所以，所以数列为等比数列.【小问2详解】由（1）知数列为等比数列，又，所以首项为，公比，所以，所以.【小问3详解】.23.已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作