工程数学期末复习资料

试卷代号：1080|4•据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X〜

中央播送电视大学2007—2023学年度第•学期”开啰本N(32.5,1.21),今从这批砖中随机地抽取了9块，测得

科"期末考试水利水电等专业工程数学(本)磁一抗断强度(单位:kg/cm2)的平均值为31.12,问这批砖的抗

一、单项选择题(每题3分，此题共15分)断强度是否合格(。=0.05,"0975=1.96)•

1.设A,B都是n阶矩阵(n>l),那么以下命题正确的选项

解：零假设由于应选

是(C).4.=32.5.=1.21,

B.AB=0,且AKO,那么B=0取堂本函数

:7=31.12,经计算得

由条件〃095=196

故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格.

四、证明题(此题6分)

设A,B为随机事件，试证：P(A)-P(A—B)+P(AB).

证明：由事件的关系可知…

3.假设线性方程组AX=O只有零解，那么线性方程组而(A-B)U但。，故由概率的性质可知

AX=b(D).

P(A)=P(A—B)+P(AB)

有惟•解无解有无穷多解解的情况不能

A.B.C.D.证毕.八八-C

断定

中央播送电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本

4.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放

科”期末考试水利水电等专业工程数学(本)试题年

叵，第二次再取一球，那么两球都是红球的概率是20077

一、单项选择题【每题分。此题共分)

(D).1315

.设为咒阶矩阵

5.设f(x)和F(x)分别是随机变量X的分布密度函数和分布1A,B

函数，那么对任意a<b,有PMVX&方)=().B那么以下等式成立的是(D).

二、填空题(每题3分，共15分)的秩是(B).

1.设4是2阶矩阵，且|A|-9,|3(AT)'|=.]A.2B.3C.4D.5

3.线性方程组

2.设A为押阶方阵，假设存在数A和非零"维向量x,

解的情况是(D).

使得(Ax=/lx),那么称x为A相应于特征值A的特征向A.只有零解

量.B.有惟一非零解

假设那么

3.P(A)=0.8,P(AB)=0.5,P(AB)C=.无解

(0.3),D.有无穷多解

4.设随机变量X,假设D(X)=3,那么D(—X+3)=(3)4..以卜事件运算关系正确的选项是(A).

5.假设参数。的两个无偏估计量a和o2满足5.设

是来自正态总体

那么称a比。更(有效).

的样本，其中

三、计算题(每题】6分，共64分)是未知参数，那么(B)是统计

1.设矩阵量

二、填空题(每题3分。共15分)

1.设A,B是3阶矩阵：其中

那么12A'B11=12

2•设A为”阶方阵，假设存在数A和非零咒维向量z,使得

那么称2为A相应于特

i.解；利用初等行变换得征值.人的特征向量

耳3.假设

由矩阵乘法得那么

2.求线性方程组P(AB)=1).3

的全部解•2.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形4.设随机变量X,假设

此时齐次方程组化为那么

令z「l,得齐次方程组的一个根底解系D(X)=2

令z4=o,得非齐次方程组的一个特解5.设

由此得原方程组的全部解为是来自正态总体

(其中志为任意常数)的一个样本，那么

3.设X〜N(2,9),试求三、计算题【每题16分，共64分)

(1)P(X<11)；(2)P(5<X<8).(

0(1)=O.8413,0(2)=其中

3.解：(1)求X.解：利用初等行变换得

(2)即

「5-2^X-28Y-2螂阵乘法和转置运算得

P(5vXv8)=p(v=^<2^)=P(l〃当取何值时，线性方程组

33332A

有解，在有解的情况卜求方程组的一般解.

解；将方程组的增广矩阵化为阶梯形

=<t>(2)-<t>(l)=0.9772-0.8413=0.1359

由此可知当A±3时，方程组无解.当A—3时，方程组有

解.方程组的一般解为

D.P(H<a)=2<t>(«)—1

3.设随机变量X具有概率密度

求E(X),D(X).6.设七,巧/3是来自正态总体N(〃，c2)的样本,

解：由期望的定义得那么(D)是〃无偏估计.

由方差的计算公式有

4.某种零件用量A.X+%2+'3

采用新技术后，取了9个样品，测得重量(单位：222

kg)的平均值为14.9,方差不变，问平均重量是否仍为B.一$H—X2H--

匹、证明题(此题6分)555

设A,B是两个随机事件,试证：P(B)=P(A)P(B1A)+P(万)P(BI

页)•

解：零假设H。：卢一15.由于cr2—O.09,应选取样本

球数

X一一14.9,经计算得

由条件U效，。-I.96,7.对正态总体N(4,cr2)的假设检验问题中，U检

故接受零假设，即零件平均重量仍为⑸

验解决的问题是(A).

匹、证明(此题6分)

A.方差，检验均值B.未知方差，检验均值

证明：由事件的关系可知

C.均值，检验方差D.未知均值，检验方差

而

二、填空题〔每题3分，共15分)

=p,故由加法公式和乘法公式可知

证毕，1.设A是2阶矩阵，且|A|=9,|3(AT)[=I.

|工程数学(本)模拟试题(1)

2.齐次线性方程组AX=0中A为3x5矩阵，且该方

一、单项选择题〔每题3分，共21分)

程组有非零解，那么«A)K3.

1.设A3都是〃阶矩阵(〃>1),那么以下命题正

确的选项是(D).3.P(A)=0.5,P(BA)=0.2，那么P(A+B)=0.7.

A.假设且4=(),那么8=C4.假设连续型随机变量X的密度函数的是

22

B(4+8)2=A+2AB+B2x,0<x<12

,那么

,,,/W=,E(X)=

c.[A-B)=B-A0,其它3

D.AB=0,且那么8=05.假设参数。的两个无偏估计量夕和%满足

2.在以下所指明的各向量组中，(B)中的向量组是线。(。)>。(。),那么称a比。更有效.

性无关的.

A.向量组中含有零向量三、计算题〔每题10分，共60分〕

B.任何一个向量都不能被其余的向量线性表出-1-10--200

C.存在一个向量可以被其余的向量线性表出

D.向量组的向量个数大于向量的维数1.设矩阵A=-121,B-05()

3-11223005

3.设矩阵A=201那么A的对应于特征值问：从是否可逆？假设乂可逆，求A-】B.

1-12解：因为

所以A可逆。利用初等行变换求A”，即

-4-31

即A-1=-5-31

64-1

由矩阵乘法得

2.线性方程组的增广矩阵为

那么A3表示(A)的事件.求此线性方程组的全部解.

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

A.至少有一人没射中B,二人都没

此时齐次方程组化为

射中

C.至少有一人射中D.两人都射

中

5.设X~N(0,l),①(x)是X的分布函数，那么,7"，(其中X3为自由未知量).

以下式子不成立的是(c).

A.0(0)=().5

B①D+6(x)=1分别令当=1，得齐次方程组的一个根底解系

C.①(一。)=①(。)令工3=0,得非齐次方程组的一个特解

由此得原方程组的全部解为

X=X0+kXt(其中左为任意常数)

3.用配方法将二次型

/(X),%，与)=2x；+x；+4x；+2X)X2+4X2X3

化为标准型，并求出所作的满秩变换.

解

令色”=0得。的最大似然估值

/(X),%，当)=2x：+x；++2x^2+4X2X3

令dO

四、证明题〔此题4分〕

1)

%=为+/々，%=与+4刍，%=当设A,5是随机事件试证

P(A+B)=P(AB)+P(AB)+P(AB).

即得/(2，“2，七)=2y之十;正一?7

证明：由事件衅算得A+B=A+AB,

且A与IB互斥由加法公式得

由(*)式解出X],工2，工3，即得

P(A+B)=P(A)+P(AB),

1「

M=%-5%+2)，3又有A=AB+AB,且AB与A后互斥，由加法公式

.々=必—4)，3综合而得P(A+3)=P(AB)+P(AB)+P(AB),

当=>3证毕.

工程数学(本)模拟试题(3)

一、单项选择题〔每题3分，此题共21分〕

1.设为〃阶矩阵，那么以下等式成立的是

(A).

(A)网=|网(B)|4+1=|4|+国

(C)(A+B)-1=A-'+B-'(D)

4.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1%,

第二台废品率走2%,加工出来的零件放在一起。第一台加

工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件走

合格品的概率.

解：设4：”是第i台车床加工的零件"a=1,2),B：

“零件是合格品”.由全概公式有

31

显然尸(A)=W，P(A2)=-,P(4A)=0.99,(C)3(D)4

3.设A是〃阶方阵，当条件(B)成立时，〃元线性方

P(B|A)=0.98,故

2程组AX=〃有惟一•解.

5.设X〜N(3,4),试求⑴P(5vXv9)：⑵(A)r(A)<n(B)r(A)=n

户

(X>7).(①(1)=0.8413,(C)\A\=0(D)b=0

(P(2)=0.9772,(P(3)=0.9987)

4.设A,B为随机事件，以下等式成立的是(B

解：(1)

c_aYg)尸(AB)=P(A)P(W3)(B)

P(5<X<9)=P(—<<

222P(AB)+P(A-B)

(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)

V_O7-Q

⑵P(X>7)=P(^^>一)尸(A3)=P(A)P(3)

225.随机事件A,B互斥的充分必要条件是(C).

6.设X),X,•••,X„来自指数分布

2(A)A+B=0(B)A-B=0

(C)A-B=A(D)P(A3)=()

—e°r>()

f{x,O)=<0'，其中。是未知参数，求06.以下函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是

(A).

0,x<0

4

的最大似然估计值.5.r,0<x<1

(A)/㈤=0,其它⑻

解：答案：解：似然函数为

--

D.X,+X2010-1-T

A=-111,B=20，求X.

-1035-3

解：因为(/-A)X=B,且

-02-f

即(/-A)T=-12-1

01-1

所以

-02-11I-\~\F-13-

A.B=BA+BAB.B=~BA+BAc.X=(7-A)-'B=-12-120=-24

5-3J[-33

B=BA+BAD.B=\—B01-1J

5.假设随机变量X~N(O,1),那么随机变量

y=3X—2~(D).

2.设向量组四=(1,-2,4,-1)'

A.N(—2,3)B.N(—4,3)

4=(-4,8,-16,4)',%=(-3，1，-5,2)'

C.N(—4,32)D.N(-2,32)

a4=(2,3,1,-1)',求这个向量组的秩以及它的一个极

设为，%,.%是来自正态总体2)的样本,

6.N(/,o大线性无关组.

那么(C)是〃的无偏估计.解：因为

222(axa2a3a4)

A.11+12+].凶X1+A2+x3

-1-4-32~

113111_-2813

-4-16-51

7.对给定的正态总体N。/,。？)的一个样本

-142-1

(XPX2,---,XW),12未知,求〃的置信区间,选用的样

所以，rfCTj,a,a,a)=3.

本函数服从(B).234

A./分布B./分布C,指数分布它的一个极大线性无关组是四，。3，。4(或

D.正态分布

二、填空题〔每题3分，共15分)

3.用配方法将二次型

i.设三阶矩阵A的行列式|川二L那么|A[=2.

化为标准型，并求出所作的满秩变换.

-21ro-

.假设向量组,。2

2：/=12=3,f(xt,x2,x3)=X1++4X]X2+2x1x3+2x2x3

_-2_||_1_

令.

-o-

%=*+2々+七，%二/一七，内=与

a=0,能构成R3一个基，那么数拄2.即得

3f(x[9x2ix3)=yf+yl+yj

k-2_»2y「3为

3.设4,8互不相容，且P(A)>0,那么P(3|A)=o.

由⑴式解出司，式2，%3，即得X2=)‘2+%

4.假设随机变量x~U[0,2],那么。(X)=一.

3

1-2-3Tj.

5.设3是未知参数。的一个估计，且满足£(方)=0,

或写成二011%

那么。称为，