2025-2026学年 5.4 角平分线的性质 第一课时 同步分层练习湘教版八年级数学上学期（含答案）

/湘教版数学八年级上册5.4角平分线的性质第一课时同步分层练习一、夯实基础1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是()A．12 B．15 C．18 D．242．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PAA．3 B．2 C．3 D．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2，则点D到边AB的距离为()A．3 B．2 C．52 D．4．如图，△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC5．如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠A．d1与d2一定相等 B．d1C．l1与l2一定相等 D．l16．如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，连接CF．若∠AFBA．40° B．50° C．55° D．60°7．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，且DE=39．如图，△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB=5，DE10．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC=50°，二、能力提升11．如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB=5，A．5 B．7 C．7.5 D．1012．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（）A．8.5 B．15 C．17 D．3413．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC=3，A．6 B．9 C．12 D．1814．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，LDE⟂A．1.5 B．2 C．3 D．615．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，若BC=6，AD平分∠CAB，则D到AB的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.516．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PSA．①②③ B．①② C．②③ D．①③17．如图，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，且OD⊥BC于点18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，DE⊥BC，垂足为点E，AD=19．如图，四边形ABCD中，CD=CB，AC平分∠DAB，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E.（1）求证：∠ADC+∠B=180°.（2）若AD=2，AB=4，求AF的长.20．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=9，AC=6（1）求△ABD与△（2）求CD的长．三、拓展创新21．如图，AB∥CD，BP和PC分别平分∠ABC和∠DCB，两线相交于点P，过P点的直线EF分别与射线【问题引入】（1）若EF⊥AB，求证：【探索研究】（2）若将（1）中“EF⊥【拓展应用】（3）若BC=7+m，CF=5+22．综合与实践：问题情境：已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上的一点，点C，D分别在射线OA，OB上，连接PC,PD（1）初步探究：如图1，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与（2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线OA，OB上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，（3）拓展应用：如图3，如果点C在射线OA上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，点D落在了射线OB的反向延长线上，若点P到OB的距离为3，

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于∵∠C=90°，∴DE∴△ABD的面积是1故答案为：B.

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得到2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点P作PB⊥∵OP平分∠MON，PA⊥ON∴PB=∴PQ的最小值为3．故选：C．【分析】根据角平分线的性质和垂线段最短的性质.角平分线上的点到角两边的距离相等，所以过点P作PB⊥OM于B，则PB=PA=3，又因为垂线段最短，所以PQ的最小值就是PB的长度，即3.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠C=90°，

∴点D到边AB的距离=DC=2.故答案为：B.

【分析】首先根据平行线的性质，得出∠ADB=∠DBC，再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ADB，进而得出∠ABD=∠DBC，再根据角平分线的性质定理可得出点D到边AB的距离=DC=2.4．【答案】15【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，

∵AD平分∠BAC,∠∴S△ABD=1故答案为：15．

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，如图，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=4，然后根据三角形面积公式列式计算可得答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，过点P分别作OA,OB的垂线，垂足分别为E、F∵点P在∠AOB∴PE=由平行线间间距相等可知d1∴d1由于l1和l故选：A，【分析】过点P分别作OA,OB的垂线，垂足分别为E、F，根据角平分线性质可得6．【答案】B【解析】【解答】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE∴FZ=同理FY=∴FY=FZ，FZ⊥∴CF平分∠ZCY∴∠FCZ∵∠AFB∴∠FBG又∵∠GBC，∠∴2∠FBG∴∠CBG∴∠ACB∴∠ZCY∴∠BCF故答案为：B．【分析】本题先根据角平分线的性质得到FZ=FY，继而根据角平分线的判定定理得到7．【答案】6【解析】【解答】解：∵OC平分∠AOB，且PE∴PF=故答案为：6．【分析】根据角平分线性质即可求出答案.8．【答案】8【解析】【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE∴CD=∵BD=5∴BC=故答案为：8．【分析】本题根据角平分线的性质可得CD=DE=3cm，根据9．【答案】5【解析】【解答】解：如图，

过点D作DF⊥AB于点F∵BD是△ABC的角平分线，∴DF∵AB=5，∴DF∴△ABD的面积=故答案为：5．【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，得DF10．【答案】解：∵AD平分∠BAC，BE是高线，且∠BAC=50°

∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=25°

∵【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系，根据已知条件利用三角形内角和求出相关角的度数，再利用三角形外角性质定理求出∠ADC．11．【答案】A【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图：∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC∴DF=∴△ABD的面积=1故答案为：A。【分析】本题做出辅助线后，由角平分线的性质得DF=DE=212．【答案】C【解析】【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，∴点O到△ABC各边的距离相等，而OD⊥BC，OD＝4，∴点O到△ABC各边的距离为4，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴12×AB×4+12×AC×4+∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周长为17．故答案为：C．【分析】利用角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式及△ABC的面积可求出△ABC的周长.13．【答案】B【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OB于E，如图所示，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA∴PE=∴S△故答案为：B．

【分析】过点P作PE⊥14．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11，AC=5，∴故答案为：C.【分析】连接CD，BD，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，证得Rt△15．【答案】A【解析】【解答】解：过D点作DE⟂∵AD平分∠∴∵∠∴∴∴∴即D到AB的距离为2.故选：A.【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形的性质求出DE，得到答案.16．【答案】B【解析】【解答】解：①∵PR=PS，PR∴AP平分∠∴∠RAP在△ARP与△∠RAP∴△ARP∴AS=AR②∵AQ∴∠QAP∵∠QAP∴∠RAP∴QP∥AR③在△BPR与△QSP中，只有条件PR=综上可得，正确的结论是①②，故答案为：B.

【分析】①由题意，用角角边可得△ARP≌△ASP，然后由全等三角形的对应边相等可求解；

②由等边对等角和等量代换可得∠17．【答案】36【解析】【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥∵OB,OC分别平分∠ABC和∠∴OE=∵△ABC的周长是24cm,OD⊥∴S△故答案为：36cm【分析】连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB,18．【答案】29°【解析】【解答】解：∵∠A=90°，∴∠ACB∵∠A=90°，DE⊥∴CD平分∠ACB∴∠BCD故答案为：29°．【分析】先由角平分线的判定定理可得CD平分∠ACB，再由直角三角形两锐角互余可得∠19．【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，CF⊥AB，CE⊥AD，

∴CE=CF在Rt△CDE和Rt△CBF中，CD=CB∴∠ADC=∠CBF

∵∠CBF+∠B=180°

∴∠ADC+∠B=180°（2）解：在Rt△AEC和Rt△AFC中，CE=CFAC=AC

∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)

∴AF=AE=AD+DE=2+DE

∵Rt△CDE≅【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得CE=CF，根据全等三角形判定定理可得Rt△CDE≅20．【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，

∵在△ABC中，AD是它的角平分线，

∴DE=DF，

∵AB=9，AC=6，

∴S△ABD=12AB⋅（2）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，

由（1）已得：S△ABD=92DF，S△ACD=3DF，

∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=15【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式．（1）过点D作DE⊥AB，作DF⊥AC，利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）可得DE=（2）过点D作DE⊥AB，作DF⊥AC，过点A作AG⊥BC，先根据等面积法将△ABC的面积表示为152DF（1）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥∵在△ABC中，AD∴DE=∵AB=9，AC∴S△ABD=∴S△∴△ABD与△ACD的面积之比为（2）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作由（1）已得：S△ABD=∴S△∵BC=10，AG∴S△∴152∴DFAG又∵S△∴CD=21．【答案】证明：（1）作PM⊥BC于M，如图．

∵AB∥CD，EF⊥AB，

∴EF⊥CD，

∵BP和PC分别平分∠ABC和∠DCB，PM⊥BC，

∴PE=PM，PM=PF，

∴PE=PF．

（2）成立，

方法一：过点P作GH⊥AB于G，交CD于H，如图．

则PG⊥AB，

∵AB∥CD，

则PH⊥CD，

∴∠PGE=∠PHF=90°，

由（1）得：PG=PH，

在△PGE和△PHF中，

∠PGE=∠PHFPG=PH∠GPE=∠HPF，

∴△PGE≌△PHFASA，

∴PE=PF．

方法二：延长BP交CD于点M，

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，∠EBP=∠FMP，

∵BP平分∠ABC，

∴∠EBP=∠CBP=12∠ABC，

同理，∠BCP=12∠BCD，

∴∠CBP【解析】【分析】（1）作PM⊥BC于M，由AB∥CD，（2）方法一：过点P作GH⊥AB于G，交CD于H，则PG⊥AB，PH⊥CD，由（1）得：PG=PH，结合已知，用角边角可证△PGE≌△PHF，由全等三角形的对应边相等可得PE=PF；

方法二：延长BP（3）由方法二（2）△BPE≌△MPF可得出PE22．【答案】（1）PC=PD（2）解：还成立，理由如下：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，

∵OM平分∠AOB，∠PEC=∠PFD=90°，

∴PE=PF，

∵∠AOB=90°，

∴∠EPF=360°−∠DEO−∠AOB−∠DFO=90°，

∵∠CPD=90°

∴∠CPD（3）OC的长为7【解析】【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD，

故答案为：PC=PD；

（3）过点P作PE⊥OA,PF⊥OB，垂足分别为E,F，

∴四边形OEPF为矩形，

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE=PF=3，四边形OEPF为正方形，

∵∠AOB=90°，∠OEP=90°,∠OFP=90°，

∴∠EPF=90°，

∵∠