2025-2026学年 5.4 角平分线的性质（2） 学案湘教版数学八年级上学期（含答案）

/第5章直角三角形5.4角平分线的性质（2）►学习目标与重难点学习目标：1.理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素，运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。2.通过分析例题中的条件关联，提升从复杂图形中提炼核心关系的逻辑推理能力。3.体会几何定理在简化证明、解决实际位置问题中的价值，增强用数学知识解决几何问题的意识。学习重点：角平分线性质定理与逆定理的实际应用，能利用“距离相等”与“角平分线”的互逆关系解决问题。学习难点：从综合条件（如面积相等、中点、垂直）中提炼出“点到角两边的距离关系”，准确区分性质定理与逆定理的适用场景。►学习过程一、复习回顾【回顾】角平分线的性质定理和它的逆定理是什么？二、探究新知探究：角平分线的性质及逆定理的应用教材第179页【说一说】如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AB，AC边上的点.若BE=CF，S△BDE=S△CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗？【说一说】如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AB，AC边上的点.若BE=CF，S△BDE=S△CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗？教师提问：三角形的面积公式是什么？三角形的面积=12教师讲授：由于S△BDE=S△CDF，BE=CF，所以点D到BE，CF的距离相等，因而点D在∠BAC的平分线上.【思考】如图，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点.需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？问题1：要证明它们是平分线，根据角平分线的性质定理的逆定理，需要满足什么核心条件？教师讲授：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.即证明MN=ME，MN=MF.问题2：由M是EF的中点可以得到什么信息？问题3：添加一个什么条件可以使得MN=ME，MN=MF？解：添加条件MN=ME即可.因为ME⊥CD，MN⊥AC，MN=ME，所以点M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.又M是EF的中点，则MF=ME=MN.同理可证AM是∠CAB的平分线.三、例题精讲例2如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.例2如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.解:因为AP是∠CAD的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，所以PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，因此BE+PF>PB.

【做一做】任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.【做一做】任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等.任务1：作∠BAC的角平分线；任务2：作∠BAC的角平分线.教师提问：这两条角平分线有几个交点？该交点到三边的距离有什么关系？教师讲授：在△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交于点P，如图，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F.因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，所以PD=PE.因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC，所以PD=PF.故PD=PE=PF，因此P为所求作的点.四、课堂练习【知识技能类作业】必做题1.三角形中到三条边距离相等的点是（）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点2.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是射线OBA．PQ>5 B．PQ≥5 C．PQ<53.如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长AB=10cm，支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当CD⊥AB，且射线DB恰好是A．3cm B．5cm C．6cm选做题4.如图，一个加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离是80m，则它到公路n的距离是m5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面积为45，△6.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB．下列条件：①【综合拓展类作业】7.如图，在△ABC中，AD是角平分线，E，F分别为AC，AB上的点，且∠AED+∠AFD=18五、课堂小结这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？六、作业布置1.如图，直线l1A．1处 B．2处 C．3处 D．4处2.东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得SA．∠BAC的角平分线与ACB．∠BAC的角平分线与ABC．∠ABC的角平分线与ACD．∠ABC的角平分线与BC3.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点F，作DE⊥AC，垂足为E，连接AD，若∠BADA．1 B．1.5 C．2 D．2.54.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，CD（1）连接DP，求DP的最小值；（2）若∠B=30°，求答案解析课堂练习：1.【答案】D【解析】解：三角形中到三条边距离相等的点是三条角平分线的交点，故选：D2.【答案】B【解析】解：如图，过点P作PE⊥∵OP是∠AOB∴PD=∵Q是OB上任一点，∴PQ≥∴PQ≥5故选：B．3.【答案】B【解析】解：过点B作BF⊥∵C是AB的中点，AB=10∴BC=∵CD⊥AB，BF⊥DE，射线∴BC=故选：B．4.【答案】80．【解析】解：∵加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，且加油站到公路m的距离是80m∴加油站到公路m和公路n的距离是相等的，即它到公路n的距离是80m故答案为：80．5.【答案】25．【解析】解：延长AD交BC于E，如下图，∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD∴∠ABD=∠EBD在△ABD和△∠ABD∴△ABD∴AD=∴S△ABD=∴S△故答案为：25．6.【答案】①②③④．【解析】解：∵∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分线，故①正确；

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE

∴OC是∠AOB的平分线，故②正确；

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠ODP=∠OEP=90°

∵OD=OE，OP=OP

∴Rt△ODP≌Rt△OEPHL

∴∠DOP=∠理由：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥∵AD平分∠BAC，

∵∠AED+∠AFD∴∠AFD在△FMD和△END中，∴△FMD≌△END（AAS），作业布置：1.【答案】D【解析】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，如图，∴货物中转站可以供选择的地址有4处．故答案为：D.

2.【答案】A【解析】解：如图：∵AD平分∠BAC，点H在AD∴点H到AB、AC的距离相等，∵BE是AC边上的中线，∴S△ABE=∴S△∴S△∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC故答案为：A．

3.【答案】A【解析】解：如图，作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接∴∠H∵∠BAD∴DA⊥∵BD平分∠ABC，且DA⊥BA∴HD=∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC在△EDC和△∠DEC∴△EDC∴EC=∵AC=7∴AE=