2025-2026学年 1.3二次函数的性质培优训练 浙教版九年级数学上学期（含答案）

/1.3二次函数的性质培优训练浙教版2025-2026学年九年级上册（一）知识梳理1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2.的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3.的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．4.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．5.二次函数的性质1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．5.二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2.一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．（二）知识应用一、选择题1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（

）A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大C．对称轴是直线 D．与y轴的交点是2．已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．64．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（

）A．B．点、在二次函数图象上，则C．当时，随增大而减小D．若方程有实数根，则5．同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（

）A．B． C． D．二、填空题6．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是7．若抛物线与直线只有一个公共点，则的值为．8．已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线．9．已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3）；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有个．10．已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则．三、解答题11．已知抛物线，若此抛物线与轴只有一个公共点且过点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围12．已知抛物线的顶点坐标为．(1)求a，c的值，并写出函数表达式．(2)已知在该抛物线上．①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标．②若，时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．13．抛物线（a，b，c是常数，）．(1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式；(2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：；(3)若，，和是抛物线上的两点，对于都有，求的取值范围．14．已知二次函数，经过点，对称轴为直线．(1)求二次函数的表达式；(2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求的取值范围．(3)当时，二次函数的最小值为，请求出的值，并说明理由．15．已知函数（a为常数）．(1)求证：函数图象与x轴总有交点；(2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围．16．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点．(1)求该二次函数的表达式；(2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；(3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值．17．已知二次函数的图象的对称轴是直线，并经过点．(1)求二次函数表达式；(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（当在点的左侧），当时，求的值；(3)若，当时，二次函数的最大值是，求的值．18．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，最小值称为函数的“最劣纵横值”．例如：点在函数的图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，最小值为，所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4．(1)点的“纵横值”为___________．(2)已知二次函数，当时，求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”．(3)若二次函数的图象顶点在“纵横值”为5的函数图象上．①二次函数的“最优纵横值”为，求该二次函数的表达式．②当时，设二次函数的“最优纵横值”为，“最劣纵横值”为，且，求的值．19．已知二次函数的图像过三点，直线l解析式为，(1)求二次函数解析式(2)求证：此抛物线与直线l无公共点(3)若与l平行的某直线与抛物线只有一个交点P，求P点坐标(4)若是直线l上的一个动点，求P、Q两点距离的最小值20．二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10．(1)求函数的解析式；(2)设，当时，求函数的最小值．21．已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点．(1)若，求抛物线顶点坐标；(2)在（1）的条件下，当时，的取值范围；(3)当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值．参考答案一、选择题1．C【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的一般式，通过配方化为顶点式，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴的交点，进而判断各选项的正确性．【详解】解：A、二次项系数为，故开口向下，选项A正确．B、∴开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，选项B正确．C、由B知，对称轴为直线，故选项C错误．D、令，得，故与轴交点为，选项D正确．故选：C．2．A【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据图象过得出a，b的关系是解决问题的关键．【详解】解：将点代入二次函数，得，，二次函数的顶点坐标为，其中，又二次函数的顶点在第三象限，，，代入，得，，解得，的取值范围是．故选：A．3．A【分析】本题考查了求代数式的值，二次函数的性质，由二次函数的性质得，，求出、的值，代值计算即可．【详解】解：时，函数取最大值3，，，解得：，，，故选：A．4．D【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的对称性求出其与轴的另一个交点在点和之间即可判断A；根据二次函数性质可直接判断B，C；根据二次函数性质得出函数值，即可判断D．【详解】解：抛物线顶点为，其对称轴为，其与轴的另一个交点在点和之间，当时，，选项A错误，，，选项B错误，对称轴，时，随的增大而增大，选项C错误．抛物线的顶点为，开口朝上，函数值，直线与抛物线有交点，则．即有实数根，则，选项D正确．答案：D．5．A【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限，当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限，∴符合题意的是选项，故选：．二、填空题6．，【分析】此题考查抛物线与坐标轴的交点问题．根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解．【详解】解：由题意可知：二次函数的对称轴是，关于的对称点是．则一元二次方程的两个实数根是，．故答案为：，．7．【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．当抛物线与直线只有一个公共点，联立方程，根据，解出，即可．【详解】解：抛物线与直线只有一个公共点，，，，解得：．故答案为：．8．【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，再根据对称轴计算公式求解即可．【详解】解：∵方程的两根为2和，∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，∴抛物线的对称轴是直线，故答案为：．9．4【分析】（1）由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴位置确定的符号，可对（1）作判断；（2）根据时，函数值小于，即可求解；（3）根据对称性可得：当时，，可作判断；（4）根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；（5）根据对称轴为，即可判断；（6）根据对称轴为：可得：，结合时，，可作判断；【详解】解：（1）该抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在轴右侧，、异号，；抛物线与轴交于正半轴，，；故（1）正确；（2）根据函数图象，可得当时，函数值小于，即，故（2）不正确；（3）根据抛物线的对称性知，与的函数值相等，故当时，，即；故（3）正确；（4）对应的函数值为，对应的函数值为，又时函数取得最大值，当时即，故（4）错误（5）∵对称轴为：,，，故（5）正确.（6）∵对称轴方程，，，当时，，∴，，故（6）正确；故正确的有（1）（3）（5）（6），共5个故答案为：．10．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，设，，则由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合计算得出，从而可得，由二次函数的对称性计算可得，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．【详解】解：设，，∴、是方程的两个根，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵抛物线上有两个点，，∴对称轴为直线，∴，∴，∴，当时，．故答案为：．三、解答题11．(1)(2)或【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数与不等式是解题的关键．（1）由题意得：，计算求解，进而可得解析式；（2）将代入，可求，即，将代入，可求，联立，，计算求解，然后根据函数与不等式组的关系求解即可．【详解】（1）解：由题意得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：将代入得，，即，将代入得，，解得，，联立，，解得，，∴，∵，∴或．12．(1)，，(2)①；②m的值为或【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为可得，，求出a，c的值，即可得解；（2）①由坐标平移的性质可得，由点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线，求得，进而可得，代入二次函数的解析式计算即可得解；②由抛物线解析式可得该抛物线的开口向上，且对称轴为直线，分三种情况：当，即时，此时随着的增大而减小；当时，，且；当时，，且；分别利用二次函数的性质计算即可得解．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为．∴，，∴，，∴抛物线的表达式为；（2）解：①将点向右平移6个单位后得到点B，∴，∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线，∴，∴，∴，将代入抛物线解析式可得：，∴，∴；②∵抛物线的表达式为；∴该抛物线的开口向上，且对称轴为直线，当，即时，此时随着的增大而减小，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，∴，解得：或，∵，∴；当时，，且，此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，∴，解得：或，∵，∴；当时，，且，此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，∴，解得：或，∵，∴此种情况不成立；综上所述，的值为或．13．(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、，得到一元二次方程（a，b，c是常数，）的两根为k、，利用一元二次方程的根与系数的关系定理得到，，代入化简即可得出结论；（3）利用抛物线上点的坐标的特征得到，依据题意得到不等式，利用分类讨论的思想方法结合不等式的性质得到关于a的不等式，解不等式即可得出结论．【详解】（1）解：若抛物线的图象经过，．，该抛物线的图象不经过点C．该抛物线的图象经过，，，解得：，该抛物线的函数解析式为；（2）证明：抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、，一元二次方程（a，b，c是常数，）的两根为k、，，，，，．；（3）解：，，，是抛物线上的点，，对于都有，，．．①当时，则，，，，．②当时，则，，，，，．综上，a的取值范围为或．14．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用平移的性质得到平移后的点的坐标，再利用二次函数的性质解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当时，即时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可；②当时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可；③当时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可．【详解】（1）解：由题意，二次函数经过点，对称轴为直线，，解得二次函数的表达式．（2）由题意，点，，连结，将向上平移5个单位长度，设平移后的点的对应点为，点的对应点为，平移后的，点，，又令，即，，抛物线与轴的交点为和．将再向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，．令，则，或，的长度为5，．综上，的取值范围为．（3）由题意，二次函数的对称轴为直线，，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．①当时，即时，，最小值为．（不合题意，舍去）或．②当时，，二次函数的最小值为，不合题意，舍去．③当时，，二次函数的最小值为，（不合题意，舍去）或．综上，或．15．(1)见解析(2)【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数最值，分类讨论思想的运用是解题的关键．（1）分当时，和当时，利用根的判别式即可判断；（2）根据，原不等式转化为：，分情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．【详解】（1）解：当时，函数为，与轴交于，当时，，∴方程有两个不相等的实数根，∴函数与轴总有交点；（2）解：∵，∴原不等式转化为：，分情况讨论：①当时，函数为：，当时，，满足条件；②当时，函数的图象开口向上，此时对称轴，∴当时，随的增大而减小，当时，，∴当时，函数恒成立；③当时，函数的图象开口向下，对称轴，此时由图象性质可得当时，没有最小值，即不成立；综上所述，满足条件的的取值范围是．16．(1)(2)3(3)3或【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）利用函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再求得时的m值即可；（3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点，∴，，则，∴该二次函数的表达式为；（2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为，∵所得图象与x轴只有一个交点，∴方程有两个相等的实数根，∴，解得；（3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，，∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为，∴当时，最大值，最小值，由得，解得，（舍去）；当时，最大值，最小值，∴不满足，不符合题意；当时，最大值为，最小值为，由得，解得，（舍去），综上，t的值为3或．17．(1)(2)(3)【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键．（1）根据对称轴是直线和经过点，可列二元一次方程组，即可求得解析式；（2）设，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出，从而得出上移距离；（3）分和两种情况来讨论函数的最大值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解．【详解】（1）解：由题意可得，，，；（2）解：由题意可得，设，，，把代入，得，；（3）解：①当时，当时，，（舍）②当时，当时，，，，综上所述，．18．(1)6(2)“最优纵横值”为10；“最劣纵横值”为(3)①．②或【分析】该题是自定义类函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意．（1）根据“纵横值”的概念解答即可；（2）将二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为顶点式，结合函数图象的性质求出它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”；（3）根据二次函数图象的顶点在“纵横值”为5的函数图象上，得到顶点坐标为．由此得到函数解析式．①根据“最优纵横值”定义求出a的值即可；②分别计算出当时，当时y的值，得出抛物线的开口向下，进而得到函数的增减性，再分情况解答．【详解】（1）解：点的“纵横值”为，故答案为：6．（2）解：二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为．∵，∴抛物线的开口向下，∵对称轴为直线，∴当时取最大值，“最优纵横值”为10．当时，；当时，．∵，∴当时取最小值，“最劣纵横值”为．（3）解：二次函数的对称轴为．∵顶点在“纵横值”为5的函数图象上，∴顶点在的图象上．∴顶点坐标为．∴．①∵的“最优纵横值”为．∴，解得．∴二次函数的表达式为．②∵，∴函数的顶点坐标为．当时，；当时，．∵，∴抛物线的开口向下．∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．分以下几种情况：当，即时，．∴．解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）；当，即时，．∴．解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）；当，即时，当，即时，．∴．解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）；当，即时，．∴．解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）；综上所述，的值为或．19．(1)(2)见解析(3)(4)【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式和直线l解析式联立方程组，整理得出，然后判断即可；（3）设该直线解析式为，联立方程组，整理得，结合已知可得出，求出m的值，然后求出方程组的解即可；（4）设直线l与x、y轴交于点A、B，求出A、B的坐标．则可求出，，，根据勾股定理求出，根据垂线段最短得当时，最小，此时，即可求解．【详解】（1）解：把代入，得，解得，∴；（2）证明：联立方程组，整理得，∴，∴该方程无实数根，∴方程组无解，∴此抛物线与直线l无公共点；（3）解：设该直线解析式为，联立方程组，整理得，∵与l平行的某直线与抛物线只有一个交点，∴方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴方程为，解得，当时，，∴点P的坐标为．（4）解：设直线l与x、y轴交于点A、B，当时，，解得；当时，，∴，，又，∴，