广西壮族自治区邕衡教育-名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联合测试数学试题（北师大版）+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广西壮族自治区邕衡教育—名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联合测试数学试题（北师大版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线y=x−A．30∘ B．C．135∘ D．2．在空间直角坐标系O−xyz中，点M−3,2,A．3,−2C．3,−23．抛物线y=4x2的焦点A．0,1 C．0,1164．圆D：x+32+y−4A．外切 B．相交C．外离 D．内含5．若直线l:ax+y+3A．−1 B．−1C．2 D．−6．若方程x22+m+A．−2,4C．−∞,−2∪7．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（

）A．A77 C．A44⋅8．抛物线C的标准方程为y2=4x，直线l与抛物线C交于A，B两点，取线段AB的中点为M，过M作直线x①若直线l过抛物线C的焦点，则AB=2MM1；②若Ax1,y1，BA．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．下列各式正确的是（

）A．C52⋅C．C32+10．下列说法正确的是（

）A．直线l：3x+4B．过点P3,1且与圆x−C．圆x2+y2D．过点P−2,3作圆x−12+11．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，G分别为A．AB．B1DC．异面直线EF,D．在四边形AA1D1D内（含边界）存在唯一的点三、填空题12．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则PB|13．椭圆x2m+y14．已知函数fx=x+1xx四、解答题15．已知二项式展开式1+(1)a0和a(2)求a016．在平面直角坐标系O−xy中，A6,0，B0,8，直线l(1)求直线l的方程和圆C的方程；(2)P是圆C上的动点，求P到直线l距离的最大值.17．一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖.(1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率；(2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率；(3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差.18．在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面A(1)证明：AD(2)求直线BC与平面E(3)求锐二面角M−19．已知：A1−2,0，A22,0，F1,0，以原点为端点的射线OP分别与圆x2+y2=4及圆x2+y2=(1)当∠xOP(2)求动点T的轨迹C的方程；(3)若过F1,0的动直线与轨迹C交于异于A1，A2的P、Q两点，直线A1P答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广西壮族自治区邕衡教育—名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联合测试数学试题（北师大版）》参考答案题号12345678910答案BBCABCDCACABD题号11答案ACD1．B【分析】根据斜率与倾斜角关系即可得到答案.【详解】设其倾斜角为α，则tanα=1则α=故选：B.2．B【分析】根据点关于平面对称的特点即可得到答案.【详解】依题意知，横坐标，纵坐标不变，竖坐标变为原来相反数，则点N坐标为−3故选：B.3．C【分析】根据抛物线的定义进行求解即可.【详解】因为抛物线y=4x易知2p=14，所以故选：C.4．A【分析】求出两圆圆心，再根据两圆位置关系的判断即可得到答案.【详解】两圆的圆心分别为D−3,4，E0DE故选：A.5．B【分析】根据两直线平行，可得出关于实数a的等式与不等式，解之即可.【详解】因为直线l:ax则aa−1=2故选：B.6．C【分析】由双曲线的标准方程的定义求得答案.【详解】依题有2+m4−m<故选：C.7．D【分析】利用插空法，先排好女生，然后再排男生，求解计算即可.【详解】先排好3位女生，有A33种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有根据分步乘法计数原理，共有A4故选：D.8．C【分析】根据抛物线定义及梯形中位线性质可知判断①；取特殊情况直线l斜率不存在，因为直线不过定点，即可知道y1y2的值的情况，判断②；设A,B坐标，由题意得OA⋅【详解】如图，过点A,B分别作AA1⊥由抛物线的定义可知AA且在梯形ABB1A1当直线l斜率不存在时，因为直线l不过定点，∴y1依题设Am24,m，B∴m2n2∵S∴4==512∵m2+n即S△AOB2故下列结论中正确的个数为：2.故选：C.9．AC【分析】根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可.【详解】对A选项，C5对B选项，左边=7×对C选项，方法一：C32+对D选项，C6故选：AC.10．ABD【分析】判断圆心到直线l的距离与半径的关系，即可判断A选项；讨论斜率存在和不存在，从而得到直线方程，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，解得切线方程，判断B选项；比较两圆的圆心距与半径差的大小关系，得到圆与圆的位置关系，判断C选项；由切点弦公式可直接写出结果，判断D选项.【详解】对于A，圆心0,0到直线l的距离对于B，过P3,1的斜率不存在的直线l则圆心2,0到直线l1的距离d当切线斜率存在时，设切线方程为l2:y则圆心2,0到直线l2∴1−k=∴k=0，即对于C，两圆心为6,−2，4,0两圆心距离d=对于D，由切点弦方程得−2−1x−故选：ABD.11．ACD【分析】由空间向量的和差计算得结果判断A选项；在正方体中由线面垂直得到线线垂直，然后得到过点A1且与直线B1D垂直的平面，所得平面与A1EF不重合，判断B选项；由异面直线夹角定义求得平面角，然后由直角三角形边角关系求得角的正切值，判断C选项；方法一：过点G作平面平行于平面A1EF，通过线线平行证明所做平行平面与平面A1ADD1的交线经过点D且平行于【详解】AD在正方体中，A1C1⊥平面BB1D同理BC1⊥B1D，A1C1∴B1D⊥平面A1B∴不与面A1BC1重合的面连接EG,GF因E,G分别为AB,C∵AD⊥平面GFD，∴EG⊥平面GF所以GF=5，易知E连接GD1，则易知GD1∥EA1，在GD上取点M，连接MF，使MF∥GD1，EA1∥MF，平面A1EF与平面A对D选项的解法二以A为原点，AB,AD,AA设正方体棱长为6，则A10,0,6，则设P0,y,z且A1E=3,面A1EF的一个法向量为n=x解得面A1EF的一个法向量为n=6,1∴−18+y−6+3∴0≤y+3z即P坐标具有唯一性为0,故选：ACD.12．1【分析】根据条件概率公式进行计算即可.【详解】掷出点数是偶数记为事件A，有3种情况：2，4，6，所以PA由于掷出点数为4记为事件B，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为AB所以PAB=故答案为：1313．2或4【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类求解.【详解】椭圆x2m+当椭圆焦点在x轴上时，m−3=当椭圆焦点在y轴上时，3−m=所以m=2或故答案为：2或414．6【分析】先判断曲线C的图象是对勾函数的图象，然后确定曲线C的两条渐近线为y轴和直线y=3x【详解】∵xy=3x2当x为正数且趋向于正无穷大时，图象不断接近于直线，所以曲线C的两条渐近线为y轴和直线y=曲线C焦点所在直线与渐近线夹角为90°−60∴e2∴e2=8∴e=故答案为：6-15．(1)a0=(2)729【分析】（1）根据二项式定理进行求解即可.（2）利用赋值法x=1和【详解】（1）a0=C（2）令x=1，得令x=−1a==72916．(1)y=−(2)49【分析】（1）先求出kAB，进而可求出直线l的方程，然后确定AB为圆C（2）根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求解即可.【详解】（1）易知kAB=8-△AOB是直角三角形，圆C是△AO∴圆心C为6+02∴圆C的方程为x−（2）由（1）知直线l的方程为4∴圆心C到直线l的距离d=∴P到直线l距离的最大值为5+17．(1)1(2)2(3)分布列见解析，EX=【分析】（1）列出小李抽奖获得5元的三种情况，然后根据全概率公式求得概率即可.（2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，分别求出PA（3）先列出X的所有取值，然后求出对应的概率，即可得到X的分布列，然后根据期望和方差公式进行求解计算.【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一，二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”；根据全概率公式得所求的概率为110（2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，PA=3由条件概率得PB|A（3）依题意得X的所有取值为0，2，5PX=0=1X分布列：X025P511EX=018．(1)证明见解析(2)2(3)161【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明AD⊥平面（2）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面EFC1的法向量坐标和（3）先利用坐标法求出平面MEF的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式列出锐二面角【详解】（1）证明：取AD中点O，连接O∵A1A=∵G，O为上下两底中点，∴GO⊥AD，∵F为正方形A∵GO与FO相交于点O，∴AD⊥（2）由（1）知GO⊥AD，∵平面A1∴GO⊥平面AB如图建立空间直角坐标系在等腰梯形A1ADD1中，A1A∴E2,2,0，F0∴CB=4,∴设平面EFC1∴由n1⋅EF=0n1⋅EC∴cos设直线BC与平面EFC1所成角为θ（3）设M为m,0,∴设平面EFM的一个法向量∴由n2⋅EF=0n∴cos∵−1≤m≤1，∴设锐二面角cos令fλ因为17≤λ≤23，所以123所以当1λ=123时，此时cosθ取最小值为319．(1)