贵州省名校协作体2025-2026学年高三质量监测（二）数学试题（解析版）

第1页/共1页贵州省名校协作体2025-2026学年高三质量监测（二）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数、指数函数单调性解出不等式，再利用集合交并集定义即可得到答案.【详解】因为集合，集合，所以，.故选：B.2.某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（）A.21 B.21.5 C.22 D.22.5【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.【详解】，则样本数据的60%分位数为.故选：B.3.若“，成立”为真命题，则实数的最小值为（）A. B. C. D.不存在【答案】A【解析】【分析】由题意可得，结合函数的单调性求出在上的最大值即可.【详解】由题意得，因为函数在单调递减，所以时，，所以，因此实数的最小值为1.故选：A.4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断双曲线的焦点位置，由渐近线方程得到，再求离心率即可.【详解】因双曲线的焦点在轴上，由其渐近线方程，可得，则双曲线的离心率为.故选：B.5.已知函数，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别解对应的不等式，再根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数，所以由得；由得，所以，所以．因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B．【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及对数不等式的解法，属于基础题型.6.已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【解析】【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量与向量的夹角为，即.故选：B.7.已知，则（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案.【详解】由题，得，则或，因为，所以，.故选：A8.某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去A，B餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率.【详解】设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅，则,，则,故,,则，故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要求出第2天去A，B餐厅的概率，继而结合全概率公式求解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的首项为1，公比不为1，若，，成等差数列，则（）A.的公比为 B.的公比为C.的前10项和为 D.，，成等差数列【答案】BCD【解析】【分析】根据等差中项的性质，利用等比数列的通项公式基本量列式求解公比判断ABD，根据等比数列的求和公式求和判断C.【详解】设的公比为q，因为，所以，因为，，成等差数列，所以，因，所以，因为，所以，故A错误；B正确；的前10项和为，故C正确；因为，所以，，也成等差数列，故D正确.故选：BCD10.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（）A.的图象关于点对称B.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象C.若在上有3个极值点，则m取值范围是D.若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】根据三角函数解析式的求法求出的解析式，利用代入检验法可判断；利用三角函数图象平移及诱导公式可判断；利用换元法结合正弦函数的图象及性质分析可判断.【详解】由图知，，所以，所以，，因，所以，所以，对于：，故错误；对于：，故正确；对于：，，根据正弦函数的图象可得，在上有3个极值点，则，解得，故正确；对于：，，，由图可知，上只有一个实数根，则，故错误.故选：.11.圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，则（）A.设内切球的半径为，外接球的半径为，则B.设内切球的表面积，外接球的表面积为，则C.设圆锥的体积为，内切球的体积为，则D.设、是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为【答案】ACD【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为（即为的重心），即可求出的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球的体积公式判断C，所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，即可求出，不妨设为上的点，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，即可求出截面圆的半径，从而判断D.【详解】作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，又，所以，设球心为（即为的重心），所以，，即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故A正确；设内切球的表面积，外接球的表面积为，则，故B错误；设圆锥的体积为，则，内切球的体积为，则，所以，故C正确；设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则，过点作交于点，则，所以，即，解得，所以平面截内切球截面圆的半径，所以截面圆的面积为，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知平面向量，，与垂直，则_______【答案】-1【解析】【分析】由于，所以，整理得λ＝﹣1．详解】∵，∴，即（λ+4）﹣3（﹣3λ﹣2）＝0，即（λ+4）+3（3λ+2）＝0，整理得10λ+10＝0，∴λ＝﹣1，故答案为﹣1.【点睛】本题考查了简单的向量运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.13.已知数列的首项，且，，则数列的通项公式______.【答案】【解析】【分析】根据累加法,结合等差数列的前n项和公式,即可求得数列的通项公式.【详解】数列的首项,且,由递推公式可得等式左右两边分别相加可得由及等差数列求和公式可得所以故答案为:【点睛】本题考查了等差数列求和公式的应用,累加法求数列通项公式的应用,属于基础题.14.已知数列通项公式为，函数，求________.【答案】【解析】【分析】由得，再利用裂项求和的方法求解即可.【详解】因为，，所以所以故答案为：四、解答题：本题共5小题，共计77分；请考生根据要求作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角、、所对的边分别是，，，且．（1）求；（2）已知，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的正弦定理和三角恒等变换即可求出，（2）根据三角函数的正弦定理和余弦定理求出,在由三角形面积公式得出结果.【小问1详解】方法1：，由正弦定理：可得；而sinB>0，故；又，，，且，，，.方法2：，由正弦定理：，可得；即；其中，，即；，，.【小问2详解】方法1：由正弦定理：，由余弦定理：，故；解得由（1）可知，，.方法2：，，，得，，，，，即，等边三角形，.16.如图，已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点又知.（1）求证:平面;（2）求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知可得平面平面，由面面垂直的性质可得平面，则，再结合可证得结论，（2）取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【小问1详解】证明：∵在底面上的射影为的中点，∴平面平面，∵，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，且，平面，∴平面．【小问2详解】解：取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，∵平面，平面，∴，∴四边形是菱形，∵是的中点，∴，∴，，，，∴，，设平面的法向量，则，，取，，到平面的距离．，平面，平面平面，到平面的距离等于到平面的距离.17.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）证明：若，则存在唯一的极小值，且.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间；（2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证.【小问1详解】因为，其中，.①当时，恒成立，的增区间为，无减区间；②当时，令，得，由可得；由可得.此时，函数的减区间为，增区间为.综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为.【小问2详解】当时，，，令，，则在上恒成立，∴在上单调递增，又∵，，则方程只有一解，设为，∴存在唯一的，使得，即，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵，∴，∴，即.18.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.（1）求的方程；（2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；（3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意得到，即可求解；（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解；（3）由（2）结合两点斜率公式即可求解.【小问1详解】由题意知，所以抛物线方程为.【小问2详解】由题意可设直线的方程为，，，则，，.所以，得，所以，.所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去，解得，同理.所以.所以.所以直线的斜率为.【小问3详解】设，因为.因为，.所以，当时，为定值.所以.19.泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布、特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数.（1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似：当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，利用其与正态分布的联系求的值（保留三位小数）；（2）某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数.①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率；②若，，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过与①的计算结果比较，你发现了什么规律？（3）若，当时，记的取值范围为集合，证明.参考数据：若，则有，，；，，.【答案】（1）0.136（2）①0.2644；②,规律见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知，利用正态分布原则,可求得的值；（2）分别利用独立重复试验的概率公式