第3课时等边三角形的性质定理和判定定理（课件）湘教版八年级数学上册

第4章

三角形4.5等腰三角形第3课时

等边三角形的性质定理和判定定理导入新课复习引入：1.等腰三角形的定义是什么？它的性质定理呢？判定定理呢？有两条边相等的三角形是等腰三角形.性质1：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).性质2：等腰三角形底边上的中线、高线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.导入新课判定1，定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形.判定2，判定定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).2.等边三角形的定义是什么？三边都相等的三角形叫作等边三角形(或正三角形).3.等腰三角形和等边三角形之间有什么样的关系？等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.高效课堂活动一：探究新知既然等边三角形是特殊的等腰三角形，那它除了具有等腰三角形的全部性质外，应该还有哪些其他特殊的性质呢？下面我们一起来探究.高效课堂结合表格中的各项，逐项来探究等边三角形与等腰三角形之间的区别与联系.高效课堂探究1：等边三角形有多少条对称轴？有三条对称轴.高效课堂探究2：等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系？如图，△ABC是等边三角形，则AB＝AC＝BC.由于AB＝AC，则根据等腰三角形的性质定理得，∠B＝∠C.同理，因为AC＝BC，所以∠A＝∠B.所以∠A＝∠B＝∠C.根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°.所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.由此可得等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.高效课堂探究3：等边三角形各边的高线、中线以及它对角的平分线有什么样的关系？等边三角形各边的高线、中线以及它对角的平分线都三线合一，并且交于一点.高效课堂归纳总结：高效课堂活动二：再探新知问题1：如何判断一个三角形是等边三角形？定义法：三边都相等的三角形是等边三角形.几何语言：在△ABC中，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC是等边三角形.高效课堂由等边三角形的性质定理可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？逆命题成立.高效课堂如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求证：△ABC是等边三角形.证明：在△ABC中，由于∠A＝∠B，则AC＝BC.同理，可由∠B＝∠C得AB＝AC.所以AB＝AC＝BC.所以△ABC是等边三角形.高效课堂由此可得等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：在△ABC中，因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形.高效课堂问题2：既然等边三角形是特殊的等腰三角形，那等腰三角形满足什么样的条件，才能使得它变为等边三角形？(1)边：等腰三角形→等边三角形，显然成立.(2)角：等腰三角形→等边三角形，需要证明.针对角的情况，需要分类讨论.如图，在△ABC中，AB＝AC.高效课堂情形1

设∠A＝60°.根据三角形内角和定理得∠B+∠C＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.因为AB＝AC，所以∠B＝∠C＝60°.所以△ABC是等边三角形.高效课堂情形2

设∠B＝60°.因为AB＝AC，所以∠C＝∠B＝60°.所以∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－60°－60°＝60°.所以△ABC是等边三角形.高效课堂情形3

设∠C＝60°.与情形2类似，同理可证△ABC是等边三角形.由此可得等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：在△ABC中，因为∠A＝60°，且AB＝AC，所以△ABC是等边三角形.高效课堂等边三角形的判定方法：定义法：三边都相等的三角形是等边三角形.判定定理法：①三个角都相等的三角形是等边三角形.②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.高效课堂活动二：知识迁移与应用例

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE.求证：△ADE是等边三角形.证明

因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°(等边三角形的性质定理).因为∠EAD＝∠BAC＝60°，AD＝AE，所以△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).高效课堂要证明一个三角形是等边三角形，可以证明这个三角形的三个内角都等于60°；或三条边都相等；也可以先证明它是一个等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.课堂评价D∠C等角30°60°E