勾股定理的应用课件-湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）数学8年级上册第5章

直角三角形5.2.2勾股定理的应用

勾股定理的4种证明方法：赵爽弦图刘徽“青朱出入图”加菲尔德总统拼图毕达哥拉斯拼图知识回顾这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？课堂导入5.2.2勾股定理的应用（七年级数学课件）幻灯片1：封面标题：5.2.2勾股定理的应用副标题：七年级数学（下册/上册，根据教材版本调整）授课教师：XXX日期：XXXX年XX月XX日幻灯片2：目录复习回顾：勾股定理的核心内容与变形公式情境导入：生活中哪些问题需要用勾股定理解决？应用类型1：求直角三角形的未知边长（基础巩固）应用类型2：折叠问题（构造直角三角形）应用类型3：航海/航行问题（方位角与直角三角形）应用类型4：立体图形表面最短路径问题应用类型5：判断三角形是否为直角三角形（逆用铺垫）易错点辨析与解题技巧课堂练习（基础题+提升题）课堂小结作业布置幻灯片3：复习回顾提问：勾股定理的内容是什么？（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）若Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边为a、b，斜边为c，写出三个变形公式：求斜边：c=a2+b2

​

；求直角边a：a=c2−b2

​

；求直角边b：b=c2−a2

​

。应用勾股定理的前提是什么？（必须是直角三角形，且明确直角边和斜边）过渡：上节课我们学习了勾股定理的基本内容，今天我们将聚焦它的实际应用——通过构造直角三角形，解决折叠、航海、立体图形等场景中的数学问题，体会“数与形”的结合。幻灯片4：情境导入——生活中的勾股定理图片展示：折叠长方形纸张后求线段长度轮船航行路线图（东北、东南方向）蚂蚁在立方体表面爬行的最短路径工人师傅检测门框是否为直角提问：这些场景有什么共同点？（都能转化为直角三角形问题）如何将复杂问题转化为勾股定理的应用？（找到直角，确定直角边和斜边）引出课题：勾股定理的应用关键是“构造直角三角形”，将实际问题或复杂图形转化为“已知两边求第三边”的基本模型，今天我们将分类学习常见的应用类型。幻灯片5：应用类型1——求直角三角形的未知边长（基础巩固）核心模型：已知直角三角形的任意两边，求第三边（直接套用勾股定理或变形公式）。例题1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，AB=13cm，求BC的长度。解题步骤：确定边的类型：AB为斜边（最长边），AC为直角边，BC为未知直角边；套用变形公式：BC=AB2−AC2

​

；代入计算：BC=132−122

​=169−144​=25​=5cm。答案：BC的长度为5cm。例题2：一个直角三角形的两直角边之差为3cm，斜边为15cm，求较短直角边的长度。解题步骤：设未知数：设较短直角边为xcm，则较长直角边为(x+3)cm；列方程：x2+(x+3)2=152

；化简求解：x2+x2+6x+9=225

→

2x2+6x−216=0

→

x2+3x−108=0；解方程：(x+12)(x−9)=0，解得x=9（x=-12舍去，边长为正）。答案：较短直角边的长度为9cm。幻灯片6：应用类型2——折叠问题（构造直角三角形）解题关键：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用折叠性质找到相等的线段，构造直角三角形。例题3：如图，长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，将长方形沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，求AF的长度。解题步骤：折叠性质：△BCD≌△BED→BE=BC=6cm，DE=CD=8cm，∠E=∠C=90°；设未知数：设AF=xcm，则DF=AD-AF=8-xcm；证明相等线段：∠ABF=∠EDF（内错角+折叠角相等），∠A=∠E=90°，AB=DE=8cm→

△ABF≌△EDF→BF=DF=8-xcm；构造Rt△ABF：AB=8cm，AF=xcm，BF=8-xcm，套用勾股定理：x2+82=(8−x)2

；解方程：x2+64=64−16x+x2

→

16x=0？修正：折叠后∠DBC=∠DBE，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠DBE→BF=DF=8-x；正确方程：AF2+AB2=BF2

→

x2+62=(8−x)2

（AB=6cm，BC=8cm，长方形长和宽对应错误！）；纠正：AB=8cm（长），BC=6cm（宽）→AD=BC=6cm，设AF=x，则DF=6-x，BF=DF=6-x；方程：x2+82=(6−x)2

→

x2+64=36−12x+x2

→

12x=−28（错误，重新梳理）；正确思路：折叠后点C到E，BD为折痕，∴CE⊥BD，且BO=DO，AO=EO；设AF=x，在Rt△ABF和Rt△CDF中，AB=CD，∠AFB=∠CFD，∠A=∠C→

△ABF≌△CDF→AF=CF=x，BF=DF=6-x；最终正确方程：x2+82=(6−x)2

错误，应为AB=8，AD=6，∴BF=DF=6-x，AB=8，AF=x，Rt△ABF中：x2+82=(6−x)2

无解，说明折痕方向错误，正确折痕为BD，点C落在E，BE与AD交于F，正确数据：AB=6，BC=8，则AD=8，AB=6，设AF=x，DF=8-x，BF=DF=8-x，方程：x2+62=(8−x)2

→

x2+36=64−16x+x2

→

16x=28

→

x=1.75cm。答案：AF的长度为47​

cm（或1.75cm）。解题技巧：折叠问题中，优先找“相等的线段”和“直角”，设未知数后利用勾股定理列方程，避免几何关系混淆。幻灯片7：应用类型3——航海/航行问题（方位角与直角三角形）解题关键：根据方位角（如东北、东南、正北、正西）确定直角三角形的直角，明确航行路程为直角边或斜边。例题4：一艘轮船从港口A出发，向正东方向行驶了24km到达港口B，再从港口B向正北方向行驶了18km到达港口C，求港口A到港口C的直线距离。解题步骤：确定直角：正东与正北方向垂直，∴△ABC为Rt△，∠B=90°；确定边长：AB=24km（直角边），BC=18km（直角边），AC为斜边；套用勾股定理：AC=AB2+BC2

​=242+182

​=576+324​=900​=30km。答案：港口A到港口C的直线距离为30km。例题5：一艘轮船从A港出发，向东北方向行驶了15√2km到达B港，再向西北方向行驶了15km到达C港，求A港到C港的距离。解题步骤：方位角分析：东北方向（45°）与西北方向（135°）垂直，∴△ABC为Rt△，∠B=90°；边长确定：AB=15√2km，BC=15km；计算斜边：km。答案：A港到C港的距离为15√3km。幻灯片8：应用类型4——立体图形表面最短路径问题解题关键：将立体图形（如长方体、立方体）的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”构造直角三角形，求最短路径。例题6：如图，一个立方体的棱长为3cm，蚂蚁从顶点A出发，沿立方体表面爬到对角顶点B，求最短爬行距离。解题步骤：展开表面：将立方体的前面和上面展开为长方形（或前面和右面），长方形的长=3+3=6cm，宽=3cm；构造直角三角形：A、B两点在展开图中为长方形的对角顶点，直角边为6cm和3cm；求最短距离：cm。答案：最短爬行距离为3√5cm（约6.71cm）。例题7：一个长方体木箱的长例1一个门框的尺寸如图所示.（1）一块长3m，宽1.5m的薄木板，能否从门框中通过？若能应该如何通过？（2）一块长3m，宽2.2m的薄木板呢？（3）一块长3m，宽2.7m的薄木板呢？heitDACB1m2m知识点：勾股定理的应用新知探究如何判断呢？

因为AC＞1.5m，所以木板可以从门框中通过.DACB1m2m聪明的你，想到了吗？

因为AC＞1.5m，所以木板可以从门框中通过.DACB1m2m

因为AC＜2.7m，所以木板不可以从门框中通过.DACB1m2m分析：①梯子下滑前和下滑后的长度不变;②梯子下滑前和下滑后均与墙AO和地面构成直角三角形.例2如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？ACOBD

ACOBD

ACOBD所以梯子的顶端下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.1.在一次台风中，小红家的树在离地面3米的地方被拦腰截断，树的顶部落在离根部4米的地方，你能计算出这棵树没截断前的高度吗？跟踪训练新知探究分析：根据题意，可以将地面、截断倒地的树的部分、剩余未截断的树的部分构建成一个直角三角形.

不要忘记这一步哦！ACB1.复习回顾

（2）下面四种现象：①小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物；②打开手电筒后射出的光线；③扔一个小石子，石子在空中飞行的路线；④将弯曲的河道改直，可以缩短航程.其中可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象有______.（填序号）①④

【思考】此问题可转化为平面图形，利用勾股定理进行求解.（1）如图②，将圆柱的侧面展开，得到一4020

线段20

[答案]

25;

25（第1题）

C

返回（第2题）

DA.

3

B.