辽宁省本溪满族自治区高级中学2026届高二数学第一学期期末达标检测试题含解析

辽宁省本溪满族自治区高级中学2026届高二数学第一学期期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.2．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中5块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）A B.C. D.3．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（）A.4 B.5C.4或5 D.5或65．设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7．若：，：，则为q的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件8．如图，已知直线AO垂直于平面，垂足为O，BC在平面内，AB与平面所成角的大小为，，，则异面直线AB与OC所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．已知，，，则，，的大小关系是A. B.C. D.10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是A.3 B.4C.5 D.611．函数，的最小值为（）A.2 B.3C. D.12．已知双曲线C1的一条渐近线方程为y=kx，离心率为e1，双曲线C2的一条渐近线方程为y=x，离心率为e2，且双曲线C1、C2在第一象限交于点(1，1)，则=（）A.|k| B.C.1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知方程，若此方程表示椭圆，则实数的取值范围是________；若此方程表示双曲线，则实数的取值范围是________.14．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．15．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______16．已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点A在第一象限；（1）若直线的斜率为，求的值；（2）求线段的长度的最小值18．（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，证明：19．（12分）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为（1）求的方程；（2）过点的直线与抛物线交于不同的两点，，直线，（为坐标原点）分别交直线于点，记直线，，的斜率分别为，，，若，求的值20．（12分）在等差数列中，设前项和为，已知，.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.21．（12分）设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.22．（10分）已知数列的前n项和（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】“存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出.【详解】解：因为“存在，使得”为真命题，所以，因此上述命题得个充分不必要条件是.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.2、C【解析】分别求出取到3块月饼都是同种月饼和取到3块月饼都是五仁月饼的种数，再根据概率公式即可得解.【详解】解：由题意可得，取到3块月饼都是同种月饼有种情况，取到3块月饼都是五仁月饼有种情况，所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是.故选：C.3、D【解析】由在上恒成立，再转化为求函数的取值范围可得【详解】由已知，在上是增函数，则在上恒成立，即，，当时，，所以故选：D4、A【解析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.【详解】由，即，解得，因为,故.故选：A.5、B【解析】根据双曲线定义结合，求得，在中，利用余弦定理求得之间的关系，即可得出答案.【详解】解：因为在双曲线中，因为，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.6、A【解析】设，对实数的取值进行分类讨论，求得，解不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】设，其中.①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，解得，此时不存在；②当时，，解得；③当时，即当时，函数在区间上单调递减，则，解得，此时不存在.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.7、D【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为：，：，所以，所以为q的既不充分又不必要条件.故选：D.8、B【解析】建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式计算即可.【详解】如图，以O为坐标原点，过点O作OB的垂线为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，，，，设的夹角为，则，所以异面直线AB与OC所成角的余弦值为，故选：B.9、B【解析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小【详解】对于的大小：，，明显；对于的大小：构造函数，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即对于的大小：，，，故选B【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目10、B【解析】循环体第一次运行后；第二次运行后；第三次运行后，第四次运行后；循环结束，输出值为4，答案选B考点：程序框图的功能11、B【解析】求导函数，分析单调性即可求解最小值【详解】由，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增∴当时，取得最小值，且最小值为故选：B.12、C【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，再由过点，可知双曲线方程，从而可求离心率.【详解】由题，设双曲线的方程为，又因为其过，且可知，不妨设，代入，得，所以双曲线的方程为，所以，同理可得双曲线的方程为，所以可得，所以，当时，结论依然成立.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】分别根据椭圆、双曲线的标准方程的特征建立不等式即可求解.【详解】当方程表示椭圆时，则有且，所以的取值范围是；当方程表示双曲线时，则有或，所以的取值范围是.故答案为：；14、【解析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，即异面直线A1M与DN所成角的大小是考点：异面直线所成的角15、2【解析】画出简单示意图，令，根据抛物线定义可得，应用数形结合及B在C上，求目标式的值.【详解】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，由抛物线定义知：，又且，所以，故，又，故.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：应用抛物线的定义将转化为，再由三角函数的定义及点在抛物线上求值.16、1【解析】通过平面向量基本定理推导出空间向量基本定理得推论.【详解】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，从而.故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）3；（2）12.【解析】(1)联立直线l与抛物线C的方程，求出A和B的横坐标即可得AFBF(2)设直线l方程为，与抛物线C方程联立，求出线段AB长度求其最小值即可.【小问1详解】设，抛物线的焦点为，直线l经过点F且斜率，直线l的方程为，将直线l方程与抛物线消去y可得，点A是第一象限内的交点，解方程得，∴.【小问2详解】设，由题知直线l斜率不为0，故设直线l的方程为：，代入抛物线C的方程化简得，，∵＞0，∴，∴，当且仅当m＝0时取等号，∴AB长度最小值为12.18、（1）函数的单调性见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)求出函数的导数，按a值分类讨论判断的正负作答.(2)将分别代入计算化简变形，再对所证不等式作等价变形，构造函数，借助函数导数推理作答.【小问1详解】已知函数的定义域为，，当时，恒成立，所以在区间上单调递增；当时，由，解得，由，解得，的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】依题意，不妨设，则，，于是得，即，亦有，即，因此，，要证明，即证，即证，即证，即证，令，，，则有在上单调递增，，，即成立，所以.【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.19、（1）（2）【解析】（1）先求出抛物线的准线，作于由抛物线的定义，可得，从而当且仅当，，三点共线时取得最小，得出答案.（2）设，，设：与抛物线方程联立，得出韦达定理，设出直线的方程分别与直线的方程联立得出点的坐标，进一步得到，的表达式，由条件可得答案.【小问1详解】的准线为：，作于，则，所以，因为点在的内侧，所以当且仅当，，三点共线时取得最小值，所以，解得，所以的方程为【小问2详解】由题意可知的斜率一定存在，且不为0，设：（），联立消去得，由，即，得，结合，知记，，则直线的方程为由得易知，所以同理可得由，可得，即，化简得，结合，解得20、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解公差，再计算通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.【小问1详解】设的公差为，由已知得，解得，所以.【小问2详解】所以.21、（1）（2）或【解析】(1)按照所给的条件带入椭圆方程以及e的定义即可；（2）联立直线与椭圆方程，表达出，解方程即可.【小问1详解】由题意知，，且，解得，，所以椭