江苏省南通市海安市十三校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题(含答案)

2025～2026学年度第一学期第二次阶段性联合测试初二数学试题（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，3)关于x轴的对称点的坐标为()A．(－2，3) B．(－2，－3) C．(－2，－3) D．(2，3)2．下列运算正确的是()A．a6÷a2＝a3 B．(－2a3)3＝－6a6 C．a3＋a3＝a6 D．a2•a3＝a53．在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是±0.00056，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度．0.00056用科学记数法表示应为()A．0.56×10－3 B．5.6×10－4 C．5.6×10－5 D．5.6×1044．已知等腰三角形的两边的长分别为3和6，则它的周长为()A．9 B．12 C．15 D．12或155．下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是()A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．已知a－b＝5，b－c＝－6，则代数式a(a－c)－b(a－c)的值为()A．－30 B．30 C．－5 D．－67．下列分式变形正确的是()A．a2-b2a-b＝a-bB．2b8．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程()A．10x＝40x＋6 B．109．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形PQMN，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若AE＝4DE，则S长方形A．35 B．925 C．34 第9题第10题第14题第16题10．如图，BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝2∠C，AH⊥BD于H，若AC＝4，则BH的长度为（） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分.）11．计算：(1312．若x2－ax＋16是一个完全平方式，则a的值为．13．关于x的方程ax＋1＝1的解是非正数，则14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝2，AB＝3，若AC平分∠BAD，则四边形ABCD的面积为．15．已知实数m，n满足m2＝2n＋7，n2＝2m＋7，且m≠n，则m＋n的值为__________．16．如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E′，BE'与AC边相交于D点，恰好BE′是∠ABC的角平分线，则∠DCE′＝_______°，若CE＝1，则BD的长为．三、解答题(共98分)17．（8分）（1）因式分解：m2(n－2)＋25(2－n)； （2）计算：(2a－3b)(2a＋3b)＋(a－3b)2．18．（10分）（1）解分式方程：eq\f(x,x－2)＋2＝eq\f(1,2－x)；（2）先化简(eq\f(4x＋5,x－1)＋x＋1)÷eq\f(x＋2,x－1)，从－2、－1、1中选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值．19．（9分）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，△ABC的三个顶点都在格点上(用无刻度的直尺画图)．（1）画出△ABC的中线AD；（2）作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（3）在直线l上找到一点Q，使QB＋QC的值最小．

20．（10分）如图，∠ABC＝120°，AB＝BC，D是AC边上一点，满足AD＝3CD，连接BD并延长到点E，使得DE＝BD，连接CE．（1）用尺规作图作出AC边上的高BF(保留作图痕迹，不写作法)；（2）求证：BC＝2CE．21．（11分）如图，聪明好学的小海同学看到课本第60页第14题 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比．过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AH⊥CD于H．∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB点E，DF⊥AC于点F，∴，∴eq\f(S△ABD,S△ACD)＝12×AB×图1又∵eq\f(S△ABD,S△ACD)＝12×BD×AH12×CD×AH＝___________，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CD)．图1（1）请你补全小海同学的证明过程；图222．（12分）若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”．每一种表示方法叫做一个平方差分解．例：∵15＝42－12，∴15可平方差表示，42－12是15的一个平方差分解．（1）请写出15的另一个平方差分解；（2）试证明：若M＝x2＋6x，(其中x是正整数)，则M可平方差表示；（3）已知N＝x2－y2＋6x－10y＋k(x，y是正整数，k是常数，且x＞y＋2)，要使N可平方差表示，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．

23．（12分）海安是“中国麻虾之乡”，麻虾酱是本地知名特产。小安为走访亲友购买了相同数量的甲、乙两种麻虾酱，分别花去210元和120元。回家后小安告诉妈妈“每盒甲型麻虾酱比乙型贵12元”，妈妈听完后说“你肯定是搞错了”。设每盒乙型麻虾酱的单价为x元。（1）请通过计算分析，妈妈为什么说小安搞错了？（2）小安核实账单后，发现甲、乙两种麻虾酱的单价均为整数，每盒甲型与乙型的单价差值算错了，其他信息都正确。若每盒甲型麻虾酱比乙型贵m（10<m<16且为整数）元，求每盒乙型麻虾酱的单价。24．（12分）综合与实践：探究代数式x2＋eq\f(1,x2)的“奥秘”．x－3－2－1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,2)123x2＋eq\f(1,x2)eq\f(82,9)eq\f(17,4)2eq\f(17,4)eq\f(82,9)eq\f(82,9)观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题：（1）补全上面表格中的数据；（2）已知当x＝2m和x＝m－9时，分式x2＋eq\f(1,x2)的值相等，则m2－9m＝___________．（3）试说明x2＋eq\f(1,x2)的值一定不小于2．25．（14分）【问题提出】如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上的点．连接AD，以AD为边作△ADE(E、D在AC同侧)，使DA＝DE、∠ADE＝∠BAC，连CE．若∠BAC＝90°，判断△ACE的形状，并说明理由．（1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段BC上，∠BAC＝60°时，直接写出∠ACE的度数；（2）再探究具体情形、如图1，判断△ACE的形状，并说明理由．（3）如图3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝BC，点D是AC的中点，点P是AB边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的上方作等边三角形PDQ，连接AQ，当AQ的最小值为1时，求AB的长．图1图2图32025～2026学年度第一学期第二次阶段性联合测试初二数学答案一、选择题1．B 2．D 3．B 4．C 5．A6．C 7．D 8．A 9．B 10．C二、填空题11．4 12．±8 13．a≤1且a≠0 14．5 15．－2 16．67.5°；2三、解答题(共98分)17．解：（1）(n－2)(m＋5)(m－5)． 4分（2）原式＝4a2－9b2＋(a2－6ab＋9b2) 6分＝5a2－6ab 8分18．(10分)解：（1）方程两边同乘(x－2)，得x＋2(x－2)＝－1，解得：x＝1， 3分检验：当x＝1时，x－2≠0，所以原方程的解是x＝1； 5分（2）原式＝(＝(x＋2)2∵x＝1或－2时分式无意义，∴x不能是1或－2，∴当x＝－1时，原式＝－1＋2＝1． 10分19．解：（1）如图，AD即为所求． 3分（2）如图，△A1B1C1即为所求． 6分（3）如图，连接BC1，交直线l于点Q，连接CQ，此时QB＋QC的值最小，则点Q即为所求． 9分20．(10分)（1）解：如图所示，线段BF即为所求． 4分（2）证明：∵∠ABC＝120°，AB＝AC，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∵AD＝3CD，∴CF＝2CD，∴FD＝CD，∵BF⊥AC，∴AF＝FC，在△BFD和△ECD中，BD＝ED∠BDF＝∠EDC∴△BFD≌ECD(SAS)，∴CE＝BF，∵∠BCF＝30°，∠BFC＝90°，∴BC＝2BF，∴BC＝2CE． 10分21．(11分)（1）DE＝DF；eq\f(AB,AC)；eq\f(BD,CD)． 3分（2）已知：如图，在△ABC中，AD平分△ABC一个外角∠GAC，交BC所在直线于点D．求证：eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CD)． 7分证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AH⊥CD于H．∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，∴eq\f(S△ABD,S△ACD)＝12×AB×DE12×AC×DF=又∵eq\f(S△ABD,S△ACD)＝12×BD×AH12×CD×AH＝eq\f(∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,CD)． 11分22．(12分)解：（1）因为15＝82－72，所以15的另一个平方差分解是82－72； 4分（2）因为M＝x2＋6x，所以M＝x2＋6x＝(x＋3)2－9＝(x＋3)2－32，因为x为正整数，所以x＋3也是正整数，所以M可平方差表示． 8分（3）k＝－16，理由如下：N＝x2－y2＋6x－10y＋k＝(x＋3)2－(y＋5)2＋k＋16，若N可平方差表示，则k＋16＝0，所以k＝－16． 12分23．(12分)（1）解：设每盒乙型麻虾酱的单价为x元，则每盒甲型麻虾酱的单价为(x＋12)元，根据题意，得： eq\f(210,x＋12)＝eq\f(120,x)解得x＝16经检验：x＝16是分式方程的解．由于eq\f(120,16)不是整数，所以小安搞错了． 6分（2）根据题意，得：eq\f(210,x＋m)＝eq\f(120,x)，解得x＝eq\f(4,3)m．经检验：x＝eq\f(4,3)m是分式方程的解．∵m为整数，eq\f(210,x＋m)、eq\f(120,x)也是整数，且10<m<16．∴m＝15．∴x＝20．答：每盒乙型麻虾酱的单价为20元． 12分24．(12分)（1）eq\f(82,9)；eq\f(17,4)；2；eq\f(17,4) 4分（2）由表格中的规律可以看出，当2m和x＝m－9，相等、互为倒数，互为相反数、互为负倒数时，分式x2＋eq\f(1,x2)的值相等．所以2m＝m－9或2m(m－9)＝1或2m(m－9)＝－1或2m＋(m－9)＝0所以m2－9m＝162或－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)或－18． 8分（3）∵x2＋eq\f(1,x2)－2＝(x－eq\f(1,x))2≥0．∴x2＋eq\f(1,x2)≥2．即x2＋eq\f(1,x2)的值一定不小于2． 12分25．(14分)解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC为等边三角形∴∠B＝60°∵∠ADE＝∠BAC∴∠ADE＝60°∵DA＝DE∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°∴∠DAE＝∠BAC∴∠BAD＝∠CAE又AB＝AC，DA＝DE∴△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°． 4分（2）答：△ACE是直角三角形理由：过D作DF⊥CD，交AC的延长线于F，如图所示：则∠FDC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴∠FCD＝∠ACB＝45°，∴△FDC为等腰直角三角形，∴DC＝DF，∠CDF＝90°，∵DA＝DE，∠ADE＝∠BAC，∴△ADE为等腰直角三角形，∴∠ADE＝90°，∴∠ADE＋∠ADC＝∠CDF＋∠ADC，即∠ADF＝∠E