七年级数学(上)思维特训(3)：定义新运算(含答案)

思维特训(三)定义新运算方法点津·定义新运算是一种特别设计的、人为的、临时的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如：*，▲，★，◎，Δ，◆，■等来表示的一种运算．其解题方法是：(1)理解新定义的算式含义；(2)严格按照新定义的计算程序，将数值代入，将其转化为常规的加减乘除乘方运算，然后计算得结果．典题精练·类型一定义新运算——运算类1．定义一种新运算※，观察下列式子：1※3＝1×3＋3＝6；3※2＝3×2＋2＝8；3※5＝3×5＋5＝20；5※3＝5×3＋3＝18.(1)填一填：2※4＝________，a※b＝________；(2)请你依照上述运算方法，求(－3※7)※2的值．2．定义一种关于“⊙”的新运算，观察下列式子：1⊙3＝1×4＋3＝7；3⊙(－1)＝3×4＋(－1)＝11；5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4＋(－3)＝13.(1)填空：5⊙(－6)＝________；(2)请你判断：当a≠b时，a⊙b______b⊙a(填“＝”或“≠”)，并说明理由．3．用[x]表示不超过x的整数中的最大整数，例如：[2.23]＝2，[－3.24]＝－4.计算下列各式：(1)[3.5]＋[－3]；(2)[－7.25]＋[－eq\f(1,3)]．类型二定义新运算——探究类4．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a#b#c＝eq\f(|a－b－c|＋a＋b＋c,2).如：(－1)#2#3＝eq\f(|－1－2－3|＋（－1）＋2＋3,2)＝5.(1)计算：4#(－2)#(－5)＝________．(2)计算：3#(－7)#eq\f(11,3)＝________．(3)在－eq\f(6,7)，－eq\f(5,7)，…，－eq\f(1,7)，0，eq\f(1,9)，eq\f(2,9)，…，eq\f(8,9)这15个数中：①任取三个数作为a，b，c的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果中的最小值；②若将这15个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，求五个结果之和的最大值．

详解详析1．解：(1)根据题意，得2※4＝2×4＋4＝8＋4＝12，a※b＝a×b＋b.(2)根据题意，得(－3※7)※2＝(－21＋7)※2＝(－14)※2＝－28＋2＝－26.2．解：(1)14(2)当a≠b时，a⊙b≠b⊙a.理由：依题意，得a⊙b＝4×a＋b，b⊙a＝4×b＋a.因为a≠b，所以4×a＋b≠4×b＋a，即a⊙b≠b⊙a.3．解：(1)[3.5]＋[－3]＝3－3＝0.(2)[－7.25]＋[－eq\f(1,3)]＝(－8)＋(－1)＝－9.4．解：(1)原式＝eq\f(|4＋2＋5|＋4－2－5,2)＝4.(2)原式＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3＋7－\f(11,3)))＋3－7＋\f(11,3),2)＝3.(3)当a≤b＋c时，a#b#c＝b＋c；当a>b＋c时，a#b#c＝a.①当a＝b＋c时，a#b#c的值最小，令b＝－eq\f(5,7)，c＝－eq\f(1,7)，则原式＝－eq\f(5,7)－eq\f(1,7)＝－eq\f(6,7).②因为当a＝－eq\f(6,7)，b＝eq\f(1,9)，c＝eq\f(2,9)时，原式＝eq\f(1,9)＋eq\f(2,9)＝eq\f(1,3)；当a＝－eq\f(5,7)，b＝eq\f(3,9)，c＝eq\f(4,9)时，原式＝eq\f(3,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(7,9)；当a＝－eq\f(4,7)，b＝eq\f(5,9)，c＝eq\f(6,9)时，原式＝eq\f(5,9)＋eq\f(6,9)＝eq\f(11,9)；当a＝－eq\f(3,7)，b＝eq\f(7,9)，c＝eq\f(8,9)时，原式＝eq\f(7,9)＋eq\f(8,9)＝eq\f(15,9)；当a＝0，b＝－eq\