七年级数学(上)思维特训(11)：含有绝对值的一元一次方程的解法(含答案)

思维特训(十一)含有绝对值的一元一次方程的解法方法点津·定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．一般有以下两种解法：1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解．2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a>0），,0（a＝0），,－a（a<0）.))典题精练·类型一几何解法1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x－0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x1－x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．例1：已知|x|＝2，求x的值．解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x＝－2或x＝2.例2：已知|x－1|＝2，求x的值．解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1.例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.图11－S－1解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3.仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值：(1)|x－3|＝3；(2)|4x＋2|＝8；(3)|x－3|＋|x＋4|＝9.类型二代数解法2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解．例1：解方程|2x－1|＝3.我们只要把2x－1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x－1＝3或2x－1＝－3.解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝－1.检验：(1)当x＝2时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×2－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x＝2是原方程的解．(2)当x＝－1时，原方程的左边＝|2x－1|＝|2×(－1)－1|＝3，原方程的右边＝3.因为左边＝右边，所以x＝－1是原方程的解．综上可知，原方程的解是x＝2或x＝－1.例2：解方程x＋2|x|＝3.解：当x≥0时，方程可化为x＋2x＝3，解得x＝1，符合题意；当x＜0时，方程可化为x－2x＝3，解得x＝－3，符合题意．所以原方程的解为x＝1或x＝－3.仿照上面的解法，解下列方程：(1)x＋3|x－1|＝7；(2)|eq\f(x－1,2)|－x＝1.

详解详析1．解：(1)由题意，得在数轴上与数3对应的点之间的距离为3的点对应的数为0和6，即x＝0或x＝6.(2)由题意，得在数轴上与数－2对应的点之间的距离为8的点对应的数为6或－10，即4x＝6或4x＝－10，所以x＝eq\f(3,2)或x＝－eq\f(5,2).(3)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数3和数－4对应的点之间的距离之和为9的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数3和－4对应的点的距离为7，满足方程的x在数轴上的对应点在3的右边或－4的左边．若x对应的点在3的右边，可得x＝4；同理，若x对应的点在－4的左边，可得x＝－5.故原方程的解是x＝4或x＝－5.2．解：(1)当x＜1时，方程可化为x＋3(1－x)＝7，即3－2x＝7，解得x＝－2，符合题意；当x≥1时，方程可化为x＋3(x－1)＝7，即4x－3＝7，解得x＝eq\f(5,2)，符合题意．所以原方程的解为x＝－2或x＝eq\f(5,2).(2)原方程可变形为|eq\f(x－1,2)|＝x＋1，根据绝对值的意义，得eq\f(x－1,2)＝1＋x或eq\f(x－