七年级数学(上)思维特训(16)：线段计算中的数学思想(含答案)

思维特训(十六)线段计算中的数学思想方法点津·方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法．有关线段比的问题(或倍或几分之一)常常通过列方程求解．分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种解题思想．在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论．整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．在线段计算中，求一条线段上两个中点之间的距离时常用到整体的思想．典题精练·类型一方程的思想1．已知：如图16－S－1，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD＝2∶4∶3，M是AD的中点，CD＝9cm，求线段MC的长．图16－S－1类型二分类讨论的思想2．如果一点在由两条有公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点就叫做这条折线的“折中点”．如图16－S－2，点D是折线ACB的“折中点”，请解答以下问题：图16－S－2(1)已知AC＝m，BC＝n.当m＞n时，点D在线段________上；当m＝n时，点D与________重合；当m＜n时，点D在线段________上．(2)若E为线段AC的中点，EC＝4，CD＝3，求BC的长．类型三整体的思想3．如图16－S－3所示，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，M，N分别是AC，BC的中点．(1)求线段MN的长；(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝acm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由；(3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－CB＝bcm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．图16－S－3详解详析1．解：因为AB∶BC∶CD＝2∶4∶3，所以设AB＝2xcm，BC＝4xcm，CD＝3xcm，所以3x＝9，解得x＝3，所以AB＝6cm，BC＝12cm，所以AD＝AB＋BC＋CD＝6＋12＋9＝27(cm)．又因为M是AD的中点，所以MD＝eq\f(1,2)AD＝13.5cm，所以MC＝13.5－9＝4.5(cm)．2．解：(1)AC点CBC(2)若点D在线段AC上，因为E为线段AC的中点，EC＝4，所以AC＝2EC＝8.因为CD＝3，所以AD＝AC－CD＝5.因为BC＋CD＝AD＝5，所以BC＝5－3＝2；若点D在线段BC上，因为E为线段AC的中点，EC＝4，所以AC＝2EC＝8.因为CD＝3，所以AC＋CD＝11.因为BD＝AC＋CD＝11，所以BC＝11＋3＝14.综上所述，BC的长为2或14.3．解：(1)因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)，NC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×6＝3(cm)，所以MN＝MC＋NC＝4＋3＝7(cm)．(2)MN＝eq\f(1,2)acm.理由如下：因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝eq\f(1,2)AC，NC＝eq\f(1,2)BC，所以MN＝MC＋NC＝eq\f(1,2)AC＋eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)acm.(3)如图，因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝eq\f(1,2)AC，NC＝eq\f(1