七年级数学(上)思维特训(19)：2n(n－1)的应用(含答案)

思维特训(十九)eq\f(1,2)n(n－1)的应用方法点津·1．数学模型下列问题中，n表示整数，且n≥2.(1)同一平面内有任意三个点不在同一条直线上的n个点eq\o(→,\s\up7(过其中任意两点画直线))所画直线的条数为eq\f(1,2)n(n－1)；(2)一条直线上有n个点eq\o(→,\s\up7(以其中任意两个),\s\do5(点为端点的线段))所得线段的条数为eq\f(1,2)n(n－1)；(3)平面内有n条直线eq\o(→,\s\up7(保证两两相交))最多交点的个数为eq\f(1,2)n(n－1)；(4)有公共顶点的n条射线eq\o(→,\s\up7(任意两条均不重合))形成角的个数为eq\f(1,2)n(n－1)．2．知识迁移(1)n个球队eq\o(→,\s\up7(单循环比赛),\s\do5(（即每两个队都要打一场比赛）))比赛场数为eq\f(1,2)n(n－1)；(2)n个人eq\o(→,\s\up7(每两人握一次手))共握手的次数为eq\f(1,2)n(n－1)．典题精练·1．我们知道过两点有且只有一条直线．阅读下面的文字，分析其内在含义，然后回答问题：如图19－S－1，同一平面内，任意三点不在同一直线上的四个点A，B，C，D，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析：过A点可以画出三条通过其他三点的直线，过B点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C点、D点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4＝12(条)直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB和直线BA是一条直线，因此，图中一共有eq\f(3×4,2)＝6(条)直线．请你仿照上面的分析方法，回答下列问题：图19－S－1(1)若平面内有五个点A，B，C，D，E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出________条直线；若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出________条直线(用含n的式子表示)．(2)若某校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛(每两个班之间比赛一场)，类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少．2．操作：如图19－S－2①，有五条射线与一条直线分别交于A1，A2，A3，A4，A5五点．(1)请用字母表示以O为端点的所有射线；(2)直线AB上的线段共有多少条？(3)以O为顶点的角有多少个？拓展：如图②，如果n条射线与一条直线分别相交于A1，A2，A3，A4，…，An点，那么直线AB上的线段共有多少条？以O为顶点的角有多少个？图19－S－23．已知：如图19－S－3.图19－S－3(1)如图19－S－3①，两条直线相交，最多有________个交点；如图②，三条直线相交，最多有________个交点；如图③，四条直线相交，最多有________个交点；如图④，五条直线相交，最多有________个交点．(2)归纳、猜想：30条直线相交，最多有多少个交点？(3)小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2∶1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色的颜料可供使用？4．如图19－S－4，点A1，A2，A3，A4，A5，…，An在直线l上．图19－S－4(1)探索：①图(a)中直线l上有2个点，则图中有________条线段；②图(b)中直线l上有3个点，则图中有________条线段；…③图(c)中直线l上有n个点，则图中有________条线段．(2)应用上面发现的规律解决下列问题：①某学校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛，预计全部赛完共需________场比赛；②某会议有20人参加，每两人握手一次，共握手________次．5．阅读理解：我们知道：一条线段有两个端点，线段AB和线段BA表示同一条线段．若在直线l上取了三个不同的点，则以它们为端点的线段共有________条，若取了四个不同的点，则共有线段________条……依此类推，若取了n个不同的点，则共有线段________条(用含n的式子表示)．类比探究：以一个锐角的顶点为端点向这个角的内部引射线．图19－S－5(1)如图19－S－5，若引出两条射线，则所得图形中共有________个锐角；(2)若引出n条射线，则所得图形中共有________个锐角(用含n的式子表示)．拓展应用：一条铁路上共有8个火车站点，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备多少种车票？详解详析1．解：(1)5个点，共画eq\f(5×（5－1）,2)＝10(条)直线，6个点，共画eq\f(6×（6－1）,2)＝15(条)直线，n个点，共画eq\f(1,2)n(n－1)条直线．(2)一共24个队，每个队进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2，即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2＝276(场)．2．解：操作：(1)射线OA1，OA2，OA3，OA4，OA5.(2)10条．(3)10个．拓展：直线AB上的线段共有eq\f(1,2)n(n－1)条；以O为顶点的角有eq\f(1,2)n(n－1)个．3．解：(1)两条直线相交，最多有1个交点．三条直线相交，最多有3个交点．四条直线相交，最多有6个交点．五条直线相交，最多有10个交点．(2)30条直线相交，最多有eq\f(30×29,2)＝435(个)交点．(3)总共有12×(12－1)＝132(种)不同的颜料可供使用．4．解：探索：(1)①有1条线段．②有3条线段．③有eq\f(n（n－1）,2)条线段．(2)①全部赛完共需eq\f(6×5,2)＝15(场)比赛．②共握手eq\f(20×19,2)＝190(次)．5．解：阅读理解：36eq\f(n（n－1）,2)类比探究：(1)引出两条射线，共有4条