专题05 函数的概念、性质及应用（原卷版）

专题05函数的概念、性质及应用题型1求函数值（常考点）题型13根据函数的最值求参数（常考点）题型2具体函数的定义域题型14函数不等式恒成立问题（难点）题型3函数奇偶性的定义与判断题型15函数不等式能成立(有解)问题（重点）题型4由奇偶性求函数解析式题型16分段函数模型的应用（常考点）题型5函数奇偶性的应用（常考点）题型17求函数的零点题型6由奇偶性求参数题型18零点存在性定理的应用（常考点）题型7定义法判断或证明函数的单调性题型19判断零点所在的区间（难点）题型8求函数的单调区间题型20根据函数零点的个数求参数范围题型9根据函数的单调性求参数值题型21根据二次函数零点的分布求参数的范围题型10根据函数的单调性解不等式题型22二分法求函数零点的过程题型11根据解析式直接判断函数的单调性题型23反函数题型12利用函数单调性求最值或值域题型1求函数值（共4题）例1已知函数，则．【变式1-1】（2024·上海虹口·期末）若表示不大于的最大整数，比如，则．【变式1-2】已知函数满足：对任意非零实数x，均有，则．【变式1-3】已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（

）A．在上是严格增函数 B．若，则C．若，则 D．函数的最小值为2题型2具体函数的定义域（共4题）例2（2025·上海·期末）函数的定义域为.【变式2-1】（2025·上海松江·期末）函数的定义域是.【变式2-2】（2025·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【变式2-3】函数的定义域是.题型3函数奇偶性的定义与判断（共4题）例3（2025·上海·期末）偶函数的定义域是，则.【变式3-1】已知常数，函数的表达式为(1)证明：函数是奇函数；(2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值．【变式3-2】（2025·上海·期末）设常数，．(1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由;(2)设，,写出的表达式.若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当，总有，给出一个区间，并证明结论;(3)当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值．【变式3-3】（2025·上海·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则.题型4由奇偶性求函数解析式（共4题）例4（2025·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则.【变式4-1】（2025·上海闵行·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，【变式4-2】（2025·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（

）A．() B．[] C． D．【变式4-3】（2025·上海金山·期末）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为.题型5函数奇偶性的应用（共6题）例5（2025·上海·期末）已知幂函数是奇函数，则.【变式5-1】（2025·上海·期末）已知函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【变式5-2】（2025·上海杨浦·期末）已知定义在是的函数满足，且是奇函数，则.【变式5-3】（2025·上海闵行·期末）设，且函数是偶函数，若，则【变式5-4】（2025·上海·期末）已知函数的图像绕着原点旋转角后，与原来图像重合，则称函数为角旋转周期函数.(1)判断奇函数是否是角旋转周期函数，若是，求出；若不是，说明理由；(2)若是角旋转周期函数，判断以下四个点，哪个点可能在的图像上；(3)若是角旋转周期函数且上的点除原点外必不在的图像上，求所有满足要求的（可用三角比或具体数值表示）.【变式5-5】（2025·上海长宁·期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数．题型6由奇偶性求参数（共5题）例6（2025·上海·期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是.【变式6-1】已知为实数，且函数是偶函数，则.【变式6-2】设.若函数是定义在上的奇函数，则.【变式6-3】（2025·上海金山·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.【变式6-4】（2025·上海长宁·期末）设为实数，已知函数为偶函数：(1)求的值：(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明；题型7定义法判断或证明函数的单调性（共7题）例7（2025·上海·期末）已知函数．(1)证明：函数是奇函数；(2)用定义证明：函数在上是严格增函数；(3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．【变式7-1】（2025·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数．(1)求的值，并证明：是上的严格增函数；(2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由．【变式7-2】（2025·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)用定义证明函数在区间上是增函数；(3)解不等式．【变式7-3】（2025·上海·期末）已知对于任意的，，恒有，且当时，，则能使成立的一个的整数值为.【变式7-4】（2025·上海浦东新区·期末）已知函数的表达式为.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)用定义证明:函数在区间上是严格减函数.【变式7-5】（2025·上海闵行·期末）已知，．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若，证明：在区间上是严格增函数．【变式7-6】（2025·上海奉贤·期末）已知函数，其中．(1)当且时，求的值；(2)在下面三问中选一个，若都选，只按第（1）问阅卷．①当时，求函数的值域．②判断时函数在内的单调性，请说明理由．③判断函数的奇偶性，请说明理由．题型8求函数的单调区间（共3题）例8（2025·上海宝山·期末）函数的单调递减区间为.【变式8-1】（2025·上海普陀·期末）（1）解不等式．（2）函数的单调区间和对称中心．【变式8-2】（2025·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）.(1)求实数的值，并判断函数的奇偶性；(2)判断函数的单调性，并证明；(3)解关于的不等式.题型9根据函数的单调性求参数值（共6题）例9（2025·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是．【变式9-1】（2025·上海·期末）已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数.【变式9-2】（2025·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【变式9-3】（2025·上海·期末）已知为常数.(1)若为偶函数，求的值；(2)若函数为单调函数，求实数的取值范围.【变式9-4】（2025·上海嘉定·期末）对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量的值、，如果总有，则称函数在区间上是“舒缓函数”.(1)判断函数、在上是否是“舒缓函数”，并说明理由；(2)若函数在上是“舒缓函数”，求实数的取值范围；(3)已知函数，的最大值是、最小值是，在上是“舒缓函数”，且，求证：.【变式9-5】（2025·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”．(1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由①，；②，；(2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围(3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个．题型10根据函数的单调性解不等式（共7题）例10（2025·上海长宁·期末）不等式的解集是．【变式10-1】（2025·上海杨浦·期末）已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为.【变式10-2】（2025·上海徐汇·期末）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为.【变式10-3】（2025·上海松江·期末）已知函数的表达式是，则满足的实数的最大值是.【变式10-4】（2025·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为．【变式10-5】（2025·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为.【变式10-6】（2025·上海杨浦·期末）已知函数为奇函数(1)求：的值(2)解关于x的不等式，题型11根据解析式直接判断函数的单调性（共3题）例11（2025·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（

）A． B．C． D．【变式11-1】（2025·上海·月考）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为严格增函数，则、、中至少有一个严格增函数；②若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是（

）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【变式11-2】（2025·上海·期末）下列关于x的函数中，在其定义域上是严格增函数的是（填序号）：.①；②；③；④；⑤.题型12利用函数单调性求最值或值域（共7题）例12（2025·上海·期末）已知正实数满足，则的最大值为.【变式12-1】（2025·上海长宁·期末）函数的最大值为．【变式12-2】（2025·上海松江·期末）函数的最小值是.【变式12-3】（2025·上海闵行·期末）雅各布·伯努利（JakobBemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是【变式12-4】（2025·上海松江·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且.(1)求函数的表达式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明;(3)设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.【变式12-5】（2025·上海·期末）已知定义在上的函数是偶函数(1)求的值；(2)解不等式；(3)设函数，.若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.【变式12-6】（2025·上海宝山·期末）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元．(1)设仓库前面墙体的长为x米（），试将甲工程队的整体报价y表示为x的函数；(2)当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？(3)现有乙工程队也参与此仓库改造竞标，其给出的整体报价为元，其中，不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，求实数k的取值范围．题型13根据函数的最值求参数（共5题）例13（2025·上海·期末）已知函数的最小值为，则【变式13-1】（2025·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为【变式13-2】（2025·上海嘉定·期末）已知.(1)当时，判断在区间上的单调性，并证明你的结论；(2)若在区间上的最大值比最小值大1，求实数的值.【变式13-3】已知函数.(1)若恒成立，求的最大值；(2)若在上单调，求的取值范围；(3)求在上的最小值为，求.【变式13-4】（2025·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数”(1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围(2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证：(3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由.题型14函数不等式恒成立问题（共5题）例14（2025·上海普陀·期末）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是．【变式14-1】（2025·上海宝山·期末）已知.若任取、，均有成立，则实数的取值范围是.【变式14-2】（2025·上海浦新·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为.【变式14-3】（2025·上海普陀·期末）幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．(1)求的表达式；(2)求函数的单调区间（只写结果，不要证明）；(3)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【变式14-4】（2025·上海宝山·期末）定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”.(1)给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由；(2)给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值；(3)给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围.题型15函数不等式能成立(有解)问题（共3题）例15（2025·上海·期末）已知函数（常数）.(1)若，且，求的值；(2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数；(3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围.【变式15-1】（2025·上海·期末）已知函数为奇函数，，其中.(1)若函数的图象过点，求实数和的值；(2)若，试判断函数在上的单调性并用定义证明；(3)设函数，若对每一个不小于3的实数，都存在小于3的实数，使得成立，求实数的取值范围.【变式15-2】（2024·上海松江·期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是.题型16分段函数模型的应用（共3题）例16（2025·上海长宁·期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：．(1)计算的值，并说明其的实际意义；(2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．【变式16-1】（2025·上海·期末）某次展会上，跨国A公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元：现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；(2)产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额－成本）【变式16-2】据悉一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为.(1)求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值.题型17求函数的零点（共3题）例17（2025·上海徐汇·期末）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为.【变式17-1】（2025·上海宝山·期末）设均为正数，则函数的零点的最小值为.【变式17-2】（2025·上海嘉定·期末）函数的零点是.题型18零点存在性定理的应用（共4题）例18（2025·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.若函数具有性质，且的图象是一条连续不断的曲线，则函数的值域为.【变式18-1】（2025·上海杨浦·期末）设函数定义域为R,对于下列命题:①若存在常数M,使得对任意的,都有成立,则M是函数的最大值;②若函数的图像是一条连续不断的曲线,且对区间,有,则函数在区间上不存在零点;③若函数满足对任意的，都有或都有成立，则函数是偶函数或奇函数;④若函数满足对任意的，任意的,都有成立,则函数在R上严格递增;其中，所有假命题的序号为.【变式18-2】（2025·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（

）A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数”C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点【变式18-3】（2025·上海宝山·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．(1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由；(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．题型19判断零点所在的区间（共3题）例19（2025·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．无法确定【变式19-1】（2025·上海长宁·期末）设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（

）A． B． C． D．不能确定【变式19-2】（2025·上海·期末）已知函数，则下列命题中正确个数有（

）①的定义域为；②的值域为；③；④有两个零点，，且.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型20根据函数零点的个数求参数范围（共4题）例20（2025·上海长宁·期末）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为．【变式20-1】（2025·上海·期末）设常数，，设，若函数恰有三个零点，则的取值范围是．【变式20-2】