浙江北斗星盟2025-2026学年高二上学期阶段性联考（12月）数学试卷（含解析）

浙江省北斗星联盟2025-2026学年高二上学期12月阶段性联考数学试题一、单选题1．已知直线，则直线倾斜角为（

）A． B． C． D．2．等差数列中，，，则（

）A．35 B．40 C．55 D．533．已知，，，若，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-34．已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．5．正四棱锥中，点在线段上，且，记，，，则（

）A． B． C． D．6．记正项等比数列的前项和为，且满足，，则（

）A． B． C． D．7．已知半径为1的动圆圆心在直线上，过椭圆上一点作圆的切线，切线长的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．8．已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知数列满足，，，则下列选项中正确的是（

）A． B．C．数列单调递增 D．数列是周期数列10．在正三棱台中，，，点是线段上的动点，则下列选项中正确的是（

）A．B．直线与直线所成角的取值范围为C．存在点使得平面D．存在点使得平面11．过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作抛物线的切线，两切线交于点为坐标原点，直线交直线于点，则下列选项正确的是（

）A．点的横坐标为定值 B．可能是直角C． D．三、填空题12．已知直线，．若，则实数．13．动圆与圆外切同时与内切，则的面积最大值为．14．已知三棱锥中，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为．四、解答题15．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)令，求数列的前项和．16．已知圆过点和，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)若圆与圆至多有一个公共点，求实数的取值范围．17．如图，在四棱锥中，，，，，，．(1)若，求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面夹角正弦值的最小值．18．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点作斜率不为的直线与椭圆交于两点，直线，分别与定直线交于两点．若椭圆的离心率为，．(1)求椭圆的方程；(2)若点始终在以为直径的圆上，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求四边形面积的取值范围．19．已知双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，斜率为的直线与的两支分别交于A，B两点，与轴交于点，且．(1)求双曲线的方程；(2)双曲线上存在点，使得的角平分线交轴于点．（Ⅰ）求的取值范围：（Ⅱ）若，，求数列的前项和．

1．C将直线变为斜截式，可得其斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案.【详解】将直线l变形为，所以斜率，设倾斜角为，则，解得.故选：C2．D设公差为d，根据条件，联立求得，代入公式，即可得答案.【详解】因为为等差数列，设公差为d，所以，则，又，联立解得，所以.故选：D3．A根据数量积的坐标运算法则，即可得答案.【详解】由题意，因为，所以，解得.故选：A4．B根据题设列式求出即可得椭圆的方程；【详解】设半焦距为，则由题设有，故，故椭圆方程为：，又因为点在椭圆上，故，解得，则.所以椭圆标准方程为：.故选：B.5．D根据向量的线性运算法则，结合条件，化简计算，即可得答案.【详解】由题意.故选：D6．A利用等比数列前项和的性质，通过建立方程求出公比，再计算.【详解】由等比数列前项和的性质，，根据题设，，可得：，即，因为是等比数列，设公比为（，正项数列），则，代入上式得：，由于，两边同时除以得：，整理为，即，因为，所以，根据等比数列前项和公式得：，因此.故选：A.7．B切线长()，故对应，即求椭圆上点到直线的最小距离，首先设与已知直线平行的椭圆切线，再利用相切条件(判别式)，最后计算两平行线间的距离.【详解】设与直线平行的直线为，该直线与椭圆相切时，联立方程，，化简得：，即，即，解得已知直线为，两条切线为和。直线与已知直线的距离：直线与已知直线的距离：所以，代入切线长公式得.故选：B8．B根据双曲线方程，可得渐近线方程，设，设PA中点为Q，根据中点坐标公式，可得Q点坐标，根据Q在渐近线上，代入可得，由题意，点P为圆M与直线的公共点，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式，计算化简，即可得答案.【详解】根据双曲线方程可得，渐近线方程为，即，设，设PA中点为Q，由，得，因为Q在渐近线上，所以，即，所以点P为圆M与直线的公共点，由题意圆M的圆心为，半径为2，则圆心M到直线的距离，，所以，解得.所以离心率的取值范围为.故选：B9．ACD根据递推公式分奇偶项讨论，计算数列的前几项或分析通项公式，进而判断选项的正确性.【详解】已知，根据递推公式，分为奇数和偶数讨论：当（奇数）时：，即；当（偶数）时：，即；当（奇数）时：，即；当（偶数）时：，即；当（奇数）时：，即；当（偶数）时：，即；当（奇数）时：，即；选项A：计算前项和：，因此选项A正确；选项B：观察奇数项规律：，发现奇数项以为周期循环，因为是奇数，，对应周期中的第项，即，因此选项B错误；选项C：分析偶数项，当为奇数时，；当为偶数时，，由于恒为正数，所以数列单调递增，C正确；选项D：奇数项：，周期为，即是周期为的周期数列，因此选项D正确.故选：ACD.10．BCD建立空间直角坐标系，求出棱台的各个顶点坐标，对A，利用向量的坐标运算可得，即可求解；对B，，利用线线角的向量法可得，再求出其范围，即可解；对于C，利用线面平行的判定定理即可求解；对于D，利用，建立方程，求出，即可求解.【详解】将正三棱台补成如图所示的正三棱锥，因为，则，所以为的中点，过作于，由正三棱台的性质得，又，则，过作平面于，则是的中心，连接并延长交于，易知为的中点，由，易得，，，所以，设平面于，连接并延长交于，易知为的中点，易得，，，过作交于，则，过点作直线平面，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，对于A选项，，则，所以不垂直，故A错误；对于B选项，设，因为，设直线与直线所成的角为，则，又，令，令，则，当时，，当时，，又，则，故，则，又，所以，故B正确；对于C选项，当与重合时，此时即，易知，又平面，平面所以平面，故C正确，对于D选项，由选项B知，又则，得到，解得，故当与重合时，平面，故D正确，故选：BCD.11．ACD设直线方程，联立抛物线方程，求出交点坐标，进而得到切线交点M的坐标，再分析各选项的正确性.【详解】A选项：设过点的直线方程为，代入抛物线得，设，则，抛物线在点的切线方程为，即；同理，在点的切线方程为，联立两切线方程，解得交点的横坐标为，为定值，故A选项正确；B选项：计算：，代入，得：故不可能是直角，B选项错误；C选项：直线的斜率为，由得，直线的斜率为，两者斜率之积为，故，C选项正确；D选项：直线的方程为，直线的方程为，联立得交点的坐标为，通过坐标计算可得，则，当时，，即，故D选项正确.故选：ACD.12．3根据两直线平行，系数的关系，可得m值，分别代入检验，分析即可得答案.【详解】因为，所以，即，解得或3，当时，，即，，此时重合，不符合题意，舍去；当时，，，符合题意.故答案为：313．设圆M的半径为r，求出圆的圆心和半径，根据题意，可得，，即可得，根据椭圆的定义，可得M的轨迹方程，分析可得当M为短轴端点时，的面积最大，计算即可得答案.【详解】设圆M的半径为r，圆，圆心为，半径为2，圆，圆心为，半径为10，因为动圆与圆外切，所以，因为动圆与圆内切，所以，所以，所以点M的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，则，则方程为，当为短轴端点时，的面积最大，且最大值.故答案为：14．/先证点到平面的距离为定值，再说明当为等边三角形时，面积最大，再求此时二面角的余弦值.【详解】如图：过作平面，垂足为，过作于，连接.因为平面，平面，所以.又，平面，，所以平面.平面，所以.因为，所以.类似地，可证.在中，，，，所以，.在中，，，所以，.所以.即点到平面的距离为.在中，.由余弦定理，得，所以，所以，当且仅当即为等边三角形时取等号，此时三棱锥的体积最大.此时，看底面，如下图：过作，交延长线于.因为，，，所以.设二面角为，则，所以.故答案为：15．(1)，(2)（1）设的公差为d，的公比为，由题意得，联立可得和的值，即可得的通项公式，进而可得和的值，联立可得d值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，根据裂项相消求和法，即可得答案.【详解】（1）设的公差为d，的公比为，由题意得，则，即，代入可得，所以.所以，，又，解得，所以.（2）由（1）可知，所以.16．(1)(2)（1）需要利用圆的标准方程和圆心在直线上的条件，结合已知点来求解圆心坐标和半径；（2）需要先将圆化为标准方程，再根据两圆至多有一个公共点的条件，通过圆心距与半径的关系来确定的取值范围.【详解】（1）∵中点为，直线的斜率为，∴的中垂线为，即．联立，解得：，∴圆心，半径，∴．（2）圆，∴，∴，

∴或，即．17．(1)证明见解析(2)（1）取中点，连接、，证明四边形是平行四边形，从而证明线面平行.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入空间向量线面角公式，最后通过二次函数的最值来求角度的最小值.【详解】（1）如图，取中点，连接、．时，是中点，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面．

（2）如图，以B为原点建立空间直角坐标系，由已知得，，，，．取中点，连接．已知，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，

∴，，则，，，设平面的一个法向量，则，解得，不妨取，则，

∴，

∴时，，即直线与平面夹角正弦值的最小值为．

18．(1)(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）通过椭圆离心率公式和联立方程求出、，再由得到椭圆方程；（2）（Ⅰ）设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理得到和，根据点在圆上的条件求解；（Ⅱ）用表示四边形面积，换元后结合函数单调性求取值范围.【详解】（1）由题意得：，解得：，∴椭圆．（2）（Ⅰ）设直线，，，设直线，直线，∴，．

联立，得，∴，，

∴，又，∴．（Ⅱ）由（1）得：，，∴，

令，则关于u单调递增，∴．19．(1)(2)