山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（含答案）

怀仁市2023-2024学年度下学期高一第一次教学质量调研试题数学命题：怀仁市教育局高级中学教研组考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：必修第二册第六章平面向量及其应用，第七章复数，第八章立体几何初步的前一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（）A.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台D.棱台的各侧棱延长后必交于一点2.是所在平面上一点满足的形状是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3.的三个顶点所对应的复数分别为，复数满足，则对应的点是的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心4.欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，得共轭复数为（）A.B.C.D.5.已知一个圆台内接于球（圆台的上､下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上､下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（）A.B.C.D.6.在中，角的对边分别为，若，则（）A.B.C.D.7.如图，在平行四边形中，已知，则的值是（）A.8B.12C.22D.248.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图①），图②是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧､所在圆的半径分别是3和6，且，则下列关于该圆台的说法错误的是（）A.高为B.母线长为3C.表面积为D.体积为二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，则下列说法正确的是（）A.BC.若，则D.若，则或10.设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（）A.若则满足条件的三角形只有1个B.面积的最大值为C.周长的最大值为D.若为锐角三角形，则的取值范围是11.下列说法正确的是（）A.若一个球的体积为，则它的表面积为B.棱长为1的正四面体的内切球半径为C.用平面截球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为D.棱长为1的正方体的内切球截平面所得的截面面积为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为__________.13.已知平面向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为__________.14.设的内角A，B，C所对的边分别为，且.若点是外一点，，下列说法中，正确的命题是__________.①的内角②一定是等边三角形③四边形面积的最大值为④四边形面积无最大值四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆.（1）求其母线长；（2）在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积.16.（本小题满分15分）已知向量，且与的夹角为，（1）求证：（2）若，求的值；（3）若与的夹角为，求的值.17.（本小题满分15分）已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求；（3）若，求.18.（本小题满分17分）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，已知.当阳马体积等于24时，求：（1）堑堵的侧棱长；（2）鳖臑的体积；（3）阳马的表面积.19.（本小题满分17分）已知的内角的对边为，且.（1）求；（2）若的面积为；①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值.怀仁市2023—2024学年度下学期高一第一次教学质量调研试题数学答案命题：怀仁市教育局高中教研组（考试时间120分钟，满分150分）一､选择题：1~4DBAA5~8CACD1.D【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误；两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误.故选：D.2.B【详解】由，可得，即，即，将等式两边平方，化简得，即，因此，是直角三角形，故选：B.3.【答案】A【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数对应的点到的顶点的距离相等，为的外心.4.【答案】A【解析】，故.故选：A.5.C【详解】设圆台母线长为，上､下底面半径分别为和，则圆台侧面积为，上､下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.6.A【详解】由和余弦定理可得，即，由正弦定理，，则，即，于是有①，②，由①+②可得：.故选：A.7.C【详解】易知：，且..故选：8.D【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，即，即.又圆台的母线长为，所以圆台的高，故正确.圆台的表面积，故正确；圆台的体积，故D错误.故选D.二､选择题：9.ABD10.BCD11.ABD9.【答案】ABD设，，因为，，所以，故A正确；又，，，所以，故B正确；取，，可得，故C错误；若，由B选项知，所以或，可得或，故D正确；故选：ABD.10.【答案】BCD【解析】对于，因为，所以满足条件的三角形有2个，故错误；对于，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为，故B正确；对于，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以的周长，所以周长的最大值为，故正确；对于，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，，即，所以，故D正确.故选：BCD.11.ABD【详解】对于一个球的体积为，设该球的半径为，则，解得，于是该球的表面积为，故A正确；对于B：正四面体的棱长为1，内切球半径，如图所示，为的中点，，由正四面体的性质可知线段为正四面体的高，在正中，，同理，在正中，，则，所，则，设点为正四面体内切球的球心，则等体积法有，解得，故正确.对于C：用平面截一个球，所得的截面面积为，截面圆的半径，则，即，到该球球心的距离，设球的半径，则，所以球的体积为，故C错误；对于D：平面截球的截面为的内切圆，如图：因为正方体的棱长为1，所以对角线，内切圆半径，所以截面面积，故D正确.故选：ABD.三､填空题：12.13.14.①②③12.【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到，又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为，故答案为：.13.【详解】向量的夹角为锐角，则且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围为.故答案为：14.【详解】①：，又，所以，由，得，又，所以或，而，所以，故①正确；②：由①知，，又，所以，故为等边三角形，故②正确；③：由余弦定理，得，且，又，当时，取到最大值，且为，故③正确；④：由命题③可知，有最大值，故④错误.故答案为：①②③四､解答题：15.解：（1）（2）【详解】（1）设圆锥底面圆的半径为，母线长为1，高为，由题意知，侧面展开图的弧长圆锥高，由其轴截面的面积为.解得，则.即其母线长为（2）设正四棱柱的高为，所以圆锥体积为.由，则正四棱柱的底面对角线的长为2，一半长为1，由图可得，所以，故正四棱柱的体积为所以该几何体的体积为.16.【详解】（1）因为与的夹角为，所以，所以，所以.（2）由（1）知，，因为，所以，即，于是有，即，解得或，所以的值为-3或2.（3）由（1）知，因为，所以，，因为与的夹角为，所以，即且，于是有，解得或（舍），所以的值为2.17.解：（1）在中，由正弦定理及，得，则，而，则，又，所以（2）由，得，由（1）及余弦定理，得，解得，所以.（3）由及正弦定理，得，则，显然即则为锐角，，于是，，所以.18.（1）