山东省济南市商河弘德中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（A卷）（含解析）

商河弘德中学高二上学期12月月考数学试题（A卷）时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1．已知一组整数a1,a2,a3,A．−50 B．−73 C．−75 2．设O−ABC是正三棱锥,G1是ΔABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3A．14 B．12 C．34 3．把正整数以下列方法分组,(1),(2,3),(4,5,A．1113 B．4641 C．5082 D．5336 4．如图,棱长为2的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的坐标轴Ox,Oy,Oz上,则定点D的坐标为()

A．(1,1,1) B．(2,5．已知点P在离心率为2的双曲线x2a2−y2b2=1A．63 B．103 C．146．如图,已知圆柱的底面半径为2,与圆柱底面成60∘角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的焦距为()

A．22 B．23 C．47．如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,若经过D1A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 8．从2015年起到2018年,某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的一年的定期,到2019年5月1日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱(元)的总数为()A．a(1+q)4 B．a(1+二、多选题（每小题6分，共3小题18分）9．弦AB经过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点FA．AF=x1+p B．AB的最小值为2p

10．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线l:x−y−1=0A．2a2+b2=a2b2 B．11．已知a1,a2A．若q=1,则删去任意一个数都可以 B．若q≠1,则可以删去a1或a4

C．若q≠1,删去a2,则三、填空题（每小题5分，共3小题15分）13．数列{an}满足an14．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正方向的夹角为，则__________.四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共5小题77分）15．【RB】写出以下各数列{an}的一个通项公式,并根据你写的通项公式求出各数列的第10项:

(1)12,14,18,116,⋯;

(2)1,−316．【RA】2.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.

(1)求点A1到直线B117．四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90∘，AB=4，CD=1，点M在PB上，且PB=4PM，PB与平面ABC成3018．如图F1,F2分别是C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,当∠F1PF2最大时,cos∠F1PF19．某农场在处有一堆肥，今要把这堆肥沿道路或送到田地中，已知，，.请你在田地中选择一界线，使位于界线一侧的点沿道路送肥较近，而另一侧的点沿送肥较近，并说明是什么界线，求出它的方程.

商河弘德中学高二上学期答案和解析第1题：【答案】C【解析】∵am+1+am+3=0,a1=2,∴a2+a1+3=0,得a2第2题：【答案】C【解析】∵OG=3GG1⇒OG第3题：【答案】B【解析】第21组共有21个数,构成一个等差数列,公差为1,首项比第20组的最后一个数大1,所以先求前20组一共有多少个数.因为第n组有n个数,所以前20组一共有1+2+3+⋯+20=210个数,于是第21组的第一个数为211,这组一共有21个数,所以S21第4题：【答案】A【解析】棱长为2的正四面体ABCD可以放到正方体中,已知D点、O点的连线是正方体的体对角线,故D点坐标为(1第5题：【答案】B【解析】设双曲线的左焦点为F1,由题知:

PF−PF1=2a,|PF|=2a+|PF1|,ΔPAF周长=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+|AF|+2a⩾|第6题：【答案】D【解析】如图所示,

设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点O1,圆柱的底面中心为O,

则∠OAB=60∘,可得a=O第7题：【答案】C【解析】设正方体的棱长为a,AE=x,CF=y,建立如图所示的空间直角坐标系,

则D10,0,a,Ba,a,0,Ea,0,x,F0,a,y,

D1E=a,0,x−a,D第8题：【答案】D【解析】2015年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),

则到2019年5月1日存款及利息是a(1+p)4

2016年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),

则到2019年5月1日存款及利息是a(1+p)3

2017年5月1日到银行存入a元,则一年后存款及利息是a(1+p),

则到2019年5月1日存款及利息是a(1+p)2

2018年5月1日到银行存入a第9题：【答案】B,C,D【解析】焦点为Fp2,0,准线为x=−p2,AF=x1+p2,故A错误,

设弦AB所在的直线方程为x=my+p2,由x=my+p2y2=2px可得y第10题：【答案】A,B,C【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系.设Ax1,y1,Bx2,y2.

由x2a2+y2b2=1,y=x−1,得a2+b2x2−2a2x+a2−a第11题：【答案】A,C,D【解析】若q=1,则a1,a2,a3,a4均相等,公差为0,删去其中的任意一个数,则剩下的三个数还相等,公差仍为0,故成立;

若删去a1或a4,都得到公比,故B错误;

若删去a2,则由2a3=a1+a4,得2a1q2=a1第12题：【答案】④【解析】①a,c=π4或3第13题：【答案】7【解析】由an+2+(−1)nan=3n−1,得a2n+2+a2n=6n−1,a2n+1−a2n−1=6n−4,

两式相加,得a2n−1+a2n+a2n+1+a2n+2=2a2n−1+12n−5,

取n=1,得a1+a2+a3+a4=2a1+12−5,

取n=3,得a5+a6+a7+a8=2a5+12×3−5,

第14题：【答案】【解析】设点，由题意可知，抛物线的准线为，由抛物线的定义可得.由于，∴，解得，∴.第15题：【答案】见解析【解析】(1)an=12n,a第16题：【答案】见解析【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如答图13所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),E(0,0,12),B1(1,1,1),F(1,1,12),C1(0,1,1),A(1,0,0).

(1)A1B1=(0,1,0),EB1=(1,1,12),则A1B1·EB1=(0,1,0)·(1,1,12)=1,

|A1B1|=1,|EB1|=1+1+14=32,

所以向量A1B1在直线B1E上的投影向量的长度为|A1B1·EB1||EB1|=23.

所以点A1到直线B1E的距离为|A1B1|2−(|A1B1第17题：【答案】见解析【解析】如图，以C为原点，分别以CB，CD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系C−xyz.

（1）∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，故∠PBC=30∘.

∵|PC|=2，∴|BC|=23，|PB|=4，

得D(0,1,0)，B(23,0,0)，A(23,4,0)，P(0,0,2).

又|PB|=4|PM|，∴|PM|=1，M(32,0,32)，

∴CM=(32,0,23)，DP=(0,−1,2)，DA=(23,3,0).

设N为PA上一点，则存在x，y使DN=xDP+yDA（其中x，y∈R），

则DN=x(0第18题：【答案】见解析【解析】(1)当∠F1PF2最大时,点P与椭圆C的上顶点或下顶点重合,不妨设P(0,b),cos∠F1PF2=a2+a2−(2c)22a·a=35①,PF2·F1F2=(