专题04一次函数的应用与几何综合问题（五大类型）-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（苏科版）

备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编专题04一次函数的应用与几何综合问题（五大类型）一次函数的应用：最大利润问题1．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元；①求关于的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．2．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）某企业生产A、B两种型号的设备共500台，销往甲、乙两个地区，在两地销售可获得的利润情况如下表：A型设备（万元/台）B型设备（万元/台）甲地区销售可获得的利润1.81.3乙地区销售可获得的利润1.61.2该企业如果将生产的A、B两种型号的设备全部在甲地区销售，那么可获得利润750万元，．(1)求A、B两种型号设备各生产了多少台？(2)若销往甲地区x台A型设备，余下的所有设备销往乙地区，写出销售这500台设备可获得的利润y（万元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值．3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期末）某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．(1)求篮球和足球的进价；(2)篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润（元）与购买的篮球的数量（只）之间的函数关系式，并直接写出最大时的进货方案．4．（2022上·江苏徐州·八年级校考期末）某手机专卖店销售1部A型手机的利润为100元，销售1部B型手机的利润为130元．该商店计划一次购进两种型号的手机共100部，设购进A型手机部，这100部手机的销售总利润为元．(1)直接写出与之间的函数表达式______________________________；(2)若B型手机的进货量不超过A型手机的3倍，问：该商店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？5．（2020上·江苏宿迁·八年级统考期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个．设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．6．（2022下·江苏无锡·八年级统考期末）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，乙种水果的进价比甲种水果的进价多5元，售价如下表所示：水果单价甲乙进价（元/千克）售价（元/千克）3036已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．(1)求甲、乙两种水果的进价；(2)若超市购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？一次函数的应用：方案选择问题7．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把元；若学校购进张甲种办公桌和张乙种办公桌共花费元；购买张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费元．(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？(2)若学校购买甲乙两种办公桌共张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案．8．（2022上·江苏常州·八年级统考期末）为迎接周年庆典，某商场面向消费者推出VR（虚拟现实）体验优惠活动，活动方案如下：方案一：若消费者购买一张40元的专享卡，每次VR体验费用按八折付费；方案二：若消费者不购买专享卡，当VR体验超过一定次数后，超过部分享受优惠．设某消费者参加VR体验x次，按照方案一所需费用为y1元，按照方案二所需费用为y2元，y2与x之间的函数图像如图所示．(1)优惠前每次的VR体验费用是元；(2)分别y1、y2与x的函数表达式；(3)若VR体验超过10次，该消费者将选择哪种方案？为什么？9．（2022上·江苏连云港·八年级统考期末）为了改善学校办公环境，某校计划购买、两种型号的笔记本电脑共15台，已知型笔记本电脑每台5200元，型笔记本电脑每台6400元，设购买型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元．(1)求出与之间的函数表达式；(2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买型笔记本电脑的数量不得大于型笔记本电脑数量的2倍，请问学校共有几种购买方案？哪种方案费用最省，并求出该方案所需费用．10．（2021上·江苏常州·八年级统考期末）某工厂计划每天生产甲、乙两种型号的口罩共8000个，每生产一个甲种型号的口罩可获得利润0.5元，每生产一个乙种型号的口罩可获得利润0.3元．设该工厂每天生产甲种型号的口罩x个，生产甲、乙两种型号的口罩每天获得的总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）若每生产1个甲种型号的口罩需要A原料2g，每生产1个乙种型号的口罩需要A原料1g，受市场影响，该厂每天能购进的A原料至多为10000g，其他原料充足．问：该工厂每天生产甲、乙两种型号的口罩各多少个时，能获得最大利润？11．（2021上·江苏·八年级统考期末）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为7元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买数量不超过20kg时，价格为8元/kg；一次性购买数量超过20kg时，其中，有20kg的价格仍为8元/kg，超过20kg部分的价格为6元/kg．设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为xkg（x＞0）．（1）设在甲批发店购买需花费y1元，在乙批发店购买需花费y2元，分别求y1、y2关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；（2）求：当x为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？（3）填空：①若小王在甲批发店购买更合算，则购买数量x的取值范围为；②若小王花费400元，则最多可以购买kg苹果．12．（2021上·江苏盐城·八年级统考期末）某县在创建省文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A、B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元（1）求A种、B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价八折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．一次函数的应用：行程问题13．（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地，已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是，两车离甲地的路程与时间的函数图像如图．

(1)求出的值：(2)求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式：(3)求轿车到达乙地时货车距离乙地还有多远？14．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中为折线段．请结合图像回答下列问题：

(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．①图2中m的值为___________．②请求出在时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．15．（2022上·江苏淮安·八年级校考期末）甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲、乙两车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．

(1)两城相距________千米，乙车比甲车早到________小时(2)甲车出发多长时间与乙车相遇?(3)若两车相距不超过20千米时可以通过无线电相互通话，则两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长?16．（2022上·江苏南京·八年级统考期末）甲、乙两人沿同一条笔直的路同时从A地出发，甲从A地匀速步行，途经B地，到达C地后立即原路原速返回；乙从A地匀速步行，到达B地后立即原路原速返回；两人恰好同时返回到A地．设甲步行的时间为，甲、乙两人离B地的距离分别为、，图中的折线表示与t之间的函数关系．(1)A、C两地之间的距离为______，甲步行的速度为______；(2)求图中线段所表示的关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；(3)在同一个坐标系中，画出关于t的函数图像．17．（2023上·江苏南京·八年级统考期末）假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到南京博物院参观，小区与南京博物院的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达南京博物院，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：(1)甲在南京博物院参观的时间为______分钟，甲返回小区的速度为______千米/分钟；(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；(3)若两人之间的距离为y千米，请画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图像．18．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）实验小学与七彩农业园分别在上海路的两端，甲从实验小学去七彩农业园，乙从七彩农业园回学校，乙先到达目的地，两人之间的距离y（米）时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图像信息解答下列问题：(1)当时，甲、乙两人相遇，甲的速度为米/分；(2)求乙的速度；(3)求出线段所对应的函数表达式．一次函数图象与性质综合问题19．（2022上·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于．

(1)求直线的函数解析式；(2)设直线与y轴交于点M，求的面积；(3)利用函数图象直接写出当时，x的取值范围为______．20．（2022上·江苏南京·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．(1)求这个一次函数的表达式；(2)画出这个函数图象，并根据图象回答：当x______时，．(3)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集为______．21．（2023上·江苏南京·八年级统考期末）已知一次函数的图像经过两点．(1)求的值；(2)当时，函数值的范围是_______；(3)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，则的取值范围为______．22．（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完成：(1)当时，；当时，．当时，．(2)在平面直角坐标系中画出的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质．(3)直接写出关于x的方程为常数，解的个数及对应k的取值范围．23．（2023上·江苏泰州·八年级统考期末）我们研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图像，请运用这样的方法对函数进行探究：(1)补全表格中所缺数据，并在所给平面直角坐标系中画出函数图像．0123411(2)根据所画图像，写出该函数的两条性质：①；②；(3)结合所画图像回答：当时，的取值范围是什么？24．（2022下·江苏南通·八年级统考期末）在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对值函数”：，请类比探究函数．(1)当时，______，当时，______用含的代数式表示；(2)过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，分别与函数的图像相交于、两点点在点的左侧，若，求的值；(3)若一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，直接写出的取值范围．一次函数的应用：几何综合问题25．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，并且与x轴以及的图象分别交于点C、D，点D的横坐标为1．

(1)求函数表达式;(2)在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；26．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．

(1)若点．①求一次函数和反比例函数的解析式；②在y轴上取一点P，当的面积为5时，求点P的坐标；(2)过点B作轴于点D，点E为中点，线段交y轴于点F，连接．若的面积为11，求k的值．27．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，已知为正比例函数的图像上一点，轴；垂足为点．

(1)求的值；(2)点从出发，以每秒个单位的速度沿射线方向运动．设点的运动时间为（s）．①过点作交直线于点，若，求的值；②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由．28．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．

（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．

（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．

29．（2023下·江苏徐州·八年级校联考期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，，直线经过点、．

(1)点C的坐标为（___________，___________），点B的坐标为（___________，___________）；(2)设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．(3)如图2，直线经过点，与直线交于点，点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于第一象限的点．当时，求直线的解析式．30．（2023上·江苏常州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1与x轴交于点A，一次函数的图象与x轴交于点B，与交于点P．直线过点A且与x轴垂直，C是上的一个动点．(1)分别求出点A、P的坐标；(2)设直线对应的函数表达式为，且满足函数值y随x的增大而增大．若的面积为15，分别求出k、b的值；(3)是否存在点C，使得？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．一、解答题1．（2021上·江苏苏州·八年级统考期末）某技工培训中心有钳工名、车工名．现将这名技工派往两地工作，设派往地名钳工，余下的技工全部派往地，两地技工的月工资情况如下表：钳工/（元/月）车工/（元/月）地地（1）试写出这名技工的月工资总额（元）与（名）之间的函数表达式，并写出的取值范围；（2）根据预算，这名技工的月工资总额不得超过元．当派往地多少名钳工时，这些技工的月工资总额最大？月工资总额最大为多少元？2．（2022上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需26元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需28元．(1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？(2)学校准备购进这两种型号的跳绳共40根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．3．（2022上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）我市某镇组织辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题．脐橙品种ABC每辆汽车运载量（吨）每吨脐橙获利（元）(1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式；(2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．4．（2022上·江苏无锡·八年级江苏省天一中学校考阶段练习）某汽车运输公司推出商务车和轿车对外租赁业务．每辆商务车可载客6人，每辆轿车可载客4人．(1)单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，单程租赁1辆商务车和7辆轿车共需付租金1980元，求一辆轿车的单程租金为多少元？(2)某公司准备组织34名职工到外地参加业务培训，拟单程租用车辆前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？5．（2022上·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）在新冠病毒防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：项目购进数量（件）购进所需费用（元）酒精消毒液测温枪第一次第二次(1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？(2)公司决定酒精消毒液以每件元出售，测温枪以每件元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍，求该公司销售完上述件商品获得的最大利润．6．（2022上·江苏南京·八年级统考阶段练习）某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．(1)求折线表示的y与x之间的函数关系式；(2)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？7．（2022上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润y元．(1)1台A型电脑，B型电脑的利润分别是多少；(2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量范围；(3)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？8．（2022上·江苏扬州·八年级统考期末）某车间共有20名工人，每人每天可加工甲种零件6个或乙种零件4个，现安排x名工人加工甲种零件，其余的人加工乙种零件．已知加工一个甲种零件可获利15元，加工一个乙种零件可获利25元．(1)求该车间每天所获总利润y（元）与x（名）之间的函数表达式；(2)如何分工可使车间每天获利1500元？(3)该车间能否实现每天获利2200元？9．（2021上·江苏宿迁·八年级统考期末）甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度与登山时间之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题：(1)图中t=___________．(2)若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，①则甲登山的上升速度是___________；②请求出甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式；③当甲、乙两人距地面高度差为时，请直接写出满足条件的x值．10．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）甲、乙两地相距150千米，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿平行的轨道匀速相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回到甲地时停止；慢车到达甲地时停止．慢车到达甲地比快车到达甲地早0.5小时，快车速度是慢车速度的2倍．两车距各自出发地的路程y千米与所用时间x小时的函数图像如图，请结合图像信息解答下列问题：(1)快车的速度为___________，慢车的速度为___________；(2)求快车返回过程中y与x的函数关系式；(3)两车出发后经过多长时间相距60千米的路程？11．（2023上·江苏南京·八年级统考期末）高速列车和普通列车每天往返于甲、乙两地，高速列车从甲地出发往返3次（到站后立即返回，不考虑到站停留时间）；普通列车从乙地出发，到达甲地后停留，然后以原速返回，到达乙地后停止，两车同时出发，匀速行驶，普通列车离开甲地返回乙地时，高速列车恰好第二趟返回到达甲地，普通列车距离乙地的路程与行驶时间之间函数关系的图象如图所示．(1)甲、乙两地相距_____，求线段所表达的函数表达式；(2)高速列车的速度是_____，两车每天相遇_____次；(3)求两车最后一次相遇时距离乙地的路程．12．（2023上·江苏南京·八年级统考期末）A、B两地相距40，甲由A地出发骑自行车去B地，速度为10，当甲出发后，乙由A地乘汽车沿同一条路线出发去B地，速度为40．设甲出发后，甲离A地的距离为，乙离A地的距离为．(1)求，与x之间的函数表达式；(2)在下面直角坐标系中画出，与时间x之间的函数图像（标出相关数据）；(3)乙能否在途中超过甲？如果能超过，何时超过？13．（2023上·江苏徐州·八年级统考期末）已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一直线上，阅览室离学生公寓1.2，超市离学生公寓2．小明从学生公寓出发，匀速步行了12到阅览室；在阅览室停留70后，匀速步行了10到超市；在超市停留20后，匀速骑行了8返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小明离学生公寓的距离y与离开学生公寓的时间x之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：离开学生公寓的时间/585087112离学生公寓的距离/__________________2(2)回公寓的路上，小明何时距公寓0.5？14．（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）小明从A地匀速前往B地，同时小亮从B地匀速前往A地，两人离B地的路程与行驶时间之间的函数图像如图所示．(1)A地与B地的距离为，小明的速度是；(2)求出点P的坐标，并解释其实际意义；(3)设两人之间的距离，在图②中，画出s与x的函数图像（请标出必要的数据）；(4)当两人之间的距离小于时，则x的取值范围是．15．（2022上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）小华从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图像；图2中线段AB表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图像的一部分，请根据所给信息解答下列问题：(1)填空：妈妈骑车的速度是______米/分钟，小华步行的速度是______米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是______分钟，点M的坐标是______；(2)在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数图像；(3)求t为何值时，两人相距360米．16．（2023上·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题：(1)甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是___________米/分钟；(2)求图①中的值；(3)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？17．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x、y轴的距离中的最大值等于点N到x、y轴的距离中的最大值，则称M，N两点为“等值点”．下图中的点，点即为“等值点”．(1)已知点C的坐标为．①在点中，是点C的“等值点”的是点；（填D、E或F）②若点与点C是“等值点”，直接写出点G坐标：；(2)若是一次函数图象上的两点，且M、N为“等值点”，求k的值．18．（2022上·江苏淮安·八年级校考期末）直线经过点与

(1)求一次函数的解析式(2)若直线与轴、轴分别交于A、B两点，点在轴上，且，求的面积．19．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．(1)求直线的函数表达式；(2)在y轴上存在一点P，使得，求出点P的坐标；(3)点E为直线上的动点，过点E作x轴的垂线，交于点F，点H为y轴上一动点，且为等腰直角三角形，求满足条件的点E的坐标．20．（2022上·江苏盐城·八年级统考期末）如图，直线与y轴交于点G，直线l上有一动点P，过点P作y轴的平行线，过点G作x轴的平行线，它们相交于点E．将△PGE沿直线l翻折得到，点E的对应点为．(1)如图1，请利用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点E的对应点；(2)如图2，当点E的对应点落在x轴上时，①直线l与x轴的交点D的坐标______，②求证，③求点P的坐标；(3)如图3，直线l上有、两点，当点P从点A运动到点B的过程中，点也随之运动，请直接写出点的运动路径长为______．21．（2023上·江苏扬州·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，作直线．点B关于直线的对称点刚好在x轴上，连接．(1)写出点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；(2)点D在线段上，连接，当是等腰直角三角形时，求点D坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接，过D作的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时是等腰三角形．22．（2023上·江苏常州·八年级统考期末）【操作思考】如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数的图像，再画出关于正比例函数的图像对称的．【猜想验证】猜想：点关于正比例函数的图像对称的点Q的坐标为_________；验证点在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）．证明：如图2，点、Q关于正比例函数的图像对称，轴，垂足为H．【应用拓展】在中，点A坐标为，点B坐标为，点C在射线上，且平分，则点C的坐标为_________．

备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编专题04一次函数的应用与几何综合问题（五大类型）一次函数的应用：最大利润问题1．（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元；①求关于的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)普通练习本：元；精装练习本：元(2)；②普通练习本进本，精装练习本进本，利润最大，最大为元【分析】（1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据等量关系式：本普通练习本销售总额精装练习本销售额元；本普通练习本销售额精装练习本销售额元，列出方程，解方程即可；（2）①购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；②先求出的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据题意得：，解得：，答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元．（2）解：购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据题意得：；普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，，解得：，中，随的增大而减小，当时，取最大值，（个），（元），答：当购买个普通练习本，个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．2．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）某企业生产A、B两种型号的设备共500台，销往甲、乙两个地区，在两地销售可获得的利润情况如下表：A型设备（万元/台）B型设备（万元/台）甲地区销售可获得的利润1.81.3乙地区销售可获得的利润1.61.2该企业如果将生产的A、B两种型号的设备全部在甲地区销售，那么可获得利润750万元，．(1)求A、B两种型号设备各生产了多少台？(2)若销往甲地区x台A型设备，余下的所有设备销往乙地区，写出销售这500台设备可获得的利润y（万元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值．【答案】(1)型号设备生产了200台，型号设备生产了300台；(2)，720万元．【分析】（1）设型号设备生产了台，则型号设备生产了台，根据“设备全部在甲地区销售，那么可获得利润750万元”可列方程，求解即可；（2）由题意可知销往甲地区台型设备，乙地区台型设备，300台型设备，由此可列函数关系式和的取值范围，再根据判断增减性进而可求得最大利润．【详解】（1）解：设型号设备生产了台，则型号设备生产了台，由题意可得：，解得：，则，答：型号设备生产了200台，型号设备生产了300台；（2）销往甲地区台型设备，余下的所有设备销往乙地区，则乙地区台型设备，300台型设备，∴，∵，∴随增大而增大，∴时，利润取最大值为：万元，【点睛】此题考查了一元一次方程的应用、一次函数的应用等知识，弄清题中的等量关系是解本题的关键．3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期末）某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．(1)求篮球和足球的进价；(2)篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润（元）与购买的篮球的数量（只）之间的函数关系式，并直接写出最大时的进货方案．【答案】(1)篮球进价为60元只，足球的进价为80元只(2)当时，利润最大，对应的方案是购买篮球114只，足球2只【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意要检验；（2）根据题意和题目中的数据，可以写出和的关系式，绕后根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求出使得最大时的进货方案．【详解】（1）设篮球进价为元只，则足球的进价为元只，由题意可得：，解得，经检验是方程的解，，答：篮球进价为60元只，足球的进价为80元只；（2）由题意可得，，随的增大而增大，，，又为整数，的最大值为114，此时，当时，利润最大，对应的方案是购买篮球114只，足球2只，答：该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润（元与购买的篮球的数量（只之间的函数关系式，最大时的进货方案是购买篮球114只，足球2只．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用,解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求值．4．（2022上·江苏徐州·八年级校考期末）某手机专卖店销售1部A型手机的利润为100元，销售1部B型手机的利润为130元．该商店计划一次购进两种型号的手机共100部，设购进A型手机部，这100部手机的销售总利润为元．(1)直接写出与之间的函数表达式______________________________；(2)若B型手机的进货量不超过A型手机的3倍，问：该商店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？【答案】(1)(2)商店购进A型手机25部，B型手机75部【分析】（1）根据题意，列出关系式为：，整理即可得出答案；（2）根据B型手机的进货量不超过A型手机的3倍列出不等式，求出的范围，再根据（1）求出的解析式，确定的值，进而求出最大利润的值．【详解】（1）解：设购进A型手机x部，则购进B型手机部，根据题意得：，即，所以与之间的函数表达式为：，故答案为：；（2）解：B型手机的进货量不超过A型手机的3倍，，解得：，，其中，随的增大而减小，当，时，取最大值，最大值为，所以商店购进A型手机25部，B型手机75部，才能使销售总利润最大，最大利润为12250元．【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数的系数确定的增减情况从而确定的值．5．（2020上·江苏宿迁·八年级统考期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个．设购买普通练习本x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元．(2)当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．【分析】（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额＋100精装练习本销售额=1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额=1100元，列出方程，解方程即可；（2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；②先求出x的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据题意得：，解得：，答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元．（2）解：①购买普通练习本x个，则购买精装练习本个，根据题意得：；②∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，∴，解得：，∵中，∴W随x的增大而减小，∴时，W取最大值，（个），（元），答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．6．（2022下·江苏无锡·八年级统考期末）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，乙种水果的进价比甲种水果的进价多5元，售价如下表所示：水果单价甲乙进价（元/千克）售价（元/千克）3036已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．(1)求甲、乙两种水果的进价；(2)若超市购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲种水果的进价为20元，则乙种水果的进价为25元(2)购进甲种水果100千克，乙种水果50千克，获得最大利润1550元．【分析】（1）设甲种水果的进价为x元，则乙种水果的进价为（x+5）元，由题意：用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．列出分式方程，解方程即可；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为y元，由题意得y＝﹣m+1650，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2（150﹣m），解得m≥100，然后由一次函数的性质即可得出结论．【详解】（1）设甲种水果的进价为x元，则乙种水果的进价为（x+5）元，由题意得：，解得：x＝20，经检验：x＝20是原方程的解，且符合题意，则x+5＝25，答：甲种水果的进价为20元，则乙种水果的进价为25元；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为y元，由题意得：y＝（30﹣20）m+（36﹣25）（150﹣m）＝﹣m+1650，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴m≥2（150﹣m），解得：m≥100，∵﹣1＜0，则y随m的增大而减小，∴当m＝100时，y最大，最大值＝﹣100+1650＝1550，则150﹣m＝50，答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为1550元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．一次函数的应用：方案选择问题7．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把元；若学校购进张甲种办公桌和张乙种办公桌共花费元；购买张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费元．(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？(2)若学校购买甲乙两种办公桌共张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案．【答案】(1)甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张元(2)甲种办公桌购买张，购买乙种办公桌张，费用最少【分析】（1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据题意，得：，进行计算即可得；（2）设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌张，总费用为w元，则可得，根据得，根据得y随a的增大而减小，即可得当时，w取得最小值．【详解】（1）解：设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据题意，得：，整理，得，解得：，答：甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张元；（2）解：设甲种办公桌购买a张，则购买乙种办公桌张，总费用为w元，则=＝，∵，∴，∵，∴w随a的增大而减小，∴当时，w取得最小值．所以甲种办公桌购买30张，购买乙种办公桌10张时，费用最少【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握解二元一次方程的方法，一次函数的性质．8．（2022上·江苏常州·八年级统考期末）为迎接周年庆典，某商场面向消费者推出VR（虚拟现实）体验优惠活动，活动方案如下：方案一：若消费者购买一张40元的专享卡，每次VR体验费用按八折付费；方案二：若消费者不购买专享卡，当VR体验超过一定次数后，超过部分享受优惠．设某消费者参加VR体验x次，按照方案一所需费用为y1元，按照方案二所需费用为y2元，y2与x之间的函数图像如图所示．(1)优惠前每次的VR体验费用是元；(2)分别y1、y2与x的函数表达式；(3)若VR体验超过10次，该消费者将选择哪种方案？为什么？【答案】(1)30(2)，(3)当VR体验超过15次时，选择方案二，当VR体验等于15次时，两种方案一样，当VR体验超过10次且小于15次时，选择方案一【分析】（1）由函数图像可知，消费者的体验费用为原价为元；（2）由题意知；当时，，当时，设函数表达式为，将和代入解得的值，进而可得函数表达式；（3）令，解得，可知当体验次数大于15次时，选择方案二更优惠；当体验次数等于15次时，两方案均可；当体验次数超过10次小于15次时，选择方案一更优惠．【详解】（1）解：由函数图像可知，消费者的体验费用为原价∵∴优惠前每次的VR体验费用是30元．（2）解：由题意知当时，当时，设函数表达式为将和代入得解得∴∴y1、y2与x的函数表达式分别为，．（3）解：令解得可知当体验次数大于15次时，选择方案二更优惠；当体验次数等于15次时，两方案均可；当体验次数超过10次小于15次时，选择方案一更优惠；∴当VR体验超过15次时，选择方案二，当VR体验等于15次时，两种方案一样，当VR体验超过10次且小于15次时，选择方案一．【点睛】本题考查了一次函数，分段函数的应用．解题的关键在于从函数图象上获取信息．9．（2022上·江苏连云港·八年级统考期末）为了改善学校办公环境，某校计划购买、两种型号的笔记本电脑共15台，已知型笔记本电脑每台5200元，型笔记本电脑每台6400元，设购买型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元．(1)求出与之间的函数表达式；(2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买型笔记本电脑的数量不得大于型笔记本电脑数量的2倍，请问学校共有几种购买方案？哪种方案费用最省，并求出该方案所需费用．【答案】(1)与之间的函数表达式为；(2)学校共有6种购买方案，购买型电脑10台，型电脑5台时费用最省，该方案所需费用为84000元．【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由题意易得，然后可得x的范围，然后根据一次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：由题意，得：，与之间的函数表达式为；（2）解：学校预算不超过9万元，购买型笔记本电脑的数量不得大于型笔记本电脑数量的2倍，，解得：，而为整数，可取5、6、7、8、9、10，学校共有6种购买方案，由，，随的增大而减小，且为整数，当时，有最小值，，此时（台，答：学校共有6种购买方案，购买型电脑10台，型电脑5台时费用最省，该方案所需费用为84000元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．10．（2021上·江苏常州·八年级统考期末）某工厂计划每天生产甲、乙两种型号的口罩共8000个，每生产一个甲种型号的口罩可获得利润0.5元，每生产一个乙种型号的口罩可获得利润0.3元．设该工厂每天生产甲种型号的口罩x个，生产甲、乙两种型号的口罩每天获得的总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）若每生产1个甲种型号的口罩需要A原料2g，每生产1个乙种型号的口罩需要A原料1g，受市场影响，该厂每天能购进的A原料至多为10000g，其他原料充足．问：该工厂每天生产甲、乙两种型号的口罩各多少个时，能获得最大利润？【答案】（1）y＝0.2x＋2400；（2）每天生产甲、乙两种型号的口罩分别为2000个、6000个时，能获得最大利润.【分析】（1）根据题意可以得出甲乙两种口罩的数量分别是x和(8000x),再由单件利润乘以数量直接得到各自利润，相加即可得到两种口罩的总利润；（2）根据该厂每天能购进的A原料至多为10000g，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得该工厂每天生产甲、乙两种型号的口罩各多少个时，能获得最大利润．【详解】解：（1）由题可得：y＝0.5x＋0.3（8000﹣x）＝0.2x＋2400，即y与x的函数关系式为y＝0.2x＋2400；（2）由题意可得，2x＋（8000﹣x）≤10000，解得x≤2000，∵y＝0.2x＋2400，∴y随x的增大而增大，∴当x＝2000时，y取得最大值，此时y＝2800，8000﹣x＝6000，答：该工厂每天生产甲、乙两种型号的口罩分别为2000个、6000个时，能获得最大利润.【点睛】本题考查了一次函数的应用，学生应认真分析题中的数量关系，找到相等关系是得到函数关系式的关键，利用一次函数求最值需要学生对函数的性质有一定的理解，本题综合考查了考生读题、审题、分析问题的能力以及对一次函数性质应用的能力11．（2021上·江苏·八年级统考期末）甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为7元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买数量不超过20kg时，价格为8元/kg；一次性购买数量超过20kg时，其中，有20kg的价格仍为8元/kg，超过20kg部分的价格为6元/kg．设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为xkg（x＞0）．（1）设在甲批发店购买需花费y1元，在乙批发店购买需花费y2元，分别求y1、y2关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；（2）求：当x为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？（3）填空：①若小王在甲批发店购买更合算，则购买数量x的取值范围为；②若小王花费400元，则最多可以购买kg苹果．【答案】（1），；（2）；（3）；60kg．【分析】（1）根据题意，在甲店，按单价7元计算，在乙店，分与两种情况，分别计算即可；（2）在（1）中结论，甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱，分与两种情况分别计算；（3）当时，在甲店购买比较合算，据此解得x的取值范围；当小王花费400元时，分别在甲店与乙店计算所能购买的苹果重量即可解题．【详解】解：（1）根据题意得，在甲批发店需花费：，在乙批发店需花费：，即；（2）若甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱时，当时，，解得（不符合题意，舍去）当时，，解得故当时，甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱；（3）由（2）知，在甲批发店购买更合算，则，解得在甲批发店购买更合算，购买数量x的取值范围为；若小王花费400元，在甲店可购买苹果，，在乙店可购买超过20kg的苹果，小王花费400元，在乙店最多可以购买60kg苹果．【点睛】本题考查一次函数的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.12．（2021上·江苏盐城·八年级统考期末）某县在创建省文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A、B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元（1）求A种、B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价八折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．【答案】（1）A种树每棵100元，B种树每棵80元；（2）当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为7600元【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答；（2）设购买A种树木为x棵，则购买B种树木为（100-x）棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”列出不等式并求得x的取值范围，结合实际付款总金额=0.8×（A种树的金额+B种树的金额）进行解答．【详解】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元依题意得：解得答：A种树每棵100元，B种树每棵80元（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵则解得设实际付款总金额是w元，则即∵，w随a的增大而增大∴当时，w最小即当时，（元）答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为7600元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系.一次函数的应用：行程问题13．（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地，已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是，两车离甲地的路程与时间的函数图像如图．

(1)求出的值：(2)求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式：(3)求轿车到达乙地时货车距离乙地还有多远？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题；（2）设直线的表达式为，然后把，代入解析式建立二元一次方程组，求解即可解；（3）根据时间＝路程÷速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，可得两车的时间差，再根据路程＝速度×时间即可解决问题．【详解】（1）解：∵货车的速度是，∴，∴的值为；（2）由图像可得点，，设直线的表达式为，把，代入得：，解得：，∴，当时，得：，解得：，∴轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为；（3）由图像可得货车走完全程需要，∴货车到达乙地需，由（2）知：轿车到达乙地需，∴轿车比货车早：，此时货车距离乙地的距离为：，∴轿车到达乙地时货车距离乙地还有．【点睛】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，路程、时间、速度三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．14．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中为折线段．请结合图像回答下列问题：

(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．①图2中m的值为___________．②请求出在时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此可求得乙机器人行走的速度；（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、时间、路程的关系式求解即可；②分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停止运动那一刻为分界点．【详解】（1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，∴乙机器人行走的速度为(米/分)；故答案为：50．（2）①设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，依题意得：，解得，甲机器人行走的总路程为：(米)，甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程：(米)，时，甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程：(米)，∴，故答案为：．②∵6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，∴6分钟后甲机器人的速度是80米/分，当时，甲乙两机器人的距离为：（米），当甲到达终点C时，（分），乙到达终点C时，（分）当时，当时，当时，，解得解得甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间的值为7或【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程中追击问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．15．（2022上·江苏淮安·八年级校考期末）甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲、乙两车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．

(1)两城相距________千米，乙车比甲车早到________小时(2)甲车出发多长时间与乙车相遇?(3)若两车相距不超过20千米时可以通过无线电相互通话，则两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长?【答案】(1)300；1(2)小时(3)1小时【分析】（1）根据图表可得两城相距的距离以及乙车比甲车早到的时候；（2）将甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲、乙两车行驶的时间（小时）之间的函数关系表示出，列方程，即可求得甲车与乙车相遇的时间；（3）利用图像，再结合（2）中的函数解析式，即可解答．【详解】（1）解：由图象可得，两城相距300千米，乙车比甲车早到1小时，故答案为：300；1；（2）解：设甲对应的函数解析式为，将代入，可得，解得，甲对应的函数解析式为，设乙对应的函数解析式为，将，代入，可得，解得，乙对应的函数解析式为，令，解得，答：甲车出发小时与乙车相遇．（3）解：由题意得，解得，，结合图象可得，两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间为（小时），答：两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间为1小时．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．16．（2022上·江苏南京·八年级统考期末）甲、乙两人沿同一条笔直的路同时从A地出发，甲从A地匀速步行，途经B地，到达C地后立即原路原速返回；乙从A地匀速步行，到达B地后立即原路原速返回；两人恰好同时返回到A地．设甲步行的时间为，甲、乙两人离B地的距离分别为、，图中的折线表示与t之间的函数关系．(1)A、C两地之间的距离为______，甲步行的速度为______；(2)求图中线段所表示的关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；(3)在同一个坐标系中，画出关于t的函数图像．【答案】(1)18，6(2)(3)见解析【分析】（1）根据图中数据可求解；（2）先求出点M、N的坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可；（3）根据题意求乙出发到B地的时间，然后画图像即可．【详解】（1）解：由图可知，A、B两地之间的距离为，B、C两地之间的距离为，∴A、C两地之间的距离为，甲步行的速度为，故答案为：18，6；（2）解：由图知，甲到达C地的时间为，∴，甲从C返回B地的时间为，∴，设线段所表示的关于t的函数表达式为，则，解得：，∴线段所表示的关于t的函数表达式为；（3）解：由题意，甲乙同时出发同时返回，则乙一共用时，∴乙从A的到达B地的时间为，则关于t的函数图像如图所示：【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题关键是仔细分析题意，结合图像，从图像中读取信息，利用待定系数法求一次函数的解析式．17．（2023上·江苏南京·八年级统考期末）假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到南京博物院参观，小区与南京博物院的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达南京博物院，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：(1)甲在南京博物院参观的时间为______分钟，甲返回小区的速度为______千米/分钟；(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；(3)若两人之间的距离为y千米，请画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图像．【答案】(1)，(2)P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米．(3)见解析【分析】（1）直接根据图象上所给的数据的实际意义求解即可；（2）分别求出直线和直线的解析式，联立即可求得交点坐标，表示的实际意义为相遇时的时间及路程；（3）分别求出点、时，的值，直线的相交时，距离为，当时距离为，画出分段函数即可；【详解】（1）甲在南京博物院参观的时间为（分钟）甲返回小区的速度为（千米/分钟）故答案为：，；（2）设直线的函数表达式为．∵，∴，解得．∴直线的函数表达式为当甲从图书馆返回时：设直线的函数表达式为．∵，，∴，解得，∴直线的解析式为．∴，解得．当时，．∴．答：P的坐标为，实际意义为当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米．（3）如图即为y（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数图像．当时，两人之间的距离为；当时，两人之间的距离为；当时，两人之间的距离为；当时，两人之间的距离为．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．18．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）实验小学与七彩农业园分别在上海路的两端，甲从实验小学去七彩农业园，乙从七彩农业园回学校，乙先到达目的地，两人之间的距离y（米）时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图像信息解答下列问题：(1)当时，甲、乙两人相遇，甲的速度为米/分；(2)求乙的速度；(3)求出线段所对应的函数表达式．【答案】(1)30，60(2)90（米/分）(3)【分析】（1）两人之间的距离为零时，就两人相遇的时间，由图像可直接读出，有图可知甲走完全程米用时为分钟，路程除以时间即可得到速度；（2）两人相遇时一共走了米，用时分钟，路程除以时间求的是两人的共同速度，再减去由（1）中求出的甲的速度，即为乙的速度；（3）由图可知B点坐标，由（2）已经求出乙的速度，有速度和路程就可求出乙走完全程所用时间，就是A的横坐标，用相遇后所走时间乘以乙的速度，就是相遇后乙所走路程，即为A的纵坐标，有了两点坐标，用代入法就可求出线段的函数表达式．【详解】（1）解：根据图像信息，当分时甲乙两人相遇，甲的速度为：（米/分）．（2）甲、乙两人的速度和为（米/分），甲的速度为（米/分），乙的速度为（米/分）．（3）乙从七彩农业园回学校的时间为（分），（米），点的坐标为，设线段所表示的函数表达式为，，解得，线段所表示的函数表达式为．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，能够读出函数图像包含的数学信息，列出函数解析式，用代入法进行求解，清楚横纵坐标含义及A、B两点的含义是解答本题的关键．一次函数图象与性质综合问题19．（2022上·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于．

(1)求直线的函数解析式；(2)设直线与y轴交于点M，求的面积；(3)利用函数图象直接写出当时，x的取值范围为______．【答案】(1)；(2)3；(3)．【分析】（1）先求出点B坐标，再将，代入，利用待定系数法即可解决问题；（2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可；（3）根据题意可知当时，函数的图象在函数的图象下方，结合图象即可求得．【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，∴，∴点，设直线的表达式为，将，代入得：，解得，∴直线的表达式为；（2）将代入，得：，∴，∴，∴的面积；（3）观察图象，当时，函数的图象在函数的图象下方，则，的取值范围为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围．20．（2022上·江苏南京·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．(1)求这个一次函数的表达式；(2)画出这个函数图象，并根据图象回答：当x______时，．(3)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集为______．【答案】(1)这个一次函数的表达式为；(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据图象即可求解；（3）求得点P的坐标，观察图象即可得到结论．【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，，∴，解得，∴这个一次函数的表达式为；（2）解：画出函数图象如图：∵时，，解得，观察图象，当时，．故答案为：；（3）解：∵该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，∴，解得，∴，则，∴，即；如图，当时，该一次函数的图象在正比例函数的图象的上方，∴关于x的不等式即的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．21．（2023上·江苏南京·八年级统考期末）已知一次函数的图像经过两点．(1)求的值；(2)当时，函数值的范围是_______；(3)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，则的取值范围为______．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式即可求解；（2）由，随的增大而增大，即可求解；（3）根据（2）的结论，结合函数的值都大于函数的值，列出不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）将代入，解得，所以一次函数为，（2）解：∵，，随的增大而增大，当时，∴当时，，（3）当时，，因为函数的值都大于函数的值，所以，解得【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，根据交点求不等式的解集，掌握一次函数的性质是解题的关键．22．（2023上·江苏南京·八年级校联考期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完成：(1)当时，；当时，．当时，．(2)在平面直角坐标系中画出的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质．(3)直接写出关于x的方程为常数，解的个数及对应k的取值范围．【答案】(1)(2)见解析；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；函数图像关于直线对称(3)当时，方程有两个解；当或时，方程有一个解；当或时，方程没有解【分析】（1）去绝对值符号，化简即可；（2）由（1）的结论可画出函数图象，结合函数图象可得出函数的性质；（3）根据直线与交点的交点的情况判断出的范围【详解】（1）当时，．当时，故答案为：；（2）根据（1）的结论画出函数图象，如图，性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；函数图像关于直线对称（3）解：∵解得：∴两直线的交点为，∵，令，解得，则直线过定点，由（2）可知，当经过时，方程只有一解∴，解得：，当与平行时，，此时与无交点，当时，与有1个交点，当与平行时，，此时与有1个交点，当时，与有1个交点，当或时，方程有一个解；∴当时，与，各有1个交点，即方程有两个解；综上所述，当时，方程有两个解；当或时，方程有一个解；当或时，方程没有解．【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（2023上·江苏泰州·八年级统考期末）我们研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质，在经历“列表、描点、连线”的步骤后，就可以得到函数图像，请运用这样的方法对函数进行探究：(1)补全表格中所缺数据，并在所给平面直角坐标系中画出函数图像．0123411(2)根据所画图像，写出该函数的两条性质：①；②；(3)结合所画图像回答：当时，的取值范围是什么？【答案】(1)0，，0(2)①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是(3)【分析】（1）将代入解析式即可求解，利用描点法可画出函数图象；（2）观察图象得到函数的两条性质即可；（3）根据画出的函数图象，观察图象即可求解．【详解】（1）当时，，当时，，当时，，画出函数的图象如图：故答案为：0，，0；（2）由图象可知：①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是；故答案为：①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，②的最小值是；（3）由图象可得，当时，的取值范围是．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，能够准确画出函数的图象，通过观察图象获取性质是解题的关键．24．（2022下·江苏南通·八年级统考期末）在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对值函数”：，请类比探究函数．(1)当时，______，当时，______用含的代数式表示；(2)过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，分别与函数的图像相交于、两点点在点的左侧，若，求的值；(3)若一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)1或(3)【分析】（1）根据绝对值的意义即可得到结论；（2）表示出、的坐标，由，得到，即可或；（3）联立两个函数解析式，求得、的坐标，利用两点间距离公式表示出，由，得到，两边平方得到，进而求得，由一次函数图像与函数的图像相交于、两点，把点代入求得的值，利用图像可得答案．【详解】（1）当时，，，；当时，，；故答案为：；；（2）过轴上的动点，其中，作平行于轴的直线，，，，，解得或；（3）画出函数的图像如图，一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，，解得，，设，，，，，，，，把点代入得，，一次函数图像与函数的图像相交于、两点，，．【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了绝对值的意义，一次函数图像上点的坐标特征，两点间的距离，表示出、、、的坐标是解题的关键．一次函数的应用：几何综合问题25．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，并且与x轴以及的图象分别交于点C、D，点D的横坐标为1．

(1)求函数表达式;(2)在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由；【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）根据点D在直线上，点D的横坐标为1即可求得点D的坐标，用待定系数法求得直线的解析式；（2）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时分别求解即可．【详解】（1）解：∵点D在直线上，点D的横坐标为1，∴，∵一次函数的图象经过点、，∴，解得，∴一次函数；（2）解：如图，①当B为顶点时，时，∵，∴，或，则或，

②如图，当D为顶点时，时，设，∵、，过点D作轴于点E，则，，∵，∴，∴，∴，

③当点P为顶点时，