广东省揭阳市华侨高级中学2026届高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

广东省揭阳市华侨高级中学2026届高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释A.如果，，那么B.如果，那么C.对任意实数和，有，当且仅当时等号成立D.如果，那么2．已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝13．若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（）A. B.C. D.4．已知F1、F2是双曲线E：(a>0，b>0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.5．已知函数，在定义域内任取一点，则使的概率是()A. B.C. D.6．设为等差数列的前项和，若，则的值为（）A.14 B.28C.36 D.487．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线围成的图形的面积是；②曲线上的任意两点间的距离不超过；③若是曲线上任意一点，则的最小值是其中正确结论的个数为（）A. B.C. D.8．等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件9．渐近线方程为的双曲线的离心率是（）A.1 B.C. D.210．某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数，每人只参加一类，数据如下表：学科类别文学新闻经济政治人数400300100200若从参加课外兴趣小组的学生中采用分层抽样的方法抽取50名参加学习需求的问卷调查，则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为（）A.15，20，10，5 B.15，20，5，10C.20，15，10，5 D.20，15，5，1011．圆关于直线对称圆的标准方程是（）A. B.C. D.12．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列中，若，，则______，数列的前n项和为，则______14．如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________15．已知曲线，①若，则是椭圆，其焦点在轴上；②若，则是圆，其半径为；③若，则是双曲线，其渐近线方程为；④若，，则是两条直线.以上四个命题，其中正确的序号为_________.16．与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，已知（1）求角B的大小；（2）求三角形ABC的面积.18．（12分）芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素．根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据统计如下：（1）根据折线图的数据,求y关于x的线性回归方程(系数精确到整数部分);（2）为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时,国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元时公司的实际收益附:其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．参考数据,19．（12分）已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.20．（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值21．（12分）已知函数在处取得极值7（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值22．（10分）如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线（1）求及线段BC的长；（2）求△ADE的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设图中直角三角形边长分别为a，b，则斜边为，则可表示出阴影面积和正方形面积，根据图象关系，可得即可得答案.【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a，b，则斜边为，如图所示：则四个直角三角形的面积为，正方形的面积为，由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积，所以，当且仅当时等号成立，所以对任意实数和，有，当且仅当时等号成立.故选：C2、D【解析】根据双曲线的性质求解即可.【详解】双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为：＝1.故选：D.3、B【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.【详解】因为c>d，所以，所以，所以B正确；时，不满足选项A；时，，且，所以不满足选项CD；故选：B4、D【解析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方程，求出，从而得到，，利用勾股定理求出的关系，求出离心率.【详解】因为M为PQ的中点，且，所以△为等腰三角形，即，因为，设，则，由双曲线定义可知：，所以，则，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故选：D5、A【解析】解不等式，根据与长度有关的几何概型即可求解.【详解】由题意得，即，由几何概型得，在定义域内任取一点，使的概率是.故选：A.6、D【解析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.【详解】因为为等差数列的前项和，所以故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.7、C【解析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.【详解】当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：；当且时，曲线的方程可化为：，曲线的图像如下图所示：由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线所围成的面积，故①正确；由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；因为到直线的距离为，所以，当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，即，故③正确，故选：C.8、D【解析】结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断【详解】若，，则，，充分性不成立；反过来，若，，则时，必要性不成立；因此“”是“对于任意正整数n，都有”的既不充分也不必要条件.故选：D9、B【解析】根据双曲线渐近线方程可确定a,b的关系，进而求得离心率.【详解】因为双曲线近线方程为，故双曲线为等轴双曲线，则a=b,故离心率为，则，故选：B.10、D【解析】利用分层抽样的等比例性质求抽取的样本中所含各小组的人数.【详解】根据分层抽样的等比例性质知：文学小组抽取人数为人；新闻小组抽取人数为人；经济小组抽取人数为人；政治小组抽取人数为人；故选：D.11、D【解析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.【详解】因为圆的圆心为，半径为，且关于直线对称的点为，所以所求圆的圆心为、半径为，即所求圆的标准方程为.故选：D.12、D【解析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.【详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可解决.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】设等差数列公差为d，根据等差数列的性质即可求通项公式；，采用裂项相消的方法求.【详解】设等差数列公差为d，，，；∵，∴.故答案为：；.14、【解析】由题意，根据余弦定理得的值，则四边形的面积表示为，再代入面积公式化简为三角函数，根据三角函数的性质求解最大值即可.【详解】在中，，，，，，则（其中），当时，取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值.故答案为：.【点睛】解答本题的关键是将四边形的面积表示为，代入面积公式后化简得三角函数的解析式，再根据三角函数的性质求解最大值.15、①③④【解析】通过m，n的取值判断焦点坐标所在轴，判断①，求出圆的半径判断②；通过求解双曲线的渐近线方程，判断③；利用，，判断曲线是否是两条直线判断④【详解】解：①若，则，因为方程化为：，焦点坐标在y轴，所以①正确；②若，则C是圆，其半径为：，不一定是，所以②不正确；③若，则C是双曲线，其渐近线方程为，化简可得，所以③正确；④若，，方程化为，则C是两条直线,所以④正确；故答案为：①③④16、【解析】设双曲线的方程为，将点代入方程可求的值，从而可得结果【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，该双曲线经过点，所求的双曲线方程为：，整理得故答案为【点睛】本题考查双曲线的方程与简单性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．与共渐近线的双曲线方程可设为，只需根据已知条件求出即可.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）B=300（2）【解析】分析：（1）由同角三角函数关系先求，由正弦定理可求值，从而可求的值；（2）先求得的值，代入三角函数面积公式即可得结果.详解：(1)由正弦定理又∴B为锐角sinA=,由正弦定理B=300(2),∴.点睛：以三角形和为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18、（1）（2）85亿元【解析】(1)利用公式和数据计算即可(2)代入回归直线计算即可【小问1详解】由折线图中数据知,,,因为,所以所以y关于x的线性回归方程为【小问2详解】当时,亿元,此时公司的实际收益的预测值为亿元19、（1），短轴长为，焦距为；（2）.【解析】（1）由长轴得，再由离心率求得，从而可得后可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离【详解】（1）由已知：，，故，，则椭圆的方程为：，所以椭圆的短轴长为，焦距为.（2）联立，解得，，所以，，故20、（1）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是（2）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的公式进行求解，消去参数求出普通方程；（2）设曲线上任一点以，利用点到直线距离公式和辅助角公式进行求解.【小问1详解】因为，所以，即，将，代入，得直线的直角坐标方程是由得曲线的普通方程是【小问2详解】设曲线上任一点以，则点到直线的距离当时，，故曲线上的点到直线的距离的最大值为21、（1）；（2）.【解析】（1）先对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到，导数的方法研究其单调性，进而可求出最值.【详解】（1）因为，所以，又函数在处取得极值7，，解得；，所以，由得或；由得；满足题意；（2）又，由（1）得在上单调递增，在上单调递减，因此【点睛】方法点睛：该