2026届安徽合肥市高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

2026届安徽合肥市高二数学第一学期期末调研模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆O的半径为5，，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（）A. B.C. D.2．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（）A.2 B.4C. D.3．若直线与互相垂直，则实数a的值为（）A.-3 B.C. D.34．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C对任意， D.对任意，5．箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件=“至少有一件次品”，则的对立事件为（）A.至多两件次品 B.至多一件次品C.没有次品 D.至少一件次品6．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.且7．已知，，若，则（）A.9 B.6C.5 D.38．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（）A. B.C. D.9．椭圆的长轴长是（）A.3 B.4C.6 D.810．已知数列的前项和为，当时，（）A.11 B.20C.33 D.3511．抛物线的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（）A. B.C. D.12．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（）A. B.C.﹣1 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆的两个焦点分别为，，，点在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的标准方程为______14．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________15．如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.16．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆，点（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率18．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.（1）求圆C的标准方程.（2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.20．（12分）设数列满足，数列的前项和为，且（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，若对任意正整数，当时，恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知中心在坐标原点O的椭圆，左右焦点分别为，，离心率为，M，N分别为椭圆的上下顶点，且满足.（1）求椭圆方程；（2）已知点C满足，点T在椭圆上（T异于椭圆的顶点），直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，若P为线段NT的中点，求直线NT的方程；（3）过椭圆内的一点D（0，t），作斜率为k的直线l，与椭圆交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别是，，若对于任意实数k，存在实数m，使得，求实数m的取值范围.22．（10分）已知椭圆的上一点处的切线方程为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P为直线上任一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】可得过点P的最长弦长为直径，最短弦长为过点P的与垂直的弦，分别求出即可得出公差.【详解】可得过点P的最长弦长为直径，，最短弦长为过点P的与垂直的弦，，公差.故选：B.2、C【解析】由焦点坐标得到，求解即可.【详解】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得故选：C.3、C【解析】根据给定条件利用两条直线互相垂直的关系列式计算作答.【详解】因直线与互相垂直，则，解得，所以实数a的值为.故选：C4、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.5、C【解析】利用对立事件的定义，分析即得解【详解】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况根据对立事件的定义，事件=“至少有一件次品”其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“故选：C6、A【解析】根据双曲线定义，且焦点在y轴上，则可直接列出相关不等式.【详解】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则必有：，且解得：故选：7、D【解析】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】.故选：D.8、D【解析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.9、D【解析】根据椭圆方程可得到a，从而求得长轴长.【详解】椭圆方程为，故，所以椭圆长轴长为，故选:D.10、B【解析】由数列的性质可得，计算可得到答案.【详解】由题意，.故答案为B.【点睛】本题考查了数列的前n项和的性质，属于基础题.11、D【解析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求即为最小值【详解】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设，由题意知，直线l方程为，则，得所以，得，所以由，当三点共线时取等号，又所以最小值为故选：D12、A【解析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.【详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故选:A【点睛】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意得到为直角三角形．设，，根据椭圆的离心率，定义，直角三角形的面积公式，勾股定理建立方程的方程组，消元后可求得的值.【详解】由题可知，∴,又，代入上式整理得，由得为直角三角形又的面积为4，设，，则解得所以椭圆的标准方程为14、；【解析】根据相切可得圆心到直线距离即为圆的半径,利用点到直线距离公式解出半径,即可得到圆的方程【详解】由题,设圆心到直线的距离为,所以,因为圆与直线相切,则,所以圆的方程为,故答案为：【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程,考查点到直线距离公式的应用15、【解析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积【详解】由已知可得则故答案为：.16、或【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可【详解】点关于轴的对称点为,（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,因为反射光线与圆相切,所以圆心到反射光线的距离,即,解得,所以反射光线方程为:；（2）当不存在时,反射光线,此时,也与圆相切,故答案为:或【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大值为2，【解析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由点与圆的位置关系可得，求解不等式组得答案；（2）当时，圆的方程为，求出圆心与半径，设，则，分析可得面积的最大值，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式列式求得的值【详解】解：（1）根据题意，圆，即，若在圆外，则有，解得：，即的取值范围为；（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，设，则，当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，设直线的方程为，即，则有，解得，即直线的斜率【点睛】易错点点睛：本题第一问解答过程中，容易忽视二元二次方程表示圆的条件，导致出错，解题的时候要考虑周全，考查运算求解能力，是中档题.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四边形为菱形且为中点，，又，，又，，平面，，平面.（2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，，二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.19、（1）（2）过定点，定点为【解析】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程从而可得答案.（2）设，，将直线的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得，从而得出答案.【小问1详解】设圆C的标准方程为由题意可得解得，，.故圆C的标准方程为.【小问2详解】设，.联立整理的，则，，故.因为以AB为直径的圆过原点，所以，即则，化简得.当时，直线，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.所以，则，则直线过定点.20、（1）证明见解析，；（2）或.【解析】（1）结合与关系用即可证明为常数；求出通项公式后利用累加法即可求的通项公式；（2）裂项相消求，判断单调性求其最大值即可.【小问1详解】当时，得到，∴，当时，是以4为首项，2为公差的等差数列∴当时，当时，也满足上式，.【小问2详解】令，当，因此的最小值为，的最大值为对任意正整数，当时，恒成立，得，即在时恒成立，，解得t＜0或t＞3.21、（1）1（2）或（3）【解析】（1）由已知可得，，再结合可求出，从而可求得椭圆方程，（2）设直线，代入椭圆方程中消去，解方程可求出点的坐标，从而可得NT中点的坐标，而，可得解方程可求出的值，即可得到直线NT的方程，（3）设直线，代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系结合直线的斜率公式可得，再由，可求出m的取值范围【小问1详解】设（c，0），M（0，b），N（0，b），①，又②，③，由①②③得，所以椭圆方程为1.【小问2详解】由题C，0），设直线联立得，那么，N（0，）NT中点.所以，因为直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，所以所以所以得，解得或所以直线NT为：或.【小问3详解】设直线，联立方程得设A（，），B，），则…由对任意k成立，得点D在椭圆内，所以，所以，所以m的取值范围为.22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，求出然后求解最