第三单元 第17课时　二次函数综合题

第三单元函数第17课时二次函数综合题2江苏真题随堂练3分层作业本1多设问串核心类型一线段问题多设问串核心1.

已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴相交于A，B两点

(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的

抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线AC于点Q.

设点P的横坐标为m.(1)如图①，若PQ=DQ，求点P的坐标；图①解:(1)∵点P的横坐标为m，∴点P纵坐标为－m2－2m＋3，令－x2－2x＋3=0，易得A(－3，0)，B(1，0)，令x=0，易得C(0，3)，∴易得直线AC的表达式为y=x＋3，∵PQ⊥x轴，垂足为D，点Q在AC上，∴点D横坐标为m，纵坐标为0，点Q横坐标为m，纵坐标为m＋3，∴QD=m＋3，PQ=－m2－3m，∵PQ=DQ，∴－m2－3m=m＋3，图①解得m=－1或m=－3，∵点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，∴不与点A重合，即m=－3舍去，∴m=－1，∴P(－1，4)；图①(2)如图②，若AQ=2CQ，求点P的坐标；图②

1.已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴相交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线AC于点Q.

由(1)得A(－3，0)，∴AO=3，∴AD=2，∴OD=1，∴m=－1，代入y=x2－2x＋3得y=4，∴P(－1，4)；图②(3)如图③，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点M，求MQ的最大

值；图③(3)由(1)易得OA=OC=3，∴∠CAO=∠ACO=45°，∵PM∥x轴，∴∠PMQ=∠CAO=45°，∵PD⊥x轴，∴∠ADQ=∠QPM=90°，∴△PMQ为等腰直角三角形，1.已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴相交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线AC于点Q.

∵－1＜0，－3＜m＜0，

图③

图④(4)∵y=－x2－2x＋3，

1.已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴相交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线AC于点Q.

如解图，连接AC，交抛物线对称轴l于点G，由抛物线的对称性得，GA=GB，∴GB＋GC=AG＋GC≥AC，即当A，G，C三点共线时，GB＋GC取得最小值，此时△GBC周长最小.由(1)得A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，直线AC的表达式为y=x＋3，∴将x=－1代入y=x＋3中，得y=2，

解图类型二面积问题2.

已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，

0)，B(3，0)，与y轴交于点C.

(1)如图①，连接AC，BC，求△ABC的面积；图①

(2)如图②，设抛物线的顶点为D，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的面积；图②(2)将点A(－1，0)，B(3，0)代入y=ax2＋bx＋3中，

2.已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.

解图①

解图①(3)如图③，P为第一象限内抛物线上一动点，连接AP，BP，当

S△ABP=6时，求点P的坐标；图③2.已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.

解得t1=2，t2=0(不符合题意，舍去)，∴－t2＋2t＋3=3，∴点P的坐标为(2，3)图③(4)如图④，若E是直线BC上方抛物线上一动点，连接EC，EB，BC，

求△BCE面积的最大值.图④(4)由(1)可知点C坐标为(0，3)，设直线BC的表达式为y=mx＋n(m≠0)，将点B(3，0)，C(0，3)代入，2.已知抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.

解图②

解图②江苏真题随堂练1.(2024扬州25题)如图，已知二次函数y=－x2＋bx＋c的图象与x轴交于

A(－2，0)，B(1，0)两点.(1)求b，c的值；

(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标.(2)由(1)可知，二次函数的表达式为y=－x2－x＋2，设P(m，n)，∵点P在二次函数的图象上，∴n=－m2－m＋2.∵A(－2，0)，B(1，0)，∴AB=3，又∵△PAB的面积为6，

二次函数y=－x2＋－x＋2的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点.当n=4时，即－m2－m＋2=4，化简得m2＋m＋2=0，该方程无实数解，

不符合题意；当n=－4时，即－m2－m＋2=－4，化简得m2＋m－6=0，解得m1=2，

m2=－3，∴点P的坐标为(2，－4)或(－3，－4).

解：(1)b=－3，c=－2；∴b的值是－3，c的值是－2；

(2)如解图，过点E作y轴的平行线交AB于点G，

解图

∵EG∥y轴，∴∠EGF=∠DAB.

解图

解图3.(2024苏州27题节选)如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象C1与开口向下

的二次函数图象C2均过点A(－1，0)，B(3，0).(1)求图象C1对应的函数表达式；

(2)若图象C2过点C(0，6)，点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过

点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q(Q在P左侧)，直线l与图

象C1的交点为M，N(N在M左侧).当PQ=MP＋QN时，求点P的坐标.3.如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A(－1，0)，B(3，0).(2)设C2对应的函数表达式为y=a(x＋1)(x－3)(a＜0)，将点C(0，6)代入y=a(x＋1)(x－3)中，得a=－2，∴C2对应的函数表达式为y=－2(x＋1)(x－3)，其对称轴为直线x=1，∵图象C1的对称轴也为直线x=1，∴如解图，作直线x=1交直线l于点H，第3题解图解图由二次函数图象的对称性，得QH=PH，NH=MH，∴PM=NQ，又∵PQ=MP＋QN，∴PH=PM.

设PH=t(0＜t＜2)，则点P的横坐标为t＋1，点M的横坐标为2t＋1，将x=t＋1代入y=－2(x＋1)(x－3)中，得yP=－2(t＋2)(t－2)，∵y=x2－2x－3=(x－3)(x＋1)，∴将x=2t＋1代入y=(x＋1)(x－3)中，得

yM=(2t＋2)(2t－2)，∵yP=yM，

∴yP=4，

解图4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2＋bx＋3(a≠0)的图象与x

轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为

B，与y轴的交点为C，点D为线段BC上的一动点.(1)求二次函数的表达式；

∵二次函数y=ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A(－1，0)，∴a－b＋3=0，即a＋2a＋3=0，∴a=－1，b=2，∴二次函数的表达式为y=－x2＋2x＋3；二次函数的表达式为y=－x2＋2x＋3(2)连接AC，过点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，

PB，AD，记△PAD与△PBD的面积和为S，求S的最大值.(2)由(1)得，y=－x2＋2x＋3，当x=0时，y=3，∴C(0，3)，当y=0时，－x2＋2x＋3=0，解得