第六单元 微专题　圆中最值问题

第六单元圆微专题圆中最值问题一阶方法训练方法一点圆最值(3年2考)类型一过圆内一点的弦位置关系AB⊥OQ于点PCD与OQ交于点PEQ是过点P的直径图示

长度关系AB＜CD＜EQ例1

OA是⊙O的半径，点B在OA上，若OA=5，AB=2，EF是过点B的

⊙O的弦.求EF的长的取值范围.解：如解图，当EF⊥OA时，连接OF，解图∵OA=5，AB=2，∴OB=3，

∴EF=2BF=8，当EF是过点B的直径时，EF=10，∴EF的长的取值范围是8≤EF≤10.解图类型二平面内一点到圆上一点的距离点与圆的位置

关系图示辅助线作法点到圆上一点的距离最值点在圆外

最小值为AB的长，最大值

为AB′的长点在圆上

最小值为0，最大值为AB的

长点与圆的位置

关系图示辅助线作法点到圆上一点的距离最值点在圆内

最小值为AB的长，最大值

为AB′的长例2如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=10，D是BC的中

点，E是平面内一点，∠BEC=90°，连接AE.

(1)在图中画出点E的运动轨迹；解：(1)点E的运动轨迹为⊙D(不与点B，C重合)，如解图①；解图①例2如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=10，D是BC的中点，∠BEC=90°.(2)求线段AE的最小值.(2)如解图②，连接AD交⊙D于点E′，当点E与点E′重合时，线段AE取最

小值，解图②∵BC=10，D是BC的中点，∴BD=5，

∴AE′=13－5=8，∴线段AE的最小值为8.解图②题后反思你能求出线段AE的最大值吗？解：如解图，连接AD并延长交⊙D于点E″，当点E与点E″重合时，线段

AE取最大值，∵BC=10，D为BC的中点，∴BD=5，

∴AE″=13＋5=18，∴线段AE的最大值为18.解图方法二线圆最值(3年1考)直线与圆的

位置关系图示辅助线作法直线到圆上一点的距离的最值相离

过点O作l的垂线，垂足为A，交⊙O于点B，B′最小值为AB的长，最大值为AB′的长直线与圆的

位置关系图示辅助线作法直线到圆上一点的距离的最值相切(切点为A)

作直线AO交⊙O于点B最小值为0，最大值为AB的长直线与圆的

位置关系图示辅助线作法直线到圆上一点的距离的最值相交

过点O作l的垂线，垂足为A，交⊙O于点B，B′最小值为0，最大值为AB′的长例3如图，在△ABC中，AB=6，C是⊙O上任意一点，若⊙O的半径为

2，点O到AB的距离为5，求△ABC面积的最小值和最大值.解：如解图①，过点O作OD⊥AB于点D，OD交⊙O于点E，连接AE，BE，解图①当点C与点E重合时，△ABC的面积最小，

如解图②，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点F，连接AF，

BF，当点C与点F重合时，△ABC的面积最大，

综上所述，△ABC面积的最小值为9，最大值为21.解图②二阶综合训练1.在同一平面内，已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为5，P为圆

上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是(

D

)A.2B.6C.8D.10D2.如图，在正方形ABCD中，BC=2，E为正方形内一点，且∠AEB=90°，连接CE，则CE的最小值为

⁠.

解图3.如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD交于点O，M，N分别是BD，AC

上的动点，且MN=2，P是MN的中点，若AC=6，BD=8.(1)在图中画出点P的运动轨迹；解：(1)如解图①，点P的运动轨迹为⊙O；解图①在菱形ABCD中，M，N分别是BD，AC上的动点，MN=2，P是MN的中点，若AC=6，BD=8.(2)求点P到线段AB的距离的最小值；(2)如解图②，连接OP，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，解图②∵在Rt△MON中，MN=2，P为MN的中点，∴OP=1，∴根据“定点定长”模型，点P在以点O为圆心，OP长为半径的圆上.以点O为圆心，OP长为半径作⊙O，过点O作OQ′⊥AB于点Q′，交⊙O于点P′，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接OQ.

解图②∵OP＋PQ≥OQ≥OQ′=OP′＋P′Q′，且OP=OP′，∴PQ≥P′Q′，

解图②在菱形ABCD中，M，N分别是BD，AC上的动点，M