第四单元 第22课时　相似三角形及其应用

第四单元三角形第22课时相似三角形及其应用节前复习导图相似三角形及其应用比例线段比例的性质黄金分割比例平行线分线段成比例

相似多边形定义性质图形的位似相似三角形定义相似三角形的性质及判定判定三角形相似的思路1考点梳理3江苏真题随堂练4分层作业本2多设问串核心考点梳理一、比例线段1.

比例的性质

bc

图①

3.

平行线分线段成比例

图②(2).推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线

段成比例

二、相似三角形1.

定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形2.

相似三角形的性质及判定(1).性质①.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于

⁠②.相似三角形的周长比等于

，面积比等于

⁠相似比相似比相似比的平方(2).判定①.平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交，所截得的三角形与原

三角形相似②.

⁠分别相等的两个三角形相似③.两边成比例且

⁠相等的两个三角形相似④.三边

⁠的两个三角形相似⑤.直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似两角夹角成比例

三、相似多边形1.

定义：如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫作相

似多边形2.

性质(1).相似多边形的对应角相等，对应边的比等于

⁠(2).相似多边形的周长比等于

，面积比等于

⁠相似比相似比相似比的平方四、图形的位似性质1.位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质2.任意一组对应点的连线或延长线相交于同一个点(位似中心)3.位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比4.位似图形的对应边平行(或在一条直线上)【满分技法】位似变化与坐标的关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中

心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的

点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(－kx，－ky)或(kx，ky)(注：有两种情况)1.如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，∠B=45°，若

△ABC∽△ACP，则∠APC=(C)A.45°B.55°C.65°D.75°C基础题固考点多设问串核心2.(苏科九下习题改编)如图，D是△ABC的边AB上一点，且∠ACB=∠ADC，若AD=3，AB=7，则AC的长为(D)A.3C.4D3.(苏科九下尝试与交流改编)如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，

l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB=3，

BC=4，DE=2，则EF的长为

⁠.

4.如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB=10，AD=5，∠DAC=∠B.

若△ABD的面积为15，则△ACD的面积为

⁠.55.(苏科九下练习改编)如图，乐器上的一根弦AB长度为80cm，两个端点

A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D

是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为

⁠cm.(结果保留根号)

一条线段的黄金分割点有两处哦!因此在解此类题目时要注意分类讨论.避错指南

12

综合题明考法与相似三角形相关的计算

答题规范得分要点比例必须是对应边的比，顺序不能错对应顶点的字母写在对应的位置上

答题规范得分要点由比例关系求出线段的长度根据平行四边形定义判断平行四边形

A字型模型分析正A字型斜A字型条件如图，在△ABC中，D，

E分别是边AB，AC上的

点，∠AED=∠B或

∠ADE=∠C.

图示

结论△ADE∽△ABC△ADE∽△ACB

8字型模型分析正8字型斜8字型条件如图，AC与BD交于点

O，AB∥CD(或一组内错角相等).如图，AC与BD交于点

O，∠A=∠D(或∠B=∠C).图示

结论△AOB∽△COD△AOB∽△DOC

11.(手拉手型)如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，连接BD，CE.

若S△ADB∶S△AEC=16∶9，△ADB的周长为2，求△AEC的周长.

∵S△ADB∶S△AEC=16∶9，∴C△ADB∶C△AEC=4∶3，∵C△ADB=2，

江苏真题随堂练相似多边形(3年2考)命题点11.(2024连云港4题)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形

分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(D)A.甲和乙B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁D2.(2024盐城11题)两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们的周长的比

为

⁠.1∶2相似三角形的判定与性质(3年1考)(⁠快答App∙答疑高频考点1020次)命题点2

相似三角形的实际应用(3年3考)命题点34.(2024扬州16题)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线

传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)

AB经小孔O

在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB=36cm，A′B′=24cm，小孔O到AB

的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为

⁠cm.20【点拨】△OAB∽△OA'B'，相似比为36:24=3:2.

新考法数学文化(1)∠CA1A2=

°，∠CA2A1=

⁠°；

9076(2)求点A1到道路BC的距离；解：如图，过点A1作A1D⊥BC于点D，第5题解图

∟D

在Rt△CA1D中，∠CA1D=90°－45°=45°，