第四单元 微专题　一线三等角模型

第四单元三角形微专题一线三等角模型

模型特点一条线上有三个相等的角证明过程①先找平角180°；②再找内角和180°；③结合条件中的等角，得到另一组等角结论1两三角形相似(依据：两角分别相等的两个三角形相似)结论2若一线三等角模型中有2条对应线段相等，则这两个三角

形全等一阶

认识模型模型常见图示(除例题图外)

几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件几何画板动态演示温馨提示：点击查看原文件例1如图，已知P是线段AB上一点，C，D为线段AB外同侧两点，连

接AC，BD，CP，PD.

若∠1=∠2=∠3.(1)请证明：△ACP∽△BPD，并写出依据；证明：∵∠APC＋∠2＋∠BPD=180°(依据：平角是180°)，∠APC＋∠1＋∠C=180°(依据：

⁠)，∠1=∠2(已知)，∴∠BPD=∠C，∵∠1=∠3(已知)，∴△ACP∽△BPD(依据：

⁠)；三角形内角和是180°两角分别相等的两个三角形相似(2)请添加一组条件，使得△ACP≌△BPD，并写出证明过程及依据.解：添加条件：AP=BD(答案不唯一).

依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.∠1=∠2=∠3，

∴△ACP∽△BPD题后反思如图，其余条件不变，将“P是线段AB上一点，C，D为线段AB外同侧

两点”改为“P是直线AB上一点，C，D为直线AB外异侧两点”，

△ACP∽△BPD的结论还成立吗？请说明理由.解：成立.理由如下：∵∠1=∠2，∴∠CAP=∠DBP，∵∠1=∠3，∠1=∠C＋∠CPA，∠3=∠BPD＋∠CPA，∴∠C=∠BPD，∴△ACP∽△BPD.

情形作辅助线思路对应图示图中存在一条直

线，且直线上有

一个直角从直角两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角模型

图中存在一条直

线，且直线上有

两个等角在该直线上补上一个与前两个角相等的角

二阶

构建模型

解：如解图，过点E作EF⊥BC于点F，∟F∵∠ADE=90°，∴∠EDB＋∠ADC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADC＋∠DAC=90°，∴∠EDB=∠DAC，∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°，∴∠EFD=∠ACD，

∵BE=DE，EF⊥BD，∴BF=DF=16，∴BD=32.∟F例3

学习“一线三等角相似三角形”时，老

师给出了一道题：如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=60°，E是AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC边于点F，连接DF，若∠EFD=60°，求AE的长.新考法解题策略开放甲同学：∠DEF=90°，可通过作两条垂线构造相似三角形.乙同学：∠B=60°，∠EFD=60°，有两个相等的角，再作一个等角就可

以构造相似三角形.老师说：两位同学的想法都很好，请你任选一种方法解题.解：选择甲同学：如解图①，过点F作FM⊥AB于点M，过点D作

DN⊥BA，交BA的延长线于点N，解图①

解图①

解图①选择乙同学：如解图②，延长BC至点G，连接DG，使∠G=60°，解图②

解图②

解图②三阶应用模型1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为线段AD上一

点，且∠BED=∠BAC，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F.

求证：

AE=CF.

解：证明：如解图，延长AF至点J，使得AJ=BE，连接CJ，解图由题意得，∠BED=∠ABE＋∠BAE，∠BAC=∠BAE＋∠CAJ，∵∠BED=∠BAC，∴∠ABE=∠CAJ，

解图∴△ABE≌△CAJ(SAS)，∴AE=CJ，∠AEB=∠CJA，∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFA，∵∠AEB＋∠BED=∠CFA＋∠CFJ，∴∠AEB=∠CFJ，∴∠CFJ=∠CJA，∴CJ=CF，∴AE=CF.

解图2.

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是线段BC上

一点(不与点B，C重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F.

(1)如图①，求证：△ABE∽△ECF；证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE＋∠AEB=90°.∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠AEB＋∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF；(2)如图②，连接AC交EF于点G.

若BE=3，求EG的长；

2.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是线段BC上一点(不与点B，C重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F.

如解图①，过点E作EM⊥BC交AC于点M，则EM∥AB，解图①

∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴EM∥CF，∴△CGF∽△MGE，

解图①(3)如图③，连接AC，过点C作CH⊥AC，交EF的延长线于点H.

若E是

BC的中点，求CH的长.

解：如解图②，过点H作HN⊥BC，交BC的延长线于点N.

解图②2.

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是线段BC上一点(不与点B，C重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F.

∵CH⊥AC，∴∠ACH=90°.同(1)理可得，△ABC∽△