《工程力学》教案 第11课 刚体的平面运动

《工程力学》教案第11课刚体的平面运动课程名称：工程力学（静力学与运动学部分）授课对象：本科工科专业（机械、土木、水利等）授课时长：90分钟（2课时）先修知识：刚体的平动、定轴转动、点的合成运动后续知识：刚体平面运动的动力学分析、构件强度计算授课教师：XXX一、教学目标（一）知识目标理解刚体平面运动的定义、运动特征及简化条件，能准确判断工程中的平面运动刚体。掌握刚体平面运动的两种分解方法（平动+转动、瞬时平动），明确基点选择的任意性及基点运动与绕基点转动的关系。熟练掌握刚体平面运动的速度分析方法（基点法、速度投影定理、瞬时速度中心法），能解决工程实际中的速度计算问题。了解刚体平面运动的加速度分析（基点法），明确切向加速度、法向加速度的计算逻辑。（二）能力目标能将复杂的刚体平面运动分解为已知的平动和转动，培养运动分解与合成的逻辑思维能力。能根据构件运动特点，选择最优的速度分析方法，提升工程问题的求解能力。能结合工程实例（如曲柄连杆机构、齿轮传动机构），运用平面运动理论分析构件运动状态，建立理论与实践的联系。（三）素养目标培养严谨的力学逻辑推理能力，养成规范的公式推导和解题习惯。激发对工程力学的学习兴趣，体会力学理论在工程设计中的核心作用。培养团队协作意识，通过小组讨论解决复杂机构的运动分析问题。二、教学重难点（一）教学重点刚体平面运动的定义、分解及运动特征。基点法求刚体平面运动的速度（公式推导、应用步骤）。瞬时速度中心法的应用（瞬心位置的确定、速度计算）。（二）教学难点基点选择的合理性及绕基点转动速度的方向判断。瞬时速度中心的确定方法（尤其是复杂机构中瞬心的定位）。平面运动加速度分析中，牵连加速度、相对切向/法向加速度的合成逻辑。工程实例中多构件平面运动的综合分析。三、教学方法与手段教学方法：讲授法（理论推导）、案例分析法（工程实例）、小组讨论法（问题求解）、演示法（动画模拟）。教学手段：多媒体课件（PPT、动画）、黑板板书（公式推导、解题步骤）、教具（曲柄连杆机构模型）、习题集。四、教学过程设计（一）复习导入（10分钟）回顾旧知：提问刚体平动（牵连运动）、定轴转动（相对运动）的定义及速度计算方法，点的合成运动中速度合成定理（\(\vec{v}_a=\vec{v}_e+\vec{v}_r\)），强调牵连运动与相对运动的合成逻辑。引出新课：展示工程实例动画（曲柄连杆机构中连杆的运动、车轮在地面的纯滚动），提问“这些刚体的运动既不是平动也不是定轴转动，属于什么运动形式？”，引导学生观察运动特征，引出本节课主题——刚体的平面运动。（二）新课讲授（60分钟）1.刚体平面运动的定义与简化（10分钟）定义：刚体在运动过程中，其上所有点到某一固定平面的距离始终保持不变，这种运动称为刚体的平面运动。运动特征：刚体上各点的运动轨迹都是平面曲线，且这些曲线所在平面都平行于固定平面。简化方法：将刚体的平面运动简化为其投影平面内的平面图形的运动，平面图形上各点的运动即可代表刚体上对应点的运动，简化为“平面图形的运动”进行分析。工程实例：连杆、车轮、滑块、齿轮（平面齿轮传动）等的运动均为平面运动。2.刚体平面运动的分解（15分钟）分解原理：根据点的合成运动理论，将平面图形的运动分解为随任选基点的平动（牵连运动）和绕基点的定轴转动（相对运动）。基点选择：基点可任意选取（通常选运动已知的点，如曲柄连杆机构中曲柄与连杆的连接点），不同基点的平动速度不同，但绕不同基点的角速度、角加速度相同（刚体的转动特性与基点无关）。公式表达：平面图形上任意一点A的速度，可表示为基点O的速度（牵连速度）与绕基点O转动的速度（相对速度）的矢量和，即：

\[\vec{v}_A=\vec{v}_O+\vec{v}_{A/O}\]其中，\(\vec{v}_{A/O}\)为A点绕O点转动的相对速度，大小\(v_{A/O}=\omega\cdotOA\)（\(\omega\)为平面图形的角速度），方向垂直于OA连线，指向与角速度转动方向一致。动画演示：通过PPT动画展示平面图形随基点的平动+绕基点的转动，直观呈现分解过程，强调角速度的统一性。3.平面图形上各点的速度分析（30分钟）（1）基点法（15分钟）核心原理：以运动已知的点为基点，利用速度合成公式\(\vec{v}_A=\vec{v}_O+\vec{v}_{A/O}\)求解未知点的速度，是平面运动速度分析的基本方法。解题步骤：①选取基点（运动已知，如固定点、匀速运动点）；②分析基点速度\(\vec{v}_O\)（大小、方向）；③分析相对速度\(\vec{v}_{A/O}\)（大小\(\omega\cdotOA\)，方向垂直OA）；④建立坐标系，将矢量方程投影到坐标轴上，求解未知量（速度大小、方向或角速度）。例题解析：以曲柄连杆机构为例，已知曲柄OA长度\(l\)、角速度\(\omega\)，求连杆AB上B点（滑块）的速度及连杆角速度\(\omega_{AB}\)，板书推导过程，规范解题步骤。（2）速度投影定理（5分钟）定理内容：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即\(v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\)（\(\alpha、\beta\)分别为两点速度与连线的夹角）。适用场景：无需求解角速度，仅需快速求解某点速度大小或方向，尤其适用于两点连线方向明确的情况（如连杆两端点）。简单应用：结合上述曲柄连杆机构例题，用速度投影定理验证B点速度，对比基点法结果，说明定理的便捷性。（3）瞬时速度中心法（10分钟）瞬时速度中心（瞬心）定义：平面图形在某一瞬时，存在一个速度为零的点，该点称为瞬时速度中心，此时平面图形的运动可视为绕瞬心的瞬时定轴转动。瞬心位置确定方法：①纯滚动车轮：瞬心为车轮与地面的接触点（速度为零）；②已知两点速度方向：过两点分别作速度方向的垂线，交点即为瞬心；③一点速度为零：该点即为瞬心。速度计算：平面图形上任意一点的速度大小\(v=\omega\cdotr\)（\(r\)为该点到瞬心的距离），方向垂直于该点与瞬心的连线，指向与角速度方向一致。例题解析：以车轮纯滚动为例，已知车轮半径\(R\)、中心速度\(v_O\)，用瞬心法求车轮上最高点、最低点的速度，对比平动+转动的分解结果，强化理解。4.平面图形上各点的加速度分析（简介，5分钟）核心原理（基点法）：以O为基点，A点的加速度\(\vec{a}_A=\vec{a}_O+\vec{a}_{A/O}^t+\vec{a}_{A/O}^n\)，其中\(\vec{a}_{A/O}^t\)为相对切向加速度（大小\(\alpha\cdotOA\)，方向垂直OA），\(\vec{a}_{A/O}^n\)为相对法向加速度（大小\(\omega^2\cdotOA\)，方向指向基点O）。说明：加速度分析涉及矢量较多（4个加速度分量），计算复杂，重点掌握公式构成及各分量的物理意义，后续课程将结合动力学深入讲解，本节课仅作概念铺垫。（三）课堂练习与小组讨论（15分钟）布置习题：给出平面机构（如摇杆机构），已知某构件的角速度，要求学生分组（4人一组），分别用基点法、瞬心法求解指定点的速度，每组推选代表分享解题思路。教师指导：巡视各小组，针对瞬心定位、速度方向判断等难点进行点拨，纠正解题错误，规范步骤。总结点评：汇总各小组解题方法，对比不同方法的优劣，强调解题规范（矢量投影、单位统一、方向判断）。（四）课堂小结与作业布置（5分钟）课堂小结：①刚体平面运动的定义、分解（平动+转动）；②速度分析三大方法（基点法、速度投影定理、瞬心法）及适用场景；③核心公式与解题步骤。作业布置：①教材习题（基点法、瞬心法各2题）；②思考：工程中哪些机构同时存在多个平面运动刚体？如何进行综合分析？③预习：刚体平面运动的动力学分析。五、板书设计第11课刚体的平面运动一、定义与简化

定义：各点到固定平面距离不变简化：平面图形运动二、运动分解（基点法）

分解：随基点平动+绕基点转动速度公式：\(\vec{v}_A=\vec{v}_O+\vec{v}_{A/O}\)\(v_{A/O}=\omega\cdotOA\)，方向⊥OA三、速度分析方法

1.基点法：选已知点→分析速度→矢量投影2.速度投影定理：\(v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\)3.瞬心法：找瞬心→\(v=\omega\cdotr\)四、例题解析（曲柄连杆机构）

已知：OA=l，ω；求：v_B，ω_AB步骤：1.选O为基点；2.分析v_O、v_B/O；3.投影求解六、教学反思需关注学生对“刚体转动特性与基点无关”的理解，通过动画演示强化认知，避免学生误解基点选择影响角速度。瞬心位置的确定是难点，需增加课堂练习量，针对不同机构类型（纯滚动、