材料力学(西安交大版)教学课件NO3扭转

材料力学3.1扭转的工程实例及基本概念3.2外力偶剧、扭矩及扭矩图3.3薄壁圆筒的扭转3.4圆轴扭转的应力3.5圆轴扭转时的变形3.6非圆截面杆的扭转第3章扭转在实际工程中，尤其是机械传动中的许多构件，其主要变形形式是扭转。例如，汽车方向盘的操纵杆(见图3-1)，其上端受到经由方向盘传来的力偶作用，下端则又受到来自转向器的阻抗力偶作用，在这一对力偶作用下，操纵杆中自然会有扭转力偶作用而产生扭转变形。又如，攻丝的丝锥（见图3-2)，作用在手柄上大小相等、方向相反的两个力构成一个垂直于丝锥轴线平面的力偶，在丝锥下端，丝扣的阻力则形成大小相等、转向相反的力偶。在这一对力偶的作用下，丝锥将产生扭转变形。在将电动机的功率通过旋转轴传递到其他构件的情况下，传动结构的许多构件都将发生扭转变形。第3章扭转图3-1在实际工程中，尤其是机械传动中的许多构件，其主要变形形式是扭转。例如，汽车方向盘的操纵杆(见图3-1)，其上端受到经由方向盘传来的力偶作用，下端则又受到来自转向器的阻抗力偶作用，在这一对力偶作用下，操纵杆中自然会有扭转力偶作用而产生扭转变形。

3.1扭转的工程实例及基本概念又如，攻丝的丝锥（见图3-2)，作用在手柄上大小相等、方向相反的两个力构成一个垂直于丝锥轴线平面的力偶，在丝锥下端，丝扣的阻力则形成大小相等、转向相反的力偶。在这一对力偶的作用下，丝锥将产生扭转变形。在将电动机的功率通过旋转轴传递到其他构件的情况下，传动结构的许多构件都将发生扭转变形。图3-2

3.1扭转的工程实例及基本概念由以上各例可以看出，扭转构件的受力特点是：构件受到垂直于轴线平面的力偶作用，其变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动。这种变形形式称为扭转。工程中常把通过扭矩传递功率，以扭转为主要变形形式的构件称为轴。

3.1扭转的工程实例及基本概念外力偶剧3.2.1作用于扭转构件上的外力偶矩，一般可通过外力求得。但在实际工程中，对于传动轴等转动构件，通常已知传动轴所传输的功率和轴的转速，由此计算外力偶矩。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图如图3-3所示，由电动机的转速和功率，可以求出传动轴AB转速及通过皮带轮输入的功率。功率输入到AB轴上，再经右端的齿轮输出。设通过皮带轮输入AB轴的功率为P(单位为kW)，电动机是通过皮带轮以力偶矩Me作用于AB轴上的，若轴的转速为n（单位为r/min），则由动力学知识可知，力偶矩Me在单位时间内所做的功（功率）P=Me·ω，即

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图图3-3

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图由式(3-1)、式(3-2)和式(3-3)可以看出，轴所承受的力偶矩Me与其传输的功率P成正比，与轴的转速n成反比。轴在传递同样功率时，低速轴所受的力偶矩比高速轴大，故在同一个传动系统中，低速轴的直径比高速轴的直径大一些。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图当作用在轴上的外力偶矩全部求出后，可用截面法研究横截面上的内力。设一扭转构件如图3-4（a）所示，为了揭示其任意横截面上的内力，假想地将圆轴沿n—n截面分成两部分，取轴的左半段为研究对象，如图3-4（b)所示。由于整个轴是平衡的，所以左半段也处于平衡状态，这就要求n—n截面上分布的内力简化成一个内力偶矩T［见图3-4（b）］，由平衡条件可得∑Mx=0，T－Me=0解得T=Me

扭矩及扭矩图3.2.2

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图由此可见，当轴发生扭转变形时，其横截面上的内力是一个位于横截面内的内力偶，其力偶矩称为n—n截面上的扭矩，用T表示。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图取轴的右半段为研究对象［见图3-4(c)］，也可得到T=Me的结果。但其转向则与取左半段求出的转向相反，因为它们是作用与反作用力偶的关系。图3-4

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图与轴力相似，对扭转时的内力——扭矩T的正负号做如下规定：按右手螺旋法则将扭矩T用矢量表示，当矢量方向与横截面的外法线方向一致时，则该扭矩为正；反之为负，如图3-5所示。图3-5

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图当轴上同时有几个外力偶作用时，一般情况下，轴内各横截面的扭矩不同。与轴向拉伸（压缩）问题中画轴力图一样，可用图线来表示各横截面上扭矩沿轴线变化的情况。即以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面的扭矩。这种表示扭矩沿轴线变化情况的图线称为扭矩图。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图【例3-1】

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图突变规律:从左向右绘制扭矩图时，矢量方向向左的外力偶向上突变，矢量方向向右的外力偶向下突变，突变量等于此外力偶矩数值的大小，最终归至零点。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图【例3-2】

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图解：如图3-7(b)所示，任意横截面上的扭矩为

T(x)=mx由静力学平衡条件得∑Mx=0，ml－Me=0解得分布力偶的集度为

绘制扭矩图，如图3-7(c)所示。

3.2外力偶矩、扭矩及扭矩图图3-8(a)所示为半径为r、壁厚为t的薄壁圆筒。进行扭转试验前，在外表面上绘制圆轴线和纵向线，将其表面分割成微小矩形块。在外力偶作用下发生扭转变形，观察到以下现象：(1)圆周线的形状、大小、间距不变，两圆周线发生相对转动。(2)各纵向线仍然平行，但都倾斜了一个微小角度，所有微小矩形均变为同样大小的平行四边形，如图3-8（b）所示。薄壁圆筒扭转时的切应力3.3.1

3.3薄壁圆筒的扭转这些现象表明，当薄壁圆筒发生扭转时，横截面上没有正应力σ，只有切应力τ。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀分布。又因同一圆周上各点的情况相同，故应力也相同，如图3-8（c)所示。横截面上所有切应力τ组成力系的合效果为该截面的扭矩T，即

由此得到，薄壁圆筒扭转的切应力公式为

(3-4)

3.3薄壁圆筒的扭转图3-8

3.3薄壁圆筒的扭转【例1-3】

3.3薄壁圆筒的扭转

切应力与互等定理3.3.2用相邻的两个横截面和直径截面取出边长分别为dx、dy和厚度为dz的微小单元体，如图所示。图3-9

3.3薄壁圆筒的扭转根据前面的分析可知，单元体的左、右侧面上只有切应力τ。两个截面上的切应力组成一个力偶矩为(τdzdy)dx的力偶，为保持平衡，单元体的上下两侧面上必然有切应力，并组成力偶与力偶矩为(τdzdy)dx的力偶相平衡。由单元体的平衡条件∑Mz=0，(τdzdy)dx－(τ′dzdx)dy=0可得

τ=τ′(3-5)

3.3薄壁圆筒的扭转式(3-5)表明，在单元体相互垂直的两个面上，垂直于公共棱边的切应力数值相等，方向共同指向或共同背离公共棱边，此关系称为切应力互等定理。如图3-9所示的单元体，其侧面上只有切应力，而没有正应力，称为纯剪切。可以证明，切应力互等定理对于非纯剪切的情况同样适用。

3.3薄壁圆筒的扭转切应变与剪切胡克定律3.3.3纯剪切单元体的相对两侧面将发生微小的相互错动［见图3-10］，使原来互相垂直的两棱边的夹角改变了一个微量γ，即切应变。从图3-8(b)可以看出，γ就是表面纵向线变形后的倾角。若φ为圆筒两端的相对扭转角，l为圆筒长度，则切应变的计算公式为图3-10

3.3薄壁圆筒的扭转利用薄壁圆筒的扭转可以进行纯剪切试验。试验结果表明，切应力低于材料的剪切比例极限时，扭转角φ与扭转力偶矩Me成正比，如图3-11（a)所示。由前面分析可知，切应力τ与外力偶矩Me成正比，而切应变γ又与扭转角φ成正比。上述试验表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比，如图3-11（b)所示。此即剪切胡克定律，其用公式表达为

τ=Gγ

(3-6)式中，G为材料的切变模量。因切应变γ有单位（通常是弧度），但没有量纲，故G的量纲与切应力τ相同。钢材切变模量通常取G=80GPa。

3.3薄壁圆筒的扭转图3-11

3.3薄壁圆筒的扭转至此，表征材料力学性能的三个材料常数为弹性模量E、泊松比μ和切变模量G。对各向同性材料，可证明这三个弹性常数之间存在如下关系，即

(3-7)可见，三个弹性常数中只有两个独立。已知两个，可确定剩下的一个。

3.3薄壁圆筒的扭转

剪切变形能3.3.4从构件中取出受纯剪切的单元体［见图3-11（b)］，将左侧面固定，上下表面的切应力不做功，右侧面上的切应力τ将在剪切变形过程中做功。根据能量守恒定律，应力所做的功等于单元体中变形能的增量，即

式中，dV=dxdydz，表示单元体的体积。单位体积内的剪切变形能密度为

(3-8)由剪切胡克定律，剪切变形能密度也可以写成

(3-9)

3.3薄壁圆筒的扭转与薄壁圆筒相同，为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面画圆周线和纵向线，变形前的纵向线用虚线表示，如图3-12（a）所示。在外力偶矩Me作用下，出现与薄壁圆筒受扭相同的变形现象：各圆周线绕轴线相对地旋转一个角度，大小和形状不变，圆周线之间的距离不变；在小变形情况下，纵向线近似是一条直线，只是倾斜一个微小的角度；变形前表面上的小矩形变形后错动成平行四边形。变形几何关系3.4.1

3.4圆轴扭转时的应力根据这些试验现象，可设想：在扭转的过程中，圆轴的各个横截面像刚性圆盘一样，绕轴线发生角度不同的转动，即假设变形前轴的圆形横截面在变形后仍保持为同样大小的圆形平面，且半径仍为直线，这个假设称为圆轴扭转时的平面假设。以平面假设为基础导出的应力和变形公式，符合试验结果且与弹性力学一致，说明假设正确。

3.4圆轴扭转时的应力在图3-12(a)中，用相邻横截面m1—m1和n1—n1从轴中截取长为dx的微段。设两截面间的相对扭转角为dφ，则根据平面假设，横截面n1—n1像刚性平面一样，相对于m1—m1绕轴线旋转角度dφ，半径O2C转至O2C′，如图3-12(b)所示。于是，表面小矩形ABCD的CD边相对于AB边发生微小错动，错动距离为

CC′=Rdφ

CD边错动后移至C′D′位置，引起原来是直角的∠ABC的角度发生改变，改变量为

(3-10)

3.4圆轴扭转时的应力此即横截面边缘上B点的切应变。显然，γ发生在垂直于半径的ABCD面内。根据平面假设，变形后半径仍为直线，用同样的方法并参考图3-12(c)，可以求得距轴线为ρ处的切应变γρ，即

(3-11)与式(3-10)中的γ一样，γρ也发生在垂直于半径的面内。在式(3-10)和式(3-11)中，dφ/dx称为单位长度的扭转角，它是扭转角φ沿x轴的变化率。对给定的截面来说，dφ/dx是常量。式(3-11)表明，横截面上任意一点的切应变γρ与该点到圆心的距离ρ成正比。

3.4圆轴扭转时的应力物理关系3.4.2由剪切胡克定律可知，在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比，即

τρ=G·γρ

（3-12）将式(3-11)代入式（3-12）中，得截面上距轴线ρ处的切应力为

(3-13)这表明，横截面上任意一点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。因为切应变发生在垂直于半径的平面内，所以τρ也与半径垂直。考虑切应力互等定理，则在纵向截面和横截面上，沿半径的切应力的分布如图3-12(d)所示。

3.4圆轴扭转时的应力图3-12

3.4圆轴扭转时的应力在圆截面边缘上，ρ取最大值R，则最大切应力为

(3-17)式中，

，称为抗扭截面系数。

3.4圆轴扭转时的应力在横截面内距圆心ρ处的微面积dA=ρdθdρ［见图3-13(a)］上作用有微剪力τρdA，它对圆心O的力矩为ρτρdA。在整个横截面上，将该力矩积分后等于横截面上的扭矩T，即静力关系3.4.3

3.4圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的强度3.4.4对于等截面轴，其最大切应力τmax不得超过材料的许用切应力［τ］，则强度条件为

(3-22)对于变截面轴，如阶梯轴、圆锥形杆等，Wp不是常数，τmax并不一定发生在最大扭矩Tmax的截面上。此时需要综合考虑T和Wp，求切应力的最大值。其强度条件为

3.4圆轴扭转时的应力材料的许用切应力［τ］通常由扭转试验测得。根据试验结果，材料的许用切应力［τ］和许用正应力［σ］有如下关系，即［τ］=0.5～0.577［σ］（塑性材料）［τ］=0.8～1.0［σ］（脆性材料）

3.4圆轴扭转时的应力圆轴扭转时斜截面上的应力3.4.5对于轴向拉(压)杆，用假想的斜截面将其切开，研究其上的应力；而对于受扭的圆轴，由于横截面上的应力非均匀分布，因此不能采用此法，必须围绕圆周内需要研究的斜截面上应力的点切取一个单元体加以分析。

3.4圆轴扭转时的应力如图3-14(a)所示，围绕受扭圆轴的A点截取一个单元体，其左右两侧属于该轴的横截面，上下底面属于该轴的径向截面，前后两侧面为该轴的切向平面。由切应力互等定理可知，单元体上下左右四个侧面作用着大小相等的切应力τ，前后面无任何应力，故此单元体称为纯剪切应力状态单元体，其平面图形如图3-14(b)所示。图3-14

3.4圆轴扭转时的应力现用任意截面假想截开单元体，求解ef截面上的应力。分析截取部分的应力状态：如图3-14（c）所示，ce和cf面上分别作用有已知的切应力τ和τ′，而ef面上作用有未知正应力σα和切应力τα。设ef面的面积为dA，则ce面和cf面的面积分别为dAcosα

和dAsinα。将各个面上的力向斜截面法线n上投影，得∑Fn=0，σαdA+τdAcosαsinα+τ′dAsinαcosα=0∑Fτ=0，ταdA－τdAcosαcosα+τ′dAsinαsinα=0由于

τ=τ′，经整理得

3.4圆轴扭转时的应力讨论：通过A点的斜截面上的应力σα和τα随所取截面的方位角α而改变。

3.4圆轴扭转时的应力综合分析材料的力学性能和加载方式，可发现塑性材料和脆性材料的扭转破坏形式不同。塑性材料试件在外力偶作用下发生扭转变形，当切应力达到极值时，沿横截面被剪断，如图3-15（a)所示；脆性材料试件受扭破坏前变形很小，当拉应力达到极值时，沿与轴线约成45°方向的螺旋面被拉断，如图3-15(b)所示。图3-15

3.4圆轴扭转时的应力【例3-3】图3-16

3.4圆轴扭转时的应力

3.4圆轴扭转时的应力【例3-4】

3.4圆轴扭转时的应力

3.4圆轴扭转时的应力

3.5圆轴扭转时的变形由式(3-15)得

dφ表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角，如图3-12（b)所示。沿轴线x积分，即可求得距离为l的两横截面之间的相对扭转角，即

(3-25)若两截面间的扭矩不变，且轴为等直杆，则式（3-25）中T/GIp为常量，可简化为

(3-26)式(3-26)表明，GIp越大，扭转角φ越小，故GIp称为圆轴的抗扭刚度

。有时，轴内各段的扭矩T并不相同，如例3-1的情况；或者各段内的极惯性矩Ip不同，如阶梯轴。这就需要分段计算各段的扭转角，然后求代数和，得两端截面的相对扭转角，即

(3-27)轴类零件除应满足强度要求外，一般还不应有过大的扭转变形。例如，若车床丝杆扭转角过大，会影响车刀进给，降低加工精度；若发动机的凸轮轴扭转角过大，将会影响气阀开关时间；若锉床的主轴或磨床的传动轴扭转角过大，将引起扭转振动，影响工件的精度和光洁度。所以，要限制某些轴的扭转变形。

3.5圆轴扭转时的变形由式(3-26)表示的扭转角与轴的长度l有关。为消除长度的影响，用φ′表示单位长度的扭转角，单位为“弧度／米（rad/m）”。由式(3-15)得

(3-28)扭转的刚度条件就是限定φ′的最大值不得超过规定的允许值φ′，即

(3-29)工程中，习惯用“度／米°/m”作为φ′的单位。这样式中的弧度换算成度，得

3.5圆轴扭转时的变形将例3-3和例3-4进行比较发现，在重量不变的情况下，空心轴具有较大的Ip，即刚度较大。因此，若保持Ip不变，则空心轴比实心轴用料少、重量轻。故飞机、轮船、汽车的某些轴常采用空心轴。车床主轴采用空心轴时，既提高了强度和刚度，又便于加工长工件。当然，将直径较小的长轴加工成空心轴，由于工艺复杂，反而增加成本。此外，空心轴体积较大，占用空间较大。如空心轴壁太薄，还需要考虑扭转稳定性。因此，在设计轴时，应当综合考虑多方因素，不能在任何情况下都采用空心圆轴。

3.5圆轴扭转时的变形【例3-5】图3-14

3.5圆轴扭转时的变形解：根据轴上外力偶矩的大小，可算出AB段和BC段的扭矩。其值分别为

T1=22kN·m

T2=－14kN·m绘制扭矩图，如图3-17（b)所示。

虽然AB段的扭矩最大，但两段轴的直径不同，需要分别校核其强度。因此，该轴满足扭转强度要求。

3.5圆轴扭转时的变形【例3-6】

3.5圆轴扭转时的变形非圆截面杆扭转的概念3.6.1如图3-18（a）所示，取矩形截面杆，扭转前在外表面绘出横截面的圆周线和与轴线平行的纵向线，然后使之产生扭转。扭转后，横截面的周边线变成了空间曲线，如图3-18（b)所示。由此推断横截面不再保持平面，即原来的横截面扭转变形后变为曲面，即横截面发生了翘曲。横截面翘曲是非圆截面杆扭转变形的重要特征。显然以平面假设为基础的圆杆扭转的应力和变形计算公式，对非圆截面杆不再适用。

3.6非圆截面杆的扭转图3-18(a)所示的矩形截面杆发生扭转变形时，变形不受约束，横截面可以自由翘曲，这种变形称为自由扭转。其变形特点是：各横截面翘曲程度相同，横截面之间的纵向纤维长度不变，横截面上只有切应力，没有正应力。图3-18

3.6非圆截面杆的扭转图3-19(a)所示的工字形截面杆的变形也是自由扭转。如图3-19（b)所示，将左端固定，右端加外力偶使之发生扭转变形。图3-19

3.6非圆截面杆的扭转由于左端面受到约束不能翘曲，而右端面可自由翘曲，因此从左至右的各横截面的翘曲程度逐渐加大，这种受到约束而导致横截面不能自由翘曲的扭转称为约束扭转

。由于相邻横截面的翘曲程度不同，纵向纤维将发生伸缩变形，横截面上出现正应力。不过对于矩形截面或椭圆形截面等实体杆件，约束扭转引起的横截面正应力很小，可以忽略不计。但对于像工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转引起的横截面正应力很大，不能忽略。

3.6非圆截面杆的扭转矩形截面杆的自由扭转3.6.2某矩形截面杆发生扭转变形后，其横截面上的切应力分布如图所示。

3.6非圆截面杆的扭转设发生应力集中的截面上的最大应力为σmax，同一截面上的平均应力为σ，则有

(1-10)K称为理论应力集中系数