第6章 平面图形的初步认识期末复习（知识清单）（挖空版） -苏科版(2024)七上

第六章平面图形的初步认识知识点1：直线、射线、线段一、直线表示方法1.直线的基本事实： 确定一条直线．2.直线的特性：三个“无”：①无 ；②无 ；③两个方向无限 。3.直线的表示方法：表示方法图示几何符号表示方法1：用直线上的表示两个点的字母表示直线AB(或直线BA)方法2：用一个表示直线4.基本事实运用：至少用钉子才能固定住一根木条．5.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．（2）点在直线外，如图，点B在直线m外，也可以说：直线m不经过点B．二、射线的概念和表示方法1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图所示，直线l上点A和它一旁的部分是一条射线，点A是端点．2.特性：“一有二不”（1）只有一个端点；（2）不可以度量，不可以比较长短．3.射线的表示方法：表示方法图示几何符号表示方法1：用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面射线AB方法2：用一个小写英文字母表示射线三、线段的概念和表示方法1.线段概念：直线上两点和的部分叫做线段．2.表示方法：表示方法图示几何符号表示方法1：用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示线段AB或线段BA方法2：用一个小写英文字母来表示线段a3.基本性质：两点的所有连线中，最短．简记为：．如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．4.“作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．名师点拨（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可比较长短．（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．5.线段的比较：（1）：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．（2）：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．6.线段的中点：把一条线段分成两条的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或．几何语言：四、直线、射线、线段的区别与联系1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．2．三者的区别与联系具体如下表直线射线线段区别图形表示方法直线AB或直线BA或直线l射线AB或射线l线段AB或线段BA或线段l特性两点确定一条直线两点之间，线段最短端点个数012延伸向两个方向无限延伸向一个方向无限延伸不能延伸度量不能度量不能度量可以度量联系知识点2：角一、角的概念1.角的定义1：有的 组成的图形叫做角，这个公共端点是角的 ，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 静态定义 动态定义2.角的定义2：一条射线绕着它的 旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是 ．如图所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 二、角的表示方法1.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：角的表示方法图示记法适用条件①三个大写字母任何情况都适用②一个大写字母该角的顶点处只有一个角③数字任何情况都适用，但需要提前在图中标注④希腊字母任何情况都适用，但需要提前在图中标注名师指点用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．2.角的画法：（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．三、角的度量1.角的度量单位是 ，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．2.角的单位换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．名师指点四、角的大小比较角的大小比较方法：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1： ．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2： ．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝；由图(3)可得∠AOB＞．五、角的分类角按照大小可分为六、角的和差计算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．七、角平分线角平分线的概念：文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成 的两个角的射线，叫做这个角的平分线．图形语言：几何语言：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．八、余角和补角1、余角：（1）定义：一般地，如果两个角的和等于 (直角)，就说这两个角互为 ，即其中一个角是另一个角的 ．（2）性质： ．2、补角：（1）定义：如果两个角的和等于 ，就说这两个角互为 ，即其中一个角是另一个角的补角．（2）性质： ．九、对顶角与邻补角1.对顶角：（1）定义：由两条直线相交构成的 中，有 没有 (相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质： ．上图中：，2．邻补角：如果两个角有一条 ，并且它们的另一边互为 ，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．例如下图中知识点3：垂线1.垂直定义:两条直线相交所成的 中，有一个角是 时，就说这两条直线 ，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫 ．2.垂直表示方法：(1)记法：直线与垂直，记作：；直线和垂直于点，记作：于点.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：．3．垂线的画法：作图工具：三角板、圆规、量角器、方格纸过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．名师指点(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．4．垂线的性质：（1）基本事实：在同一平面内，过一点有且只有 与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．简单说成： ．名师指点（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．5．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段的长度。知识点4：平行线一、同位角、内错角、同旁内角同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征角的名称图示位置特征记忆方法同位角在两条被截直线同侧，并且在截线同侧F内错角在两条被截直线之间，并且在截线异侧Z同旁内角在两条被截直线之间，并且在截线同侧U二、平行线的概念与表示平行线的定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线．2、平行线的表示方法：三、平行线的判定方法1、平行线的判定方法：方法1：文字语言： 相等，两直线 ．图形语言： 几何语言：方法2：文字语言： 相等，两直线 ．图形语言： 几何语言：方法3：文字语言： 互补，两直线平行．图形语言： 几何语言：方法4：文字语言：平行于 的两直线互相平行．图形语言： 几何语言：方法5：文字语言： 同一直线的两直线互相平行．图形语言： 几何语言：2、基本事实：过直线 有且 直线与这条直线平行。3、平行线间的距离（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的 相等．四、平行线的性质性质1：文字语言：两直线平行， 相等．图形语言： 几何语言：性质2：文字语言：两直线平行， 相等．图形语言： 几何语言：性质3：文字语言：两直线平行， ．图形语言： 几何语言：知识点5：多边形一、多边形的概念1．多边形的概念：在平面内，不在同一直线上的一些线段 所组成的图形叫做多边形．2．相关元素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:根据多边形边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形……等；4.多边形的表示方法:先写出多边形的名称，然后按顶点逆时针或顺时针的顺序写出表示它的各顶点的字母。如上图，它们的命名分别为：.二、多边形的外角与相邻内角的关系1．多边形的外角：多边形的边与它的 组成的角叫做多边形的外角。2.多边形的外角与相邻内角的关系：互补关系，即和为180度。三、正多边形1．正多边形的概念： 相等， 也相等的多边形叫作 。2.常见的正多边形实例： 正三角形 正四边形 五边形正六边形易错点1“平行线的性质”和“平行线的判定”错误：平行线的性质与判定易混淆．注意：平行线的性质和判定内容相似，极易混淆，它们的条件和结论是互换的，不少同学不知什么时候用“两直线平行，同位角相等”，不知道什么时候用“同位角相等，两直线平行”，其他类似。其实很好判断，看你需要啥，如果你需要得到平行，也就是事先我不知道这两条直线是不是平行，我需要判定它两平行，我想得到它们平行，那就用判定，此时“平行”作为结论在“后面”，其它情况类似。例题1如图，点分别在的边上，点在线段上，且，．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若平分，求．例题2 如图，在四边形中，平分，交于点E，，F是延长线上一点，连接，交于点G，若．(1)试说明：；(2)吗？请说明理由；(3)若，试说明与的位置关系．易错点2线段中点与线段的和差计算错误：当线段很多时，求某线段的长度，不知是用线段的和表示，还是用线段的差表示．注意：线段的和差与线段的中点看似很简单，但很多同学在求一些线段的长度时，不知使用线段的和表示，还是用线段的差表示，此时怎么办呢？关键是我们要抓住我们的所求线段，一切表示方法都要朝着目标靠近，向已知条件转化。例题3如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，．(1)求证：；(2)求线段的长．例题4 如图，点B、C在线段上，且．(1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则，．(2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）．易错点3互余与互补错误：认为“只要几个角的和等于90度，这几个角就是互余，互补与互余类似”．注意：首先要明白的是互余和互补都是两个角之间的关系，不能出现3个及以上的角；对互余和互补的概念要理解透彻，抓住关键词，不能稀里糊涂的例题5如图，点O在直线上，在直线上方，且．(1)若在的内部，与互余，求的度数；(2)若平分，且与互补，求的度数．例题6．【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．（1）判断与的大小关系，并说明理由；（2）探索与之间的数量关系，并说明理由；【拓展探究】（3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由．易错点4角平分线与角的和差计算错误：当图形中出现很多角时，不知将所求角表示成角的和还是差．注意：角的计算与线段的长度很类似，抓住目标，刚开始表示所求角时，表示成什么都无所谓，一步一步的将不要的角度换成已知条件中所给的角，或者向已知条件靠近，最终都会表示成已知条件中所给的角度。例题7如图，点在直线上，．(1)若平分，，则________．(2)若为锐角，，请说明平分．例题8．如图①，是内部的一条射线，、分别平分，．(1)若，，求；(2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由；(3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由．易错点5利用平行线的性质和判定探究多个角之间的关系错误：不会探究多个角之间的关系．注意：期中期末考试中常见一种压轴题——利用平行线的性质和判定探究多个角之间的关系。这种题目之所以难，是因为很多同学不懂得处理这种问题的策略，简单说就一个词“换角”，遇到不想要的角，就找其他角替换，朝着已知和需要的角去换，一般替换三到五次基本上都能解决。例题9如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，构成，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）(1)当动点落在第①部分时，之间满足怎样的数量关系？并加以证明；(2)当动点落在第②部分时，第一问的结论还成立吗？若不成立，请求出之间又满足怎样的数量关系？并加以证明；(3)当动点落在第③部分时，之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论．例题10．如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，．(1)若使的值最小，求t的值；(2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由；(3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由．1．（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点．①若，求的长．②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）．（2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长．2．如图，点是线段上一点，，，分别是，的中点，(1)图中共有_______条线段(2)求线段的长度(3)若点分别从两点出发，分别以每秒和的速度都向点B的方向运动，经过多长时间P，Q两点相遇？3．已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和．(1)如图，点为内一点，求证：；(2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明；(3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论．4．已知点在直线上，是直角，平分．

(1)如图1，若，求的度数______；(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．(3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由．5．如图，为直线上一点，，是的角平分线，是直角(1)图中与互余的角是______；(2)是否平分，并说明理由．6．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且．(1)当时，是的平分线吗？试说明理由．(2)若，．①求的度数．②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围．7．如图，已知，点E在直线