期末重难点真题特训之压轴满分题型（64题15个考点）专练（教师版）-苏科版(2024)七上

期末重难点真题特训之压轴满分题型（64题15个考点）专练【精选最新考试题型专训】压轴满分题一、数轴上动点问题1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6．【问题提出】（1）点表示的数是________，点表示的数是________；【问题探究】（2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数；【问题解决】（3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离．【答案】（1），；（2）点对应的数为，点对应的数为；（3）点到点之间的距离与的大小无关，为定值8．【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，数轴上的点表示有理数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．（1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解；（2）由题意可得、的长度，从而由点A、C对应的数即可求出点M、N对应的数；（3）根据题意可得点Q对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断；【详解】解：（1）由题意可得：点B对应的数为：，又∵，∴点A对应的数为：，故答案为：，1；（2）由题意可得：，又∵，，∴，∴点M对应的数为：，点N对应的数为：；（3）的长度与t无关，理由如下：∵，∴点Q对应的数为：，∴，∴点M到点Q之间的距离与t的大小无关，为定值8．2．（24-25七年级上·海南儋州·期中）如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足．(1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________；(3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)，或(3)存在，【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题．（1）根据绝对值和平方的非负性，相反数，即可求出a，b，c的值；（2）先求出折点为，即可求出与点A重合的数，由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数；（3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答．【详解】（1）解：，，，，，的相反数为，，故答案为：，，；（2）解：与重合，即，重合，折点为，与点重合的点是，由三等分点得或，∴表示的数为或．故答案为：；或；（3）解：存在，∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，，，为定值，的值与无关，，∴．3．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解：若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点．(1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”）(2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？【答案】(1)不是，是(2)或(3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，新定义，解题的关键是理解新定义．（1）根据题意可得：，，推出，根据新定义即可求解；（2）设这个数是，根据题意得：，即可求解；（3）设点运动的时间为，由题意得：，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，列方程即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，，，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点，故答案为：不是，是；（2）设这个数是，由题意得：，解得：或，数或所表示的点是[，]的赞点，故答案为：或；（3）设点运动的时间为，由题意得：，，，点到达点所用的时间为（秒），分四种情况：①当时，，解得：，此时是[，]的赞点；②当时，，解得：，此时是[，]的赞点；③当时，，解得：，此时是[，]的赞点；④当时，，解得：，此时是[，]的赞点；综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点．4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为AB，即当时，我们称点是【，】的美好点．例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离AD是，到点的距离BD是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点．如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．(1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______．(2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？【答案】(1)；或(2)，，，，，【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值．【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件，故答案是：．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是．故答案为：或；（2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图，当时，则，因此秒；第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2，当时，则，因此秒；第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3，当时，则，因此秒；第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4，当时，则，点对应的数为，因此秒；第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5，当时，则，点对应的数为，因此秒；第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图，当时，则，因此秒；第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧，当时，则，因此秒，第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧，当时，则，因此秒，综上所述，的值为：，，，，，．压轴满分题二、绝对值的几何意义5．（24-25七年级上·四川眉山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．(2)如果，那么______；(3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______．(4)当______时，的值最小，最小值是______．【答案】(1)；(2)或(3)(4)；【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点距离，绝对值方程，结合数轴上两点的距离是解题的关键．（1）根据题意列式计算即可．（2）化简绝对值方程即可．（3）根据题意可得原式表示数到的距离，从而可得答案．（4）根据题意可得表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和，根据数轴即可得当时，的最小值是．【详解】（1）解：∵数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，∴数轴上表示3和2的两点之间的距离是，表示和1两点之间的距离是，故答案为：；．（2）解：∵，∴，∴，∴，，故答案为：或．（3）解：∵数的点位于与5之间，∴表示数到的距离∴，故答案为：．（4）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，∴结合数轴可知：表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和，当时，最小，最小值是，故答案为：；．6．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．若点在数轴上表示的数为，则，之间的距离表示为：，，之间的距离表示为：．利用数轴探究下列问题：(1)的最小值是_____，此时的取值范围______；(2)请按照（）问的方法思考：的最小值是_____，此时的值是_____；(3)如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为，已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．【答案】(1)，(2)，(3)米【分析】（）由可知式子表示到-2和到的距离之和，当在-2和之间时，距离之和最小，进而根据两点间距离公式即可求解；（）同理（）解答即可；（）以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分、、时，去绝对值，得出的取值范围，可知当时，即点与点重合时，该距离之和最小，据此即可求解；本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴式子表示到-2和到的距离之和，当时，，当时，，当时，，∴当在-2和之间时，距离之和最小，最小值为，此时的取值范围，故答案为：，；（2）解：∵，∴式子表示分别到、、的距离之和，同（1）可知，时，到到、的距离之和最小，∴当时，分别到、、的距离之和最小，即时，分别到、、的距离之和最小，最小值为，故答案为：，；（3）解：如图，以其中一点为原点，一个单位表示建立数轴，则点四点分别表示，，，，设点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，由（1）（2）可知点在、之间，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，综上所述：当时，即点与点重合时，该距离之和最小，最小值为，7．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的表距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为．【问题解决】（1）表示数轴上数与（填数字）之间的距离；（2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则（用含的代数式表示）；【关联运用】（3）运用一：若，则x的值为；（4）运用二：代数式的最小值为；（5）运用三：代数式的最大值为；（6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，；【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键．（1）根据绝对值的意义作答即可；（2）根据绝对值的意义作答即可；（3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可；（4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可；（5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可；（6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值．【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离；故答案为：；（2）解：；故答案为：；（3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，，当时，则：，解得：；当时，则，不符合题意；当时，则：，解得：；故答案为：或；（4）解：，当时，则：，当时，则，当时，则：，∴时，的最小值为，故答案为：；（5）解：∵表示与的距离和与的距离的差，∴当时，则：，当时，则，∴，当时，则，∴综上的最大值为：；故答案为：7；（6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为，∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：，∴的中点为：，的中点为：，的中点为：，∵在的左边，在的左边，∴在的左边，在的左边，∴，，∴，∴时，的值与无关，即，∴，∴，．8．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．(1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______；【问题探究】(2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？【拓展延伸】(3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)17(3)当时，，理由见解析【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键．（1）根据中点公式进行求解即可；（2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可；（3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案．【详解】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为，∴的中点所对应的数为，故答案为：．（2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：，∴，解得，∴为17时，的中点所对应的数为10．（3）解：存在，当时，，理由如下：根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为，∴，，∴，∴表示数到数10和之间的距离之和，∴当时，．压轴满分题三、有理数的新定义运算9．（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：．(1)计算：____________．(2)若，则____________．(3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（）根据新定义运算计算即可求解；（）根据新定义运算列出方程即可求解；（）根据新定义运算列出方程，求出与的关系，再代入代数式计算即可求解；本题考查了有理数的新定义运算，绝对值的意义，理解新定义运算是解题的关键．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：由题意得，，∴，∴，∴a=-1或，故答案为：或；（3）解：由题意得，，，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，，，∴，．10．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，．(1)探究性质：①例：_____；_____②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律：当时，_____当时，_____．(2)性质应用：①运用发现的规律求的值：②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____．【答案】(1)①；；②；(2)①；②【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．（1）①根据定义即可求解；②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；（2）①直接利用规律进行求解；②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论．【详解】（1）解：①，，，故答案为：；．②例如：，，通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，用a，b的式子表示出一般规律为．故答案为：；．（2）解：①；②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，这个值的和的最小值是，故答案为：．11．（24-25七年级上·北京·期中）定义：将n个互不相等的有理数两两相乘．得到的乘积是m个互不相等的数（相同的乘积看作是一个数），称这m个数为这n个有理数的二维组．例如：有三个有理数0，1，3，因为，则0和3组成这三个数的二维组．(1)求1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数．(2)若某几个有理数的二维组中的数是0，，，，12，18，24，尝试求解这几个有理数．(3)当时，即给定任意五个有理数，m的最小值是________，写出一组满足条件的五个有理数为________．【答案】(1)2，4，8，16，32(2)或(3)5；【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算：（1）根据有理数乘法计算法则求出这4个数两两相乘的结果即可得到答案；（2）二维数组中有0，则这几个有理数中必定有一个数为0，假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足，则可推出一定是二维数组中的每个数，再由，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方，可得这几个有理数都是整数；若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数，则此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，此时必有有理数为和，这与假设矛盾，当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数，此时必有一个有理数为，再由二维数组中有24和18，得到此时必有有理数为和，这与假设矛盾；当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数，可得此时必有一个有理数为，进而推出此时必有有理数4和6，则有理数满足题意，同理有理数也满足题意；（3）要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0，根据4个数两两相乘一共有6种结果，则当剩下的4个数两两相乘的结果要最少，由1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数，故当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少，据此求解即可．【详解】（1）解：，，，，，，∴1，2，4，8这四个数的二维组中的所有数为2，4，8，16，32；（2）解：∵二维数组中有0，∴这几个有理数中必定有一个数为0，假设这几个有理数中，有一个数不为整数，设这个数为a，则有一个数b满足，∴一定有一个数满足，一定有一个数满足，∴一定是二维数组中的每个数，∵，，，12，18，24这几个数中除以后的结果都不能是某个有理数的平方，∴这几个有理数都是整数；若有一个有理数为1，那么其它的有理数都是偶数，∵，此时必有一个有理数为，∵二维数组中有24和18，∴此时必有有理数为和，这与假设矛盾，∴没有有理数1，当有有理数时，那么其它的有理数都是偶数，∵，∴此时必有一个有理数为，∵二维数组中有24和18，∴此时必有有理数为和，这与假设矛盾；当有一个有理数为3时，那么其它的有理数都是偶数，∵，∴此时必有一个有理数为，∵二维数组中有24，且，∴此时必有有理数4和6，∵，∴这时有理数满足题意，同理有理数也满足题意；（3）解：∵0乘以任何数为0，∴要使m的值最小，那么一定要保证这5个数里面有1个数为0，∵4个数两两相乘一共有6种结果，∴当剩下的4个数两两相乘的结果要最少，∵1乘以任何数等于任何数，负1乘以任何数等于任何数的相反数，∴当有时，且剩下两个数互为相反数，那么这4个数相乘的结果就会重复2个数，即相乘的结果最少，综上所述，5个不同的数相乘时不同的结果最少为5个，即，此时满足题意的有理数可以为，故答案为：5；．12．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）定义“*”运算：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．据此回答下列问题：(1)计算：①；②；(2)归纳两数进行“*”运算的法则（文字语言或符号语言均可）；(3)若整数m、n满足，直接列出所有的m与n的值．（格式：）【答案】(1)①；②17；(2)两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加．特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0；(3)，或，或，或或或或或．【分析】（1）①根据示例参照求解；②根据示例参照求解；（2）根据示例，参照有理数乘法法则归纳；（3）由新定义知与异号，，得到，或，或，或或或或或，求得参数值即可．【详解】（1）解：①；故答案为：；②；故答案为：；（2）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得负，异号得正，并把两数的平方相加．特别地，0和任何非0数进行*运算，或任何非0数和0进行*运算，等于这个数的平方，两个0的*运算得0．（3）解：存在，∵，∴与异号，，∵m，n是整数，∴，或，或，或，或或或或，∴，或，或，或或或或或．【点睛】此题主要考查了定义新运算，有理数的混合运算．熟练掌握定义新运算的法则，有理数混合运算顺序，运算法则，运算律，整数性质，分类讨论，是解决问题的关键．压轴满分题四、整式加减的应用13．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等．(1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵；(2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理；(3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可）【答案】(1)见解析(2)正确，见解析(3)见解析【分析】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，读懂题意是解答本题的关键．（1）方格正中间的数必为这9个数按从小到大的顺序排列后正中间的数5，进而最大的数9，和最小的数1加上5，就组成一列，然后是8，5，2，接着是7，5，3，最后是6，5，4，保证每行、每列及对角线上各数之和都相等．（2）设九个数依次为，，…，，其各数之和为，则第一横行、纵行和对角线上三数之和为，正中间的数为，即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍，设正中间的数为x，填写表格后即可证．（3）根据题意填写即可．【详解】（1）解：如下图：（答案不唯一）492357816（2）解：正确，理由如下：设九个数依次为，，…，，其各数之和为，则第一横行、纵行和对角线上三数之和为，正中间的数为，即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍，设正中间的数为x，填表如下，则，即；（3）解：如下图：（答案不唯一）14．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为．（1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数．问题的拓展：（2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值；（3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算．延伸与运用：（4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果）【答案】（1）18450，填图见详解（2）（3）2852（4）【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式表示数，理解题目中表格方法计算有理数的乘法，掌握有理数的混合运算法则，用代数式表示数的方法是解题的关键．（1）根据材料提示的方法计算即可；（2）根据有理数的乘法可得，，由此即可求解；（3）根据表格计算有理数乘法运算方法计算即可；（4）根据题意，，令，可得，，根据表格计算有理数乘法运算即可求解．【详解】解：（1）根据材料提示，填图如下，∴；（2）根据图示，∵，∴，∵，∴；（3）根据（2）可得，如图所示，∴计算结果为；（4）根据题意，，∴令，∴，，如图所示，∴，故答案为：．15．（2024七年级上·全国·专题练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：每月用水量单价不超出的部分元超出不超出的部分元超出的部分元例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）．(1)若该户居民月份用水，则应收水费元．(2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简）(3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？【答案】(1)(2)元(3)元或元或元【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键．（）根据材料提示的计算方法即可求解；（）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可；（）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解；【详解】（1）解：应收水费为（元），故答案为：48；（2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费，∴应收水费为元，∴应收水费为元；（3）解：∵月份用水量超过了月份，∴月份用水量少于，①当月份用水量少于时，则月份用水量超过，∴两个月共交水费元；②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过，∴两个月共交水费元；③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于，∴两个月共交水费元，综上，两个月共交的水费为元或元或元．16．（24-25七年级上·广东江门·期中）数学活动−−探究日历中的数字规律如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．

(1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______；(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．解：设，则，，______．所以，（______）______(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题．A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由．B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由．【答案】(1)0，0；(2)，，0；(3)选A时，，理由见解析；选B时，，理由见解析；【分析】本题考查作图应用与设计作图，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．（1）先计算括号，再计算减法可得结论；（2）把，代入计算即可；（3）选A时，如图3中，结论：．设，则，，，代入计算即可；选B时，如图4中，结论：．设，则，，，代入计算即可．【详解】（1）解：．将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0，故答案为：0，0；（2）解：设，则，，．．的值均为0．故答案为：，，0；（3）解：选择：A；如图3中，结论：．理由：设，则，，，；选择：B；如图4中，结论：．理由：设，则，，，．压轴满分题五、整式加减的规律性探索17．（23-24七年级上·福建三明·期中）【阅读】，将这三个等式的两边相加，则得到．【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：；【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：；【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】此题主要考查了数字类规律探究和有理数的混合运算；（1）观察已知等式，得出规律，即可求解；（2）根据（1）的结论进行计算即可求解；（3）类比（1）的规律，即可求解．【详解】解：（1）……∴；故答案为：．（2）．（3）∵，，……，原式∴18．（24-25七年级上·四川内江·期中）数学问题的分析、解决离不开其中蕴含的思想与方法，思想与方法可以说是数学的“灵魂”．整体思想就是一个很重要的数学思想．【案例学习】计算的值．分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题．解：设，①则得，②②①得：，，，即．【实践操作】(1)计算的值；【迁移拓展】(2)观察分析，该算式中第56个加数为（直接写出结果）；(3)计算的值；【灵活运用】(4)现有一机器跳蚤从原点出发，沿着数轴正方向按如下指令前进：第1次前进个单位长度，第2次前进个单位长度，第3次前进个单位长度依此类推，每一次前进的长度是上次长度的一半．试判断该跳蚤第50次前进后，能否到达该数轴表示数1的点处？若能，请说明理由；若不能，用自己的语言描述该跳蚤在何处？【答案】(1)(2)(3)(4)该跳蚤第次前进后，不能到达该数轴表示数的点处，此时它在数的左侧，且与之距离为个单位长度【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的乘方的应用，理解案例方法，掌握整体思想是解题关键．（1）仿照例题，设，则，作差即可求解；（2）观察该算式的各个加数发现第个加数为，即可求解；（3）设，则，进而得到，求出的值即可求解；（4）由题意可知，该跳蚤第50次前进后的长度为，仿照例题，求得，即可求解．【详解】（1）解：设，①则，得，②②①得：，，即；（2）解：观察可知，该算式中第1个加数为，该算式中第2个加数为，该算式中第3个加数为，该算式中第4个加数为，……即该算式中第个加数为，该算式中第56个加数为，故答案为：；（3）设，①则，则，②②①得：，，，即；（4）解：由题意可知，第1次前进个单位长度，第2次前进个单位长度，第3次前进个单位长度，……即第50次前进个单位长度，该跳蚤第50次前进后的长度为，设，①则，则，②②①得：，，，即该跳蚤第50次前进后，不能到达该数轴表示数1的点处，此时它在数1的左侧，且与之距离为个单位长度．19．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案，其中第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；【规律发现】（）第个图案有______个正方形；（）第（是正整数）个图案有______（结果无需化简）个正方形；【规律应用】（）结合图案中正方形的组合方式，小明说：“用个正方形可以组成符合该规律的图案．”判断小明的说法是否正确，并说明理由．【答案】（）；（）；（）小明的说法不正确，理由见解析【分析】（）根据已知图案正方形的各数可得第个图案正方形的个数为个，据此即可求解；（）根据（）的结论求解即可；（）令，可得，据此即可判断求解；本题考查了图形类规律探究，从已有图形找到图形的变化规律是解题的关键．【详解】解：由所给图形可知，第个图案正方形的个数为；第个图案正方形的个数为；第个图案正方形的个数为；；∴第个图案正方形的个数为个，当时，，即第个图案正方形的个数为21个，故答案为：21；（）由（）知，第个图案正方形的个数为个，故答案为：；（）小明的说法不正确，理由如下：令，解得，∵不是整数，∴用个正方形不可以组成符合该规律的图案，∴小明的说法不正确．20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【问题提出】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？【问题探究】为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手：探究一：以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成个互不重叠的小三角形．探究二：以长方形的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：（1）点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）；（2）点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）．显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成个互不重叠的小三角形．探究三：长方形的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形分割成个互不重叠的小三角形．【问题解决】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成个互不重叠的小三角形．【实际应用】以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成个互不重叠的小三角形．【拓展延伸】以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成个互不重叠的小三角形．【答案】探究一：4；探究二：6；探究三：8；[问题解决]：；[实际应用]：4050；[拓展延伸]：【分析】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键．探究一：根据图形可回答；探究二：根据图形可回答；探究三：根据图形可回答；问题解决：由探究活动可得规律为，进而解决问题；实际应用：把2024代入所得规律，求值即可；拓展延伸：由四边形的规律可得m边形的规律．【详解】解：探究一：以长方形的4个顶点和它内部的1个点（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成4个互不重叠的小三角形．故答案为：4；探究二：在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点，那么点的位置会有两种情况：一种情况是，点在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点在上（如图②）；另一种情况是，点在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点在△的内部（如图③）．不管哪种情况，都可把长方形分割成6个互不重叠的小三角形．故答案为：6；探究三：长方形的4个顶点和它内部的3个点、、，共7个点为顶点，可把长方形分割成8个互不重叠的小三角形．如图所示．故答案为：8；[问题解决]以长方形的4个顶点和它内部的1个点，共5个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：，以长方形的4个顶点和它内部的2个点，共6个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：，以长方形的4个顶点和它内部的3个点，共7个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：，所以，以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：．故答案为：；[实际应用]当时，，以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成4050个互不重叠的小三角形．故答案为：4050；[拓展延伸]当内部1个点时，可以与m边形的m个顶点连接形成m个三角形，当内部有n个点时，相当于在m个三角形的基础上多出个三角形，∴可把原m边形分割成个三角形．故答案为：．压轴满分题六、一元一次方程解的拓展问题21．（2024七年级上·全国·专题练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．(1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；(2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值；(3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可．（1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可．（2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解．（3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解．【详解】（1）解：∵，解得：，∵，∴，∵与方程是“和谐方程”，∴，∴．（2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，∴另一个方程的解为：，∴或，解得：或，∴的值为或．（3）解：∵，∴，∴方程的解为：，∴，∴，∴，∵取任何有理数上式都成立，∴，解得：，∴．22．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．(1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则；(2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值；(3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）；②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为．【答案】(1)(2)3或(3)①，；②【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．（1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可；（2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可；（3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解；②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解．【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：,方程的解为：，关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，解得：；故答案为：；（2）解：互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为，又这两个“阳光方程”的解的差为5则或，解得或．故k的值为3或；（3）解：①关于x的一元一次方程的解是，即的解是，关于y的一元一次方程：的解是，则的解是，即的解是，故答案为：，；②∵关于x的一元一次方程的解为，又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”，方程的解为：，把关于y的一元一次方程，整理得：，解得：，关于y的一元一次方程的解为：故答案为：23．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题：(1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”）“天心方程”．(2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______．(3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值．(4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值．【答案】(1)不是(2)(3)，(4)【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解；（2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解；（3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解；（4）由“天心方程”得，，从而可得，，，将此代入代数式得化简即可求解．【详解】（1）解：，解得：，，不是天心方程，故答案：不是；（2）解：由解得，一元一次方程是“天心方程”，，解得：，故答案：；（3）解：由解得：，方程的解为，①，一元一次方程是“天心方程”，②，联立①②，解得，故，；（4）解：一元一次方程是“天心方程”，，①，关于的一元一次方程是“天心方程”，，，②，由①②得：③，④，⑤，将③④⑤代入代数式得：原式．【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键．24．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径．(1)按照图1所示的途径，填写图2内空格．①；②．(2)已知关于x的方程+c＝的解是x=1或x=2（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）．【答案】(1)①；②(2)，【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键．（1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解．（2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可．【详解】（1）解：根据图1可得：①；②．（2）解：由题意得：或，解得：，．压轴满分题七、一元一次方程的实际应用25．（24-25七年级上·全国·期末）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2025块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【答案】（1）2；（2）；（3）1010块【分析】本题为图形规律题，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律，一元一次方程、代数式的应用．（1）由图观察即可；（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．【详解】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；故答案为：2；（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：；归纳得：（即）；∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为块；故答案为：；（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数是偶数，∴用块，再由题意得：，解得：，∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1010块．26．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）国家倡导居民节约用电，第九届哈尔滨亚冬会更是坚持“绿色、共享、开放、廉洁”的办赛理念．为此我市实施居民用电阶梯电价，方案如下：第一阶梯电价：月用电量不超过220度的部分，每度电的价格为0.5元：第二阶梯电价：月用电量超过220度不超过420度的部分，每度电的价格为0.55元：第三阶梯电价：月用电量超过420度的部分，每度电的价格为0.8元．(1)如果按此方案计算，金铎家10月份的用电量是200度，则金铎家10月份的电费为__________元；书铭家10月份的用电量是300度，则书铭家10月份的电费为__________元．(2)如果按此方案计算，宇轩家10月份的电费为260元，请求出宇轩家10月份的用电量．(3)政府部门更希望用电高峰时要节约用电，并尽量让居民减少用电支出，为此又推出了“峰谷电价”．居民可以根据用电情况，申请“峰谷电价”，其收费方式如下：高峰时段8：00-22：00，其电价仍按各档标准分段计价，但在各档电价基础上加价0.05元/度；低谷时段8：00-22：00以外的时间，其电价还是按各档标准分段计价，但在各档电价基础上降价0.2元/度．英赫家10月的用电量为350度，并且高峰时段用电量大于220度，他家申请“峰谷电价”后，能节省15.5元，请求出英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是多少度？【答案】(1)；(2)宇轩家10月份的用电量为470度；(3)英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度．【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解阶梯电价、峰谷电价的计费规则．（1）根据阶梯电价计费规则列式计算即可；（2）先判断用电量是否超过420度，再列方程求解；（3）高峰时段用电量执行第一、第二阶梯电价，低谷时段用电量执行第二阶段电价，根据申请“峰谷电价”后，能节约15.5元，列一元一次方程，即可求解．【详解】（1）解：金铎家10月份的电费为（元），书铭家10月份的电费为（元），故答案为：；；（2）解：用电量为420度时，电费为：（元），，宇轩家10月份的用电量比420度多，设宇轩家10月份的用电量为度，则，解得，答：宇轩家10月份的用电量为470度；（3）解：设英赫家10月份高峰时段的用电量为度，则，整理得，即，解得，．答：英赫家10月份高峰时段、低谷时段用电量分别是240度、110度．27．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“坡面数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“坡面数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．问：(1)动点P从点A运动到E点需要秒，此时点Q对应的数是；(2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少?(3)当P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等时，直接写出此时t的值．【答案】(1)10，4(2)(3)4或8.8或10【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握．（1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答；（2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可；（3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解．【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒，，，动点从点运动至点需要的时间为（秒，动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒，动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，（秒，，．此时点对应的点是4；故答案为：10，4；（2）解：由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段，动点由点经过点到点点用时为（秒，动点从点到点用时为（秒，6秒到秒动点的路程，相遇的时间（秒，点的路程，点所对应的数；（3）解：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，若，则，，，解得：；③当点在段时，点在段，若，则，，，解得：（舍去）；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，若，则，，，解得：；⑥当点在段，点在段，若，则，，，解得：．综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等．28．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.4化为分数形式．由于，设，①则，②得，解得，于是．同理可得：．根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）_______，________；（2）将化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）______，_______；（注：）【探索发现】（4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）；②若已知，则_______．（注：）【答案】（1）

（2）

（3）

（4）①

②【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解新方法是解题的关键.（1）根据题中的方法求解；（2）根据题中的方法求解；（3）根据题中的方法求解；（4）①根据题中的方法求出的值，再比较大小；②根据题中的方法求解.【详解】（1）解：由于，设①则②，②①得，解得，于是，同理：，故答案为：；（2）由于，设①则②②①得，解得：，；故答案为：；（3）设①则，②①得，解得：；同理：，故答案为：；(4)①设则，解得：故答案为：；②，设，则，故答案为：．压轴满分题八、走进集合世界压轴题29．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读与思考下面是小轩同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．多面体欧拉公式欧拉是著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体，其顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉公式．表格列出上面四个多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）多面体编号顶点数（）面数（）棱数（）任务：(1)表格空白处填_____，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在的关系式是_____(2)某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有条棱，共有棱条．若该多面体三角形的个数比八边形的个数的倍少，求该多面体三角形的个数．(3)小轩同学尝试切去正方体一块后（用平面截取），得不到有条棱的多面体．如果能切出有条棱的多面体，最少需切去几块，如果不能切出有条棱的多面体，请说明理由．(4)年诺贝尔奖授予对有重大发现的三位科学家．如图，是由个原子构成的分子，它的结构为简单多面体形状．这个多面体有个顶点，以每个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形．按照结构，数学家构造出顶点数为的多面体，称为“”多面体，探究发现，当“”多面体的面数增多时，“”多面体的六边形面数也会增多，你能解释其中的道理吗？【答案】(1)；(2)个(3)不能切出有条棱的多面体，理由见解析(4)理由见解析【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，（1）先根据四面体、长方体、正八面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数、面数、棱数之间存在的关系式即可；（2）设八边形的个数个，则三角形的个数为个，由题意可得面数，解方程求出的值即可；（3）若，根据欧拉公式得，再根据，，且、、都是正整数，分两种情况作进一步分析即可；（4）设顶点数为，得，，，设六边形的个数为个，则五边形的个数为个，继而得出，解得：，可得结论；得出顶点数、面数、棱数的数量关系式是解题的关键．【详解】（1）解：四面体的顶点数为、面数为，棱数为，则，长方体的顶点数为、面数为，棱数为，则，正八面体的顶点数为，面数为，棱数为，则，∴关系式为：，∴顶点数为、面数为，棱数为，故答案为：；；（2）设八边形的个数个，则三角形的个数为个，∵每个顶点处都有条棱，共有棱条，一条棱有两个顶点，∴，∴，∴，∴，解得：，∴（个），∴该多面体三角形的个数为个；（3）不能切出有条棱的多面体．理由如下：∵，若，则，∵，，且、、都是正整数，当时，，不存在这样的多面体；当时，，不存在这样的多面体；∴不能切出有条棱的多面体；（4）设顶点数为，∵每个顶点处都有条棱，一条棱有两个顶点，∴，，∴，设六边形的个数为个，则五边形的个数为个，∴，解得：，∵随着的增多而增多，即六边形的面数也会增多．30．（24-25七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动．操作探究：(1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____；(2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积．(3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______．【答案】(1)(2)，(3)【分析】根据正方体的折叠，可得折成一个无盖的正方体纸盒需要有个面，根据平面图形中小正方形的个数和位置进行判断即可；根据正方体的表面展开图的特征，当正方形纸板四个角都剪去一个边长为小正方形时，得到的纸盒的底面边长为；根据剪去的小正方形的位置和边长，求出折叠好的长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体的体积公式求解即可．【详解】（1）解：A图中个小正方形的位置呈“田”字格形式，不能折叠成正方体，故A选项不能围成无盖正方体；B图中只有个小正方形，无盖正方体纸盒需要个小正方形，故B选项不能围成无盖正方体；C图中有个小正方形，折叠后恰好是一个无盖正方体纸盒，故C选项能围成无盖正方体；D图中有个小正方形，可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，故D选项不能围成无盖正方体；故选：C．（2）解：正方形纸板四个角都剪掉一个边长为的小正方形，得到的纸盒的底面边长为，当时，纸盒的高为，底面是边长为的正方形，则纸盒的体积为：；（3）解：由图可知，折好的长方体纸盒的长为，宽为，高为，折好的长方体纸盒的体积为，当、时，【点睛】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键．31．（24-25六年级上·山东威海·期中）将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体．(1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”）(2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全；(3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？【答案】(1)=(2)作图见详解(3)不正确，所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半【分析】本题主要考查立体结合图形的特点，掌握正方体截取的方法，数形结合分析是解题的关键．（1）根据图示，截去部分与增加部分的面积的比较，即可求解；（2）根据立体图形与展开图的特点进行分析即可求解；（3）根据截去部分与增加部分的棱长进行比较即可求解．【详解】（1）解：如图所示，截去的面与相等，面与相等，面与面相等，∴，故答案为：；（2）解：根据题意，作图如下，（3）解：不正确，理由如下，根据题意，，，，截去了，增加了，截去了CD，增加了，截去了CF，增加了，∴截去的长为，增加的长为，∴所截的小正方体的棱长是大正方体棱长的一半，才会正确32．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．【知识准备】（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号）【实践探索】（2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______（用含a，b的式子表示）；②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为_____．【实践分析】（3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为，（它缺一个长为，宽为的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值．【答案】（1）②（2）①②1000（3）见解析，【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键．（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解；（2）①根据正方形周长公式即可得解；②根据长方体的体积公式即可得解；（3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可．【详解】（1）解：②不能折成一个无盖正方体纸盒，①③④能折成一个无盖正方体纸盒，故答案为：②；（2）①解：由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为，∴长方体纸盒的底面周长为，故答案为：；②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为，∴该长方体纸盒的体积为，故答案为：1000；（3）解：由题意知：边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，如图，所以该长方体表面展开图的最大外围周长为．压轴满分题九、直线、射线、线段压轴33．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”．(1)线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）；(2)若线段，点C为线段的“智慧点”，则______；(3)如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值．【答案】(1)是(2)或或(3)或或或或【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，准确理解“智慧点”的概念，利用分类讨论思想解题是关键．（1）根据“智慧点”的定义即可求解；（2）分，，，进行讨论求解即可；（3）秒后，，，然后分当为的“智慧点”时，为的“智慧点”时，列方程求解即可．【详解】（1）解：如图，∵点为的中点，∴点C是线段的“智慧点”，故答案为：是；（2）解：∵，点C是线段的“智慧点”，∴①时，则；②时，则；③时，则，综上所述，点C为线段的“智慧点”，则等于或或，故答案为：或或；（3）解：秒后，，，由题意可知点不可能为的“智慧点”，则当为的“智慧点”时，①时，则，∴，解得：；②当时，则，∴，解得：；③当时，∴，解得：；当为的“智慧点”时，④当时，则，∴，解得：（舍）；⑤当时，则，∴，解得：；⑥当时，∴，解得：，综上所述：t值为或或或或．34．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．

(1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则；(2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒．①当t为何值时，点C是线段的三等分点②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度．【答案】(1)3(2)①或27；②或或【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键：（1）根据，，进行计算即可；（2）①分和两种情况进行计算即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∴；（2）①由题意，得：，，当时，则：，∴∴；当时，则：，∴，∴；综上：或；②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，，∵点，点分别是，的三等分点，∴可以分四种情况讨论：当时，则，，分别解得：，∴解得：；当时，则，，分别解得：，∴解得：；当时，则，，分别解得：，∴解得：；当时，则，，分别解得：，∴解得：（舍去）；综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或．35．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知数轴上有三点A、B、C，若用表示A、B两点的距离，表示、两点的距离，且，点A、点对应的数是分别是a、c，且．(1)______，______，B、C两点间距离______．(2)若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒，则运动了______秒时，到的距离与到的距离相等?(3)若点P、Q仍然以（2）中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动，2秒后，动点从点出发向右运动，点的速度为1个单位长度每秒，点为线段的中点，点为线段的中点，点运动了______秒时恰好满足，并求出此时点所对应的数______．【答案】(1)，20，40(2)或20(3)，【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及两点间的距离，（1）由绝对值的非负性可求出，的值，进而可得出线段的长，结合可求出的长，由可求出线段的长；（2）由的长结合点对应的数可求出点对应的数，当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，由到的距离与到的距离相等，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，结合点为线段的中点及点为线段的中点可得出点，对应的数，进而可得出线段的长，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：，，，，，．，，故答案为：，20，40（2）解：，点对应的数为，且点在点的右边，点对应的数为．当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，到的距离与到的距离相等，，即或，解得：或．答：运动了秒或20秒时，到的距离与到的距离相等．（3）解：当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点为线段的中点，点为线段的中点，点对应的数为，点对应的数为，．∵，．解得或，∵，∴，∴，∴点运动了秒时恰好满足，此时点所对应的数，故答案为：，．36．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若，点是线段的巧点，则最长为______；【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用．（1）根据“巧点”的定义解答即可；（2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解；