2025年四川省凉山州中考数学试卷

2025年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。1．（4分）12025A．2025 B．﹣2025 C．12025 D．2．（4分）2025年“五一”假期，西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题，推出一系列文化旅游体验活动．相关部门数据显示，“五一”假日期间，全市共接待游客117.93万人次，将数据117.93万用科学记数法表示为（）A．117.93×104 B．1.1793×105 C．1.1793×106 D．0.11793×1073．（4分）下列运算正确的是（）A．m+m＝m2 B．（mn2）5＝m5n7 C．m3•m2＝m6 D．m8÷m2＝m64．（4分）以下字母是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．（4分）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（）A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都不相同6．（4分）如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝（）A．30° B．40° C．60° D．80°7．（4分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（）A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝18608．（4分）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（）条对角线．A．6 B．7 C．8 D．99．（4分）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则x+y的平方根是（）A．8 B．±8 C．±22 D．2210．（4分）下列说法正确的是（）A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若am＜bm，则a＜b C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧11．（4分）如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为（）A．56° B．60° C．62° D．64°12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（）A．bc＞0 B．4a+b＝0 C．若ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则xD．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）数据0，﹣4，2，﹣1，2，3的中位数是．14．（4分）若式子m-1m+2在实数范围内有意义，则m的取值范围是15．（4分）如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为．16．（4分）若关于x的分式方程x+mx-2+12-x17．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为．18．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝22，则BC的长为．三、解答题（共7小题，共78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（8分）计算：（π﹣3.14）0﹣|1-3|+tan60°+（-13）20．（10分）（1）解不等式：3x-（2）先化简，再求值：1-2xx+2÷2x2-4x21．（12分）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查的总人数是人；（2）补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为度；（3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．22．（10分）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米）（1）求直吊臂OB的长；（2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？23．（12分）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx（x＞0）的图象交于点A（6，1），B（2，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＞kx的解集为（3）在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值．24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接PB交⊙O于点C，连接AC，则∠PAC＝∠B．理由如下：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∴∠CAB+∠B＝90°∵PA与⊙O相切于点A∴PA⊥AB∴∠PAB＝90°∴∠CAB+∠PAC＝90°∴∠PAC＝∠B（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC＝∠B仍然成立，请说明理由；（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段PA与线段PC，PB存在如下关系：PA2＝PC•PB．请你替小明证一证；（3）拓展应用：如图丙，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，∠AOB＝150°，BC的延长线与过点A的切线相交于P，若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长．25．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离；（3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ＝QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2025年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案DC．DBABCBCCC题号12答案D一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。1．（4分）12025A．2025 B．﹣2025 C．12025 D．【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．【解答】解：12025的相反数是-故选：D．【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．2．（4分）2025年“五一”假期，西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题，推出一系列文化旅游体验活动．相关部门数据显示，“五一”假日期间，全市共接待游客117.93万人次，将数据117.93万用科学记数法表示为（）A．117.93×104 B．1.1793×105 C．1.1793×106 D．0.11793×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：117.93万＝1179300＝1.1793×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列运算正确的是（）A．m+m＝m2 B．（mn2）5＝m5n7 C．m3•m2＝m6 D．m8÷m2＝m6【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：m+m＝2m，则A不符合题意，（mn2）5＝m5n10，则B不符合题意，m3•m2＝m5，则C不符合题意，m8÷m2＝m6，则D符合题意，故选：D．【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．（4分）以下字母是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【解答】解：A、C、D选项的字母均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；B选项的字母能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．5．（4分）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（）A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都不相同【分析】根据三视图的定义求解即可．【解答】解：该几何体的主视图与左视图相同，均为两列，从左到右小正方形的个数分别是3、1．它的俯视图的底层左边是一个正方形，上层是两个正方形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．6．（4分）如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝（）A．30° B．40° C．60° D．80°【分析】过点C作CG∥AB，易得DF∥AB∥CG，根据平行线的性质，进行求解即可．【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，∵DF∥AB，∴DF∥AB∥CG，∴∠1+∠CAB＝180°，∠2＝∠CED，∵∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，∴∠1＝60°，∠2＝∠ACE﹣∠1＝40°，∴∠CED＝∠2＝40°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，过拐点作平行线是解题的关键．7．（4分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（）A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860【分析】由题意得出该钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，再结合该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，列出一元二次方程即可．【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（4分）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（）条对角线．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】设这个多边形的边数为n，n边形的内角和为180°•（n﹣2），外角和为360°，从n边形的一个顶点出发可以引（n﹣3）条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出n的值即可得到答案．【解答】解：设这个多边形的边数为n，180°•（n﹣2）＝360°×4，180°n﹣360°＝360°×4，解得：n＝10，∴这个多边形是十边形，∴从这个多边形一个顶点可以引10﹣3＝7条对角线．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形外角与内角和综合，多边形的对角线，掌握相应的定义是关键．9．（4分）若（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，则x+y的平方根是（）A．8 B．±8 C．±22 D．22【分析】先根据偶次方的非负性质，绝对值的非负性质，得出方程组3x+2y-19=0①2x+【解答】解：∵（3x+2y﹣19）2+|2x+y﹣11|＝0，∴3x②×2，得4x+2y﹣22＝0③，①﹣②，得﹣x+3＝0，解得：x＝3，把x＝3代入②，得2×3+y﹣11＝0，解得：y＝5，∴x+y＝3+5＝8，∴±8∴x+y的平方根是±2故选：C．【点评】本题考查了解二元一次方程组，非负数性质：绝对值，非负数性质：偶次方，平方根，掌握解二元一次方程组的方法，绝对值的非负性质，偶次方的非负性质，平方根定义是解题的关键．10．（4分）下列说法正确的是（）A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若am＜bm，则a＜b C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧【分析】互为相反数的两个数的绝对值也相等，据此可判断A；根据不等式的性质可知，只有当m＞0时，原式才正确，据此可判断B；根据正方形的判定定理可判断C；根据垂径定理可判断D．【解答】解；A、若|a|＝|b|，则a＝±b，原说法错误，不符合题意；B、若am＜bm（m＞0），则a＜b，原说法错误，不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意；D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，掌握以上知识点是解题的关键．11．（4分）如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为（）A．56° B．60° C．62° D．64°【分析】设AC与BD相交于点O，先证明∠BAE＝∠CAD，进而可依据“SAS”判定△BAE和△CAD全等得∠ABE＝∠ACD，再根据三角形外角性质得∠BAC＝∠BDC＝56°，然后根据AB＝AC即可得到出∠ABC的度数．【解答】解：设AC与BD相交于点O，如图所示：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB=∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△CDO的外角，∴∠BOC＝∠ABE+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∵∠BDC＝56°，∴∠BAC＝∠BDC＝56°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠BAC）=12×（180故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误的是（）A．bc＞0 B．4a+b＝0 C．若ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则xD．若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，则y2＜y1【分析】根据图像判断系数之间的关系，从图象获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可．【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为直线x=∴b＝﹣4a＞0，∴bc＞0，4a+b＝0，故选项A，B正确，不符合题意；∵ax12+bx1∴ax∴x＝x1和x＝x2关于对称轴直线x＝2对称，∴x1+x2＝4，故选项C正确；不符合题意；∵抛物线的开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，若（﹣1，y1），（3，y2）两点都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|，∴y1＜y2，故选项D错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握其性质是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）数据0，﹣4，2，﹣1，2，3的中位数是1．【分析】根据中位数的定义即可求解．【解答】解：将数据从小到大排列为：﹣4，﹣1，0，2，2，3，根据中位数定义可知：0+22故答案为：1．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．牢记找中位数方法是做出本题的关键．14．（4分）若式子m-1m+2在实数范围内有意义，则m的取值范围是m≥【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到m-【解答】解：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得：m-解得：m≥1，∴m的取值范围是m≥1，故答案为：m≥1．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键．15．（4分）如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为24．【分析】根据平移的性质可得DF＝AC、AD＝CF＝2，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再求解即可．【解答】解：由条件可知DF＝AC，AD＝CF＝2，∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD＝AB+BC+CF+AC+AD＝△ABC的周长+AD+CF＝20+2+2＝24．故答案为：24．【点评】本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键．16．（4分）若关于x的分式方程x+mx-2+12-x【分析】根据题意，解分式方程，得到x=5+m2，由题意得到原方程无解，故x=5+m2是原方程的增根，由x﹣【解答】解：原方程去分母：方程两边同时乘以x﹣2，得：x+m﹣1＝3x﹣6，x﹣3x＝﹣6﹣m+1，﹣2x＝﹣5﹣m，x=∵原方程无解，∴x=由x﹣2＝0，x＝2，∴5+m∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键．17．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为5．【分析】连接OE，根据菱形性质得AC⊥BD，OC＝6，OD＝8，由勾股定理得CD＝10，再根据直角三角形斜边中线性质得OE＝5，再证明四边形OGEF是矩形，然后根据矩形性质即可得出FG的长．【解答】解：连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，且AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OC=12AC＝6，OD=12∴∠COD＝90°，在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=OC∵E是边CD的中点，∴OE是Rt△OCD斜边上的中线，∴OE=12CD＝∵EF⊥BD，EG⊥AC，∴∠OGE＝∠OFE＝∠COD＝90°，∴四边形OGEF是矩形，∴FG＝OE＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，理解菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质是解决问题的关键．18．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝22，则BC的长为π．【分析】连接OB、OC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角三角形的性质求出OC，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠ABC＝65°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣65°﹣70°＝45°，由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，∴OC＝OB=22BC=22∴BC的长为：90π×2故答案为：π．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．三、解答题（共7小题，共78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（8分）计算：（π﹣3.14）0﹣|1-3|+tan60°+（-13）【分析】利用零指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可．【解答】解：原式＝1﹣（3-1）+＝1-3+1＝﹣1．【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．（10分）（1）解不等式：3x-（2）先化简，再求值：1-2xx+2÷2x2-4x【分析】（1）利用去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解不等式即可；（2）先算除法，再算减法进行化简，然后选择符合题意的x的值代入计算即可．【解答】解：（1）原不等式去分母得：3x﹣2﹣2（x+3）≤6，去括号得：3x﹣2﹣2x﹣6≤6，移项，合并同类项得：x≤14；（2）原式＝1-2x＝1-=x=-∵x≠0，x+2≠0，x﹣2≠0，∴x≠0，x≠±2，∴x＝1，原式=-4【点评】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握相关运算法则及解不等式的方法是解题的关键．21．（12分）某校计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜爱的书籍（A类为文学，B类为科普，C类为体育，D类为其他）进行调查（每人只能选择一项）．根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查的总人数是50人；（2）补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形的圆心角为86.4度；（3）现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛．请用列表法或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）用A类人数除以所占的比例求出总人数即可；（2）求出C类人数，补全条形图，用360°乘以C类人数所占的比例求出圆心角的度数即可；（3）根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：（1）本次调查的总人数是：10÷20%＝50（人）．故答案为：50；（2）C类人数为：50﹣10﹣20﹣8＝12（人），补全统计图：C类所对应的扇形的圆心角为：360°×1250故答案为：86.4；（3）画树状图如下：一共有12种情况，恰好是1名女生和1名男生的有8种情况，所以，P（恰好是1名女生和1名男生）=8【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（10分）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米）（1）求直吊臂OB的长；（2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？【分析】（1）根据OB=MBsin∠BOM（2）记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，可得四边形EFMB为矩形，则BM＝EF＝3米，在Rt△BOF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M，求出B′F，再由M′F＝B′F﹣B′M′，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，BM⊥OM，∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米，∴在Rt△BOM中，OB=答：直吊臂OB的长为10米；（2）如图，记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，则∠BEF＝90°，由题意得B′M＝BM＝3米，OB′＝OB＝10米，∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°，∴四边形EFMB为矩形，∴BM＝EF＝3米，在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M＝10×0.81＝8.1（米），∴M′F＝B′F﹣B′M′＝8.1﹣3＝5.1≈5（米），∴货物M上升了5米．【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．23．（12分）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx（x＞0）的图象交于点A（6，1），B（2，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＞kx的解集为2＜x＜6（3）在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值．【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案；（3）作点B关于x轴的对称点D，连接BC，AC，DC，AD，则D（2，﹣3），由轴对称的性质可得DC＝BC；由两点距离计算公式可得AB=25，则可推出△ABC的周长=AC+BC+25，根据AC+DC≥AD，可推出当A、C、D三点共线时，AC+DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD+25，利用两点距离计算公式可得AD=42，则△ABC的周长的最小值为42+25，求出直线AD解析式为y＝x﹣5，在y＝x﹣5中，当y＝x﹣【解答】解：（1）∵反比例函数y2=kx(x＞∴1=k解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y2在y2=6x(x＞∴B（2，3），∵一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数y2=kx(x＞0)的图象交于点A（6，∴6a解得a=∴一次函数解析式为y1（2）由函数图象可知，当一次函数y1=-12x+4的图象在反比例函数y2∴不等式ax+b＞kx的解集为2故答案为：2＜x＜6；（3）如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接BC，AC，DC，AD，则D（2，﹣3），由轴对称的性质可得DC＝BC，∵A（6，1），B（2，3），∴AB=∴△ABC的周长=AB∴当AC+BC有最小值时，△ABC的周长有最小值，∵AC+BC＝AC+DC，∴当AC+DC有最小值时，△ABC的周长有最小值，∵AC+DC≥AD，∴当A、C、D三点共线时，AC+DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD+2∵A（6，1），D（2，﹣3），∴AD=∴△ABC的周长的最小值为42设直线AD解析式为y＝k1x+b1，则6k∴k=1∴直线AD解析式为y＝x﹣5，在y＝x﹣5中，当y＝x﹣5＝0时，x＝5，∴C（5，0）；综上所述，当点C的坐标为（5，0）时，△ABC的周长有最小值，最小值为42【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，连接PB交⊙O于点C，连接AC，则∠PAC＝∠B．理由如下：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∴∠CAB+∠B＝90°∵PA与⊙O相切于点A∴PA⊥AB∴∠PAB＝90°∴∠CAB+∠PAC＝90°∴∠PAC＝∠B（1）小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC＝∠B仍然成立，请说明理由；（2）小明进一步探究发现：如图乙，线段PA与线段PC，PB存在如下关系：PA2＝PC•PB．请你替小明证一证；（3）拓展应用：如图丙，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，∠AOB＝150°，BC的延长线与过点A的切线相交于P，若⊙O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长．【分析】（1）连接OA，OC，由切线的性质可推出∠CAO+∠PAC＝90°，则∠CAO+2∠PAC＝180°由等边对等角可得∠OAC＝∠OCA，则由三角形内角和定理可得∠AOC+2∠OAC＝180°，则∠AOC＝2∠PAC，由圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC，则∠PAC＝∠B；（2）根据（1）所求可证明△PAC∽△PBA，由相似三角形的性质可得PAPB=PCPA，则PA2＝（3）由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝90°，由勾股定理得BC=2求出∠AOC＝60°，则可证明△OAC是等边三角形，可得AC＝OA＝1，∠OAC＝60°，由切线的性质可推出∠PAC＝30°，则可得到∠PAB＝75°，由圆周角定理得到∠ABC=12∠AOC=30°，则∠P＝75°，进一步可得∠ACP＝75°，则∠P＝∠ACP，即可得到AP＝AC＝1；设PC＝x，则PB=PC+【解答】（1）解：如图所示，连接OA，OC，如图，∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°，∴∠CAO+∠PAC＝90°，∴2∠CAO+2∠PAC＝180°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∴∠AOC+2∠OAC＝180°，∴∠AOC＝2∠PAC，又∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠PAC＝∠B；（2）证明：由（1）可得：∠PAC＝∠B，又∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，∴PAPB∴PA2＝PB•PC；（3）解：∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵⊙O的半径为1，∴OA＝OB＝OC＝1，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°．又∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴AC＝OA＝1，∠OAC＝60°，∵BC的延长线与过点A的切线相交于P，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°，∴∠CAO+∠PAC＝90°，∵∠OAC＝60°，∴∠PAC＝30°，∴∠PAB＝∠PAC+∠BAC＝45°+30°＝75°．∴∠ABC∴∠P＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝75°，∴∠ACP＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝75°，∴∠P＝∠ACP，∴AP＝AC＝1．设PC＝x，则PB=由（2）可得：PA2＝PB•PC，∴12∴x2解得：x=-2∴PC=【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，熟知切线的性质和圆周角定理是解题的关键．25．（14分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离；（3）动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ＝QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3；过点P作PE∥y轴交AC于E，连接AP，CP，设P（p，p2+2p﹣3）（﹣3＜p＜0），则E（p，﹣p﹣3），可得PE=-(p+3