2025-2026学年7.5 解直角三角形 同步练习题苏科版九年级下学期【附答案】

/7.5解直角三角形同步基础练习题一．选择题1．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为（）A．35 B．34 C．452．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（）A．ADBD B．ACAB C．ADAC3．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=32，tanB=3A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定4．如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝1，sin∠BAD=A．223 B．429 C．5．如图，平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的余弦值是（）A．34 B．43 C．356．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点O，则∠BOD的正弦值是（）A．45 B．34 C．437．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若tan∠BDC=43，则A．6cm B．5cm C．4cm D．23cm8．数学中余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC的值是（）A．5 B．14 C．13 D．29．如图，在△ABC中，AD，BE是△ABC的角平分线，如果AB＝AC＝10，BC＝12，那么tan∠ABE的值是（）A．12 B．63 C．610．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，且与BC相交于点E，求tan∠CAE的值．下面是不完整的解题过程，解：如图，连接DE．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝①_____．∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴DF＝CF，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴△ADE≌②_____，∴∠ADE＝∠ACE＝90°，∴∠BDE＝90°．设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得③_____，解得x＝1.5，∴CE＝1.5，∴tan∠CAE＝④_____．下列代号表示的内容不正确的是（）A．①为5 B．②为△ACE C．③为x2+22＝（4﹣x）2 D．④为2二．填空题11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=513，BC＝10，则△ABC的面积为12．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算tan22.5°时，构造出如图所示的图形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°．根据此图可求得tan22.5°的结果．13．如图，已知在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝90°，tan∠ACB=34，点D、E分别在边AC、BC上，且BC＝DC，若DE把△ABC的面积平分，则DE＝14．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．如图，点D为AB的中点，点E，F分别为AC，BC上的点，且∠EDF＝90°，连接EF．若AE＝1，则BF＝．15．下面网格中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点都是格点，则sin∠BCA的值为．16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC，交BC于点E，AE⊥DE，AB＝4，AE＝3，sin∠CDE=35，那么CD＝三．解答题17．根据下列条件，解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b=618．如图，在△ABC中，∠B＝30°，sinC=35（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积（结果保留根号）．19．已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．（1）如图1，若∠ACB=90°，∠CAD（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示．若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP．20．如图1，是护眼灯的实物图，图2是它的侧面示意图，其中CD长为42cm，BC长为12cm．∠B＝60°，∠（1）点D到BC的距离为；（2）求点D到AB的距离．21．阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务．利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c过点B作BH⊥AC于点H，则cosA=AHBA=AHc，即AH＝c•cosA，于是CH＝b﹣c•cosA．在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，在Rt△BHC中，BH2＝BC2﹣CH2，∴c2﹣c2cos2A＝a2﹣（b﹣c•cosA）2，整理得a2＝b2+c任务：（1）b2＝，c2＝；（2）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别是a，b，c，a=5，b＝2，cosC=22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB=35，点D，E分别在边AB，BC上，满足∠CDE＝∠B．F是DE延长线上一点，且∠ECF（1）当D是AB的中点时，求tan∠BCD的值；（2）若AD＝4，求CFDE

参考答案一．选择题题号12345678910答案CACBCDCCAD二．填空题11．120．12．2−113．10314．19815．101016．1．三．解答题17．解：（1）∠A＝30°，c=asinA=16，b＝atanB（2）∠B＝45°，a＝btanA=6tan45°=6，c=b18．解：（1）过点A作AD⊥BC于D．在Rt△ACD中，∵sinC=ADAC∴AD＝6，∵在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AB＝2AD＝12；（2）∵在Rt△ABD中，cos30°=∴BD=12×在Rt△ACD中，根据勾股定理CD=CD=10∴△ABC的面积=119．（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，∴AB∵BD＝AC，AB＝AD+DB，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵P是CD的中点，∴AP⊥CD，在Rt△APC中，AP=3，∠∴AC=∴BC=（2）证明：连结BE，∵DE∥AC，∴∠CAP＝∠DEP，∵CP＝DP，∠CPA＝∠DPE，∴△CPA≌△DPE（AAS），∴AP=∵BD＝AC，∴BD＝DE，又∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠CAD＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠EBD＝60°，∵BD＝AC，∴AC＝BE，又∵∠CAB＝∠EBA＝60°，AB＝BA，∴△CAB≌△EBA（SAS），∴AE＝BC，∴BC＝2AP．20．解：（1）如图1：过点D作DF⊥BC，垂足为F，在Rt△CDF中，CD＝42cm，∠C＝45°，∴DF＝CDsin45°＝42×22∴点D到BC的距离为4cm，故答案为：4cm；（2）如图2：过点D作DG⊥AB，垂足为G，连接BD，过点F作FM⊥AB，垂足为M，过点D作DN⊥FM，垂足为N，∵∠CFD＝90°，∠C＝45°，∴CF＝DF＝4cm，∵BC＝12cm，∴BF＝BC﹣CF＝12﹣4＝8cm，Rt△CDF中，CD＝42cm，在Rt△FMB中，FM＝BFsin60°＝8×32=4∵∠FMB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BFM＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DFM＝∠DFB﹣∠BFM＝90°﹣30°＝60°，在Rt△FDN中，FN＝FDcos60°＝4×12=∴MN＝FM﹣FN＝（43−2）cm∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°，∴四边形DNMG是矩形，∴DG＝MN＝（43−2）cm∴点D到AB的距离为（43−2）cm21．解：（1）根据a2＝b2+c2﹣2bc•cosA进行类比，可得b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．故答案为：a2+c2﹣2accosB，a2+b2﹣2abcosC；（2）∵c2＝a2+b2﹣2abcosC，a=5，b＝2，∴c2即c2＝5，解得c1=5∴c=22．解：（1）如图：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，∵AB＝AC＝10，∴BG＝GC，∵sinB=35∴AG＝6．∴BG=∴CG＝BG＝8．∵AG⊥BC，DH⊥BC，∴AG∥