2025-2026学年19.2 平行四边形 暑假巩固沪科版八年级数学下学期【附答案】

/沪科版八年级下册19.2平行四边形暑假巩固一、由平行四边形的性质求角1.在▱ABCD中，∠A=60°A.40°B.60°C.110°D.120°2.已知在▱ABCD中，∠B+∠A.100°B.160°C.80°D.60°3.已知▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠ACB=30°，∠

A.100°B.105°C.108°D.120°4.如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为

．5.在▱ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠A＝

°．6.如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，M为DC的中点，求∠AMB的度数．7.▱ABCD中，∠A的平分线交DC于E．若∠DEA＝20°，求∠B和∠C的度数．二、坐标系中的平行四边形1.如图，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A.（3，1）B.（﹣4，1）C.（1，﹣1）D.（﹣3，1）2.在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（）A.1B.2C.3D.43.如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A.（3，﹣1）B.（﹣1，﹣1）C.（1，1）D.（﹣2，﹣1）4.如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，﹣3），C（2，0），要使四边形ABCD成为平行四边形，则点D的坐标为

．5.如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为

．6.四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒（1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？（2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？7.已知平面直角坐标系内三点A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平面内求一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标．三、动点问题中判断平行四边形1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）A.3B.3C.3或3D.32或2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（）A.2秒B.2秒或3秒C.2秒或4秒D.4秒3.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（）A.3B.4C.5D.64.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t＝

．5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=5，BC=18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则6.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时分别从A，C两点出发，分别沿AB，CB匀速运动，其中点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当点Q到达点B时，P，Q两点都停止运动，作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动时间为t（s），当t为何值时，四边形PRQB是平行四边形？7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC的中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P运动的时间为t秒．（1）求AB与CE之间的距离；（2）t为何值时，四边形PBCF是平行四边形？四、根据三角形中位线定理求边长1.如图，四边形ABCD，已知对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD=6，点EA.24B.12C.6D.无法确定2.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A.8B.10C.12D.143.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC中点，若CD=5则EF的长为（）A.4B.5C.6D.104.如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15．MN＝3，那么△ABC的周长是

．5.在△ABC中，E，D分别是边AC，BC上的中点，连接ED，F是ED上一点，连接AF，CF，已知AC=4，∠6.如图所示，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点7.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=8cm，则立柱BC，DE要多长？五、根据三角形中位线定理求角的度数1.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（）A.15°B.25°C.30°D.35°2.在△ABC中，若点D、E分别为AB、AC的中点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠AED的度数为（）A.50°B.70°C.60°D.80°3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，则∠DEC的度数为（）A.54°B.48°C.40°D.36°4.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝40°，则∠ADE的度数为

．5.在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC的中点，D为AB的中点，∠C＝30°，则∠ADO的度数是

．6.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点．（1）求证：DE∥BC；（2）求证：DE=12（BC﹣（3）若∠ABC＝72°，求∠ADE的度数．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，∠ABC＝60°，求∠ACE的度数．六、由平行四边形的性质求边1.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（）A.4B.3C.2D.不确定2.如图，在▱ABCD中，AB=15，BC=24．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC=90°，连接AF并延长，交CD于点A.6.5B.5C.6D.5.53.如图，在▱ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，AC、BD相交于点O，OE⊥BD

A.6B.8C.10D.124.如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，F为AB中点，连接EF，若DE＝5，EF=132，EC：BE＝2：3，则线段EC的长为5.▱ABCD中，∠B=60°，AB=2，AD=36.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长．7.已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△FBE；（2）若EC＝3，求AD的长．七、根据给出的条件判断是否为平行四边形1.已知四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，则下列选项中不能证明四边形ABCD为平行四边形的是（）A.AB∥CD，AB＝CDB.AB＝CD，BC＝ADC.AB∥CD，AC＝BDD.OA＝OC，OB＝OD2.下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=CD，B.∠A=∠C.AD=BCD.∠A=∠3.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（

）A.AB=CDB.AB∥CDC.AB∥CDD.AB∥CD4.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是

．5.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（填序号）．①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD．6.已知如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形．八、两平行线之间的距离1.如图，点A、B的坐标分别为1,0、0,1，点P是第一象限内直线y=−x+3上的一个动点，当点P

A.逐渐增大B.逐渐减小C.先减小后增大D.不变2.如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥lA.70°B.75°C.80°D.85°3.如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（）A.5B.10C.2D.264.在平面直角坐标系中，直线AB平行于y轴．若点A的坐标为(2,−3)，则点B的坐标可以是

．（写出一个即可）5.如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为6，l6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，如果AD与BC间的距离为3cm，那么AB与CD间的距离是多少？7.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离．九、根据三角形中位线定理求面积1.如图，△ABC的面积为4，取AB，AC的中点D，E，连接DE，则图中阴影部分面积是（）A.5B.8C.3D.72.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是△ABC中边AB的中线，MH⊥BC，垂足为点H，连接AH，若△AHB的面积为3，AC＝3，则AB的长为（）A.4B.6C.5D.83.如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连接GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（）A.32B.48C.64D.724.如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE＝2OF．则△ABC的面积与△AOC的面积之比为．5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为

．6.如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD和（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长；（3）求四边形DEFC的面积．7.在▱ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO．(1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明；(2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明；(3)在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积．十、平行四边形的判定和性质的综合运用1.如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（）A.4cm2B.3cm2C.2cm2D.1cm22.如图，AB＝CD＝3，∠A＝75°，∠B＝45°，∠D＝15°，则线段AD的长为（）A.4B.25C.26D.273.如图，在正方形ABCD中，E,A.△B.AFC.ARD.AR4.如图，在平面直角坐标系xOy中，对于点Px1，y1，给出如下定义：当点Qx2，y

（1）在Q12，3，Q2−4，−2，Q3（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为

．5.如图，如果M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，那么图中有

个平行四边形．6.已知：如图，点E和点F分别是平行四边形ABCD的边AB和CD的中点，G、H分别为AD和BC边上的一点，且AG＝CH．求证：EF与GH互相平分．7.在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

沪科版八年级下册19.2平行四边形暑假巩固（参考答案）一、由平行四边形的性质求角1.在▱ABCD中，∠A=60°A.40°B.60°C.110°D.120°【答案】B【解析】由四边形ABCD是平行四边形可得：∠C故选B2.已知在▱ABCD中，∠B+∠A.100°B.160°C.80°D.60°【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B∵∠B∴∠B故选：B．3.已知▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠ACB=30°，∠

A.100°B.105°C.108°D.120°【答案】B【解析】解：如图，作AE⊥BC于点E，连接

，则∠AEB∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA∴OE∴∠OEC∴∠AEO∴△AEO∴AE=OE∵∠OEC=∠CBD∴∠BOE∴OE∴BE∴△ABE∴∠BAE∴∠BAC故选：B．4.如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为

．【答案】50°．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C＝∠ABF．又∵∠C＝40°，∴∠ABF＝40°．∵EF⊥BF，∴∠F＝90°，∴∠BEF＝90°﹣40°＝50°．故答案为：50°．5.在▱ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠A＝

°．【答案】60．【解析】在▱ABCD中，∠A＝∠C，若∠A+∠C＝120°，则∠A＝120°÷2＝60°，故答案为：60．6.如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，M为DC的中点，求∠AMB的度数．【答案】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2BC，M为DC的中点，∴DA＝DM，CM＝CB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠6，又∵CD∥AB，∴∠1＝∠3，∠2＝∠5，∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，∵∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠3+∠5＝90°，∴∠AMB＝90°．7.▱ABCD中，∠A的平分线交DC于E．若∠DEA＝20°，求∠B和∠C的度数．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DEA＝∠BAE＝20°，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝2∠BAE＝40°，∵DC∥AB，∴∠D＝180°﹣∠DAB＝140°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝140°，∠C＝∠DAB＝40°．二、坐标系中的平行四边形1.如图，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A.（3，1）B.（﹣4，1）C.（1，﹣1）D.（﹣3，1）【答案】B【解析】如图所示：①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（﹣3，1）；②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，﹣1）；③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1）；故选：B．2.在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】如图所示：当AB平行且等于N1M1时，四边形ABM1N1是平行四边形；当AB平行且等于N2M2时，四边形ABN2M2是平行四边形；当AB为对角线时，四边形AN3BM3是平行四边形．故符合题意的有3个点．故选：C．3.如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A.（3，﹣1）B.（﹣1，﹣1）C.（1，1）D.（﹣2，﹣1）【答案】D【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（3，﹣1）时，∴BO＝AC1＝2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴BO∥AC1，∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；B、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（﹣1，﹣1）时，∴BO＝AC2＝2，∵A，C2，两点纵坐标相等，∴BO∥AC2，∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；C、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（1，1）时，∴BO＝AC1＝2，∵A，C1，两点纵坐标相等，∴C3O＝BC3=2同理可得出AO＝AB=2进而得出C3O＝＝AB，BC3＝AO，∴四边形OABC3是平行四边形；故此选项正确；D、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，当第四个点为（﹣1，﹣1）时，四边形OC2AB是平行四边形；∴当第四个点为（﹣2，﹣1）时，四边形OC2AB不可能是平行四边形；故此选项错误．故选：D．4.如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，﹣3），C（2，0），要使四边形ABCD成为平行四边形，则点D的坐标为

．【答案】（0，3）．【解析】∵A（﹣2，0），B（0，﹣3），C（2，0），∴OA＝2，OB＝3，OC＝2，∴OA＝OC，当OD＝OB＝3时，四边形ABCD成为平行四边形，∴点D的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）．5.如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为

．【答案】（5，3）或（1，﹣3）．【解析】①当四边形OACB是平行四边形时，OC交AB于E．则AE＝EB，OE＝EC．∵点A（2，3），B（3，0），∴E（52，3∴C（5，3），②当四边形OABC′是平行四边形时，OB交AC′于F，则OF＝FB，FA＝FC′，∵B（3，0），∴F（32∴m+22=∴m＝1，n＝﹣3，∴C（1，﹣3），故答案为（5，3）或（1，﹣3）．6.四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒（1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？（2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？【答案】解：（1）如图1：由题意得：CP＝2t，AQ＝3t，则PB＝6﹣2t，当PB＝AQ时，四边形ABPQ为平行四边形，故6﹣2t＝3t，解得：t=6答：t为65四边形ABPQ（2）过P作PD⊥AO，过Q作QF⊥BC，∵△AQP是以AQ为底边的等腰三角形，∴DQ＝AD=12∵AQ＝3t，∴DQ＝1.5t，QO＝8﹣3t，∵CP＝2t，∴FP＝2t﹣（8﹣3t）＝5t﹣8，∴5t﹣8＝1.5t，解得：t=167.已知平面直角坐标系内三点A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平面内求一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标．【答案】解：如图由图象可知，以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，点D坐标为（﹣1，0）或（﹣3，4）或（7，﹣2）．三、动点问题中判断平行四边形1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）A.3B.3C.3或3D.32或【答案】D【解析】①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝9+3t﹣12，解得t=3②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t=3综上所述，t=34或32时，以A、M、E故选：D．2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（）A.2秒B.2秒或3秒C.2秒或4秒D.4秒【答案】B【解析】设点P、Q运动的时间为t秒，依题意得，CQ＝t，BQ＝6﹣t，AP＝2t，PD＝9﹣2t，①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形，即6﹣t＝2t，解得t＝2．②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即t＝9﹣2t，解得，t＝3，所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．故选：B．3.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB，如图做三角形OAN，使∠ANO＝90°，此时四边形ABCD是平行四边形，∵直线l1∥l2，它们间的距离为2，∴O到l1l2的距离均为1，∵点A到l1的距离为1∴ON＝2，由图可知AO≥ON，∴AOmin＝ON＝2，∴ACmin＝2AO＝4，故选：B．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t＝

．【答案】103【解析】设t秒后四边形ABQP是平行四边形，由题意得，AP＝tcm，CQ＝2tcm，则BQ＝（10﹣2t）cm，∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t＝10﹣2t，解得t=即103秒时四边形ABQP当四边形DCQP是平行四边形，则PD＝（6﹣t）cm，∵AD∥BC，∴当PD＝CQ时，四边形DCQP是平行四边形，∴2t＝6﹣t，解得t＝2，当PD＝BQ时，10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4，∴103或2或4秒时，直线PQ将四边形ABCD故答案为：1035.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=5，BC=18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则【答案】2秒或3.5秒【解析】解：如图：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝12BC∵AD∥BC，∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9−3t＝5−t，解得：t＝2，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t−9＝5−t，解得：t＝3.5；∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：2秒或3.5秒．6.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时分别从A，C两点出发，分别沿AB，CB匀速运动，其中点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当点Q到达点B时，P，Q两点都停止运动，作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动时间为t（s），当t为何值时，四边形PRQB是平行四边形？【答案】解：∵点P的运动速度是每秒1cm，点Q的运动速度是每秒2cm，∴PB＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，∵△ABC是等边三角形，RQ∥BA，∴△RQC是等边三角形，∴QR＝CQ＝2tcm，∵只要使PB＝RQ时，四边形PRQB是平行四边形，即6﹣t＝2t，得t＝2，∴当t为2时，四边形PRQB是平行四边形．[点评]本题考查了平行四边形的判定与性7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC的中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P运动的时间为t秒．（1）求AB与CE之间的距离；（2）t为何值时，四边形PBCF是平行四边形？【答案】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H，∵BC＝3，AC＝4，∴根据勾股定理得：AB=B∴12AB•CH=12AC•BC，即12∴CH=12则AB与CE间的距离为125（2）∵D是AC中点，∴当P为AB中点时，PD∥BC，又∵CE∥BA，∴四边形PBCF为平行四边形，此时PB=12AB，即t四、根据三角形中位线定理求边长1.如图，四边形ABCD，已知对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD=6，点EA.24B.12C.6D.无法确定【答案】B【解析】解：根据题意，在△ABC中，点E，F∴EF∥同理，在△ADC中，GH在△ABD中，EH在△BCD中，FG∵四边形EFGH的周长为EF+∵AC=∴四边形EFGH的周长为6+6=12，故选：B．2.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB＝2BD，BC＝2BE，∴DE∥BC且DE=12又∵AB＝2BD，BC＝2BE，∴AB+BC+AC＝2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2＝12．故选：C．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC中点，若CD=5则EF的长为（）A.4B.5C.6D.10【答案】B【解析】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=12又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴EF=12×故选：B．4.如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15．MN＝3，那么△ABC的周长是

．【答案】41．【解析】延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，∠BAN∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝10，BN＝ND，∵BM＝MC，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+DC＝16，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10+15+16＝41，故答案为：41．5.在△ABC中，E，D分别是边AC，BC上的中点，连接ED，F是ED上一点，连接AF，CF，已知AC=4，∠【答案】6【解析】解：在△AFC中，点E是AC的中点，AC∴EF=∵FD=1∴DE=∵E，D分别是边AC，∴DE是△ABC∴AB=2故答案为：6．6.如图所示，在△ABC中，∠B=45°,∠C=60°,AD⊥BC于点【答案】解：∵∠∴△ABD∴AD又∵∠∴∠DAC∴设CD=12∴∴∴AC又∵E,F∴EF7.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=8cm，则立柱BC，DE要多长？【答案】∵BC⊥AF,∠A=30°，∴BC=12∵BC、DE垂直于横梁AC，∴DE∥BC，又D是AB的中点，∴DE=12答：立柱BC要4m，DE要2m.五、根据三角形中位线定理求角的度数1.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（）A.15°B.25°C.30°D.35°【答案】B【解析】∵P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，∴PF是△ABD的中位线，∴PF=12AB，PF∥∴∠DPF＝∠ABD＝30°，同理，PE=12CD，PE∥∴∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝130°，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠EFP＝∠FEP=12×（180°﹣∠EPF故选：B．2.在△ABC中，若点D、E分别为AB、AC的中点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠AED的度数为（）A.50°B.70°C.60°D.80°【答案】C【解析】∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠B＝∠AED＝70°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝60°，故选：C．3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，则∠DEC的度数为（）A.54°B.48°C.40°D.36°【答案】D【解析】∵∠C＝90°，∠A＝54°，∴∠B＝90°﹣∠C＝36°，∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝36°，故选：D．4.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝40°，则∠ADE的度数为

．【答案】40°【解析】∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝40°，故答案为：40°．5.在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC的中点，D为AB的中点，∠C＝30°，则∠ADO的度数是

．【答案】60°或105°．【解析】当AB＝AC，∠C＝30°时，∠B＝∠C＝30°，则∠A＝180°﹣30°×2＝120°，当BC＝AC，∠C＝30°时，∠A＝∠B＝75°，∵O为BC的中点，D为AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠ADO+∠A＝180°，∴∠ADO为60°或105°，故答案为：60°或105°．6.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点．（1）求证：DE∥BC；（2）求证：DE=12（BC﹣（3）若∠ABC＝72°，求∠ADE的度数．【答案】（1）证明：如图，延长AD交BC于F，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴AB＝BF，AD＝DF，又∵E为AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴DE∥BC；（2）证明：∵AB＝BF，∴FC＝BC﹣AB，∵DE是△ACF的中位线，∴DE=12（BC﹣（3）解：∵∠ABC＝72°，∴∠AFB=1∴∠AFC＝126°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AFC＝126°．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，∠ABC＝60°，求∠ACE的度数．【答案】解：延长AD、BC交于F．∵在△ABC与△AFC中，∠DAC∴△ABC≌△AFC（ASA），∴BC＝FC，∠F＝∠ABC＝60°，∴∠CAF＝30°，∵E为BD的中点，∴EC∥AF，∴∠ACE＝∠CAF＝30°．六、由平行四边形的性质求边1.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（）A.4B.3C.2D.不确定【答案】B【解析】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝6．∵M，N分别为BE，CE的中点，∴MN是△EBC的中位线，∴MN=12故选：B．2.如图，在▱ABCD中，AB=15，BC=24．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC=90°，连接AF并延长，交CD于点A.6.5B.5C.6D.5.5【答案】C【解析】解：如图，延长BF交CD的延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=15∴∠H∵EF∥∴EF∥∴EF∥∴∠BFE∵∠BFC=90°，E是边∴FE=∴∠BFE∴∠FBE∴BC=∴DH=在△ABF和△∠ABH∴△ABF∴AB=∴DG=故选：C．3.如图，在▱ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，AC、BD相交于点O，OE⊥BD

A.6B.8C.10D.12【答案】C【解析】解：∵在▱ABCD中，O是对角线的交点，且OE⊥BD∴EO是对角线BD的中垂线，AD∴BE∴△ABE的周长为AB故选C4.如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，F为AB中点，连接EF，若DE＝5，EF=132，EC：BE＝2：3，则线段EC的长为【答案】3．【解析】如图，延长DA，EF交于点H，∵F是AB的中点，∴AF＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠H＝∠BEF，∠HAF＝∠B，∴△AFH≌△BFE（AAS），∴EF＝FH=132，AH＝∴EH＝13，∴DH=HE∵EC：BE＝2：3，∴设EC＝2x，BE＝3x＝AH，则AD＝BC＝5x，∴DH＝8x，∴8x＝12，∴x=3∴EC＝2x＝3，故答案为：3．5.▱ABCD中，∠B=60°，AB=2，AD=3【答案】7【解析】如图所示，连接AC，过点A作AE∵∠B∴∠∴BE∴AE∵四边形ABCD是平行四边形∴BC∴EC∴AC=故答案为：7．6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，∴CD＝AB＝5，CD∥AB，∴∠ABE＝∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CEB＝∠CBE，∴BC＝CE，又∵DE＝2，∴BC＝CE＝CD﹣DE＝5﹣2＝3．7.已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△FBE；（2）若EC＝3，求AD的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，∵BF＝AB，∴BF＝CD，在△DCE和△FBE中，∠F∴△DCE≌△FBE（AAS）．（2）解：∵△DCE≌△FBE（AAS），EC＝3，∴BE＝EC＝3∴BC＝2BE＝6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6．七、根据给出的条件判断是否为平行四边形1.已知四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，则下列选项中不能证明四边形ABCD为平行四边形的是（）A.AB∥CD，AB＝CDB.AB＝CD，BC＝ADC.AB∥CD，AC＝BDD.OA＝OC，OB＝OD【答案】C【解析】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB∥CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；D、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．2.下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=CD，B.∠A=∠C.AD=BCD.∠A=∠【答案】A【解析】解：∵AB=CD，AD∥BC∴由AB=CD，AD∥∵∠A∴AD∵∠A=∠C∴∠C∴CD∥∴四边形ABCD是平行四边形，∴由∠A=∠C，∠故B选项不符合题意；∵AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形，∴由AD=BC，AD∥故C选项不符合题意；∵∠A=∠C，∠∴∠A+∠B∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴由∠A=∠C，∠故D选项不符合题意，故选：A．3.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（

）A.AB=CDB.AB∥CDC.AB∥CDD.AB∥CD【答案】A【解析】解：A、若AB＝CD，∠A＝∠B，不可以判定四边形ABCD是平行四边形；B、∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故B可以判定四边形ABCD是平行四边形；C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知C可以判定四边形ABCD是平行四边形；D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知D可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选A．4.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是

．【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【解析】∵将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，∴A1B1＝AB，A1B1∥AB，∴四边形ABB1A1是平行四边形，∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．5.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（填序号）．①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD．【答案】③．【解析】①∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；②∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；④∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；故答案为：③．6.已知如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？【答案】解：是平行四边形．理由：∵∠1＝∠2，∴AB∥DC，又∵∠3＝∠4，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD=∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），∴AB＝CD，又AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．八、两平行线之间的距离1.如图，点A、B的坐标分别为1,0、0,1，点P是第一象限内直线y=−x+3上的一个动点，当点P

A.逐渐增大B.逐渐减小C.先减小后增大D.不变【答案】D【解析】解：连接AB，

∵点A、B的坐标分别为1,0、0,1，∴设AB所在直线解析式为：y=∴k+解得：k=−1∴AB所在直线解析式为：y∵点P是第一象限内直线y=−∴两直线平行，∴P到直线AB∵S△AOB是定值，AB是定值，P∴当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积不变．故选：D．2.如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥lA.70°B.75°C.80°D.85°【答案】C【解析】解：过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，∵直线MN∥∴OD=∴点O是△ABC的内心，即点O∴∠ABC∴∠BAC故选：C．3.如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（）A.5B.10C.2D.26【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝13，在Rt△ADO中，由勾股定理得，DO=A∴BD＝2OD＝10，∴AD与BC间的距离为10，故选：B．4.在平面直角坐标系中，直线AB平行于y轴．若点A的坐标为(2,−3)，则点B的坐标可以是

．（写出一个即可）【答案】(2,2)（答案不唯一）【解析】解：∵直线AB与y轴平行，∴点A和点B的横坐标相等，纵坐标不相等，故答案为：(2,2)（答案不唯一）．5.如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距离为6，l【答案】10【解析】解：过D点作EF⊥l3于F点，交l∵l1∴EF⊥∴∠AED∵四边形ABCD是正方形∴∠ADC∴∠ADE∴∠CDF∴△ADE∴AE=∵l1，l2的距离为6，l2∴AE=根据勾股定理得，AD=∴正方形的对角线长为=10故答案为：1026.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，如果AD与BC间的距离为3cm，那么AB与CD间的距离是多少？【答案】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，∴6×3＝4×AF，∴AF=92，即AB与CD间的距离为7.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离．【答案】解：设AD和BC之间的距离为x，则平行四边形ABCD的面积等于AD•x，∵S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2×12AC•BE＝AC•∴AD•x＝AC•BE，即：7x＝21×5，x＝15（cm），答：AD和BC之间的距离为15cm．九、根据三角形中位线定理求面积1.如图，△ABC的面积为4，取AB，AC的中点D，E，连接DE，则图中阴影部分面积是（）A.5B.8C.3D.7【答案】C【解析】如图所示，连接CD，∵点D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，∴S△∵点E是AC的中点，∴DE是△ACD的中位线，∴S△∴S四边形BCED＝S△ECD+S△CDB＝2+1＝3．故选：C．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是△ABC中边AB的中线，MH⊥BC，垂足为点H，连接AH，若△AHB的面积为3，AC＝3，则AB的长为（）A.4B.6C.5D.8【答案】C【解析】∵MH⊥BC，垂足为点H，∠ACB＝90°，∴MH∥AC，∵CM是△ABC中边AB的中线，∴CH＝HB，∵△AHB的面积为3，∴△AHC的面积为3，∴△ACB的面积为6，∵AC＝3，∴BC＝4，∴由勾股定理得：AB＝5，故选：C．3.如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连接GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（）A.32B.48C.64D.72【答案】C【解析】∵G，E分别是BF，CF的中点，∴GE是△BFC的中位线，∴GE=12∵△FGE的面积为8，∴△BFC的面积为32，∵点F是AD的中点，∴S△ABF＝S△BDF，S△FDC＝S△AFC，∴△ABC的面积＝2△BFC的面积＝64，故选：C．4.如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE＝2OF．则△ABC的面积与△AOC的面积之比为．【答案】3．【解析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF=12∵OE＝2OF，∴OE=23EF=23设点A到BC的距离为h，则S△ABC=12BC•h，S△AOC=12OE•h=12×1∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1＝3．故答案为：3．5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为

．【答案】83【解析】∵D、E分别为AC、BC的中点，即DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=12∴AB＝2DE，DF∥AB，又∵BF∥AC，∴BF∥AD，∴四边形ABFD是平行四边形，∵AB⊥BE，∴S平行四边形ABFD＝AB•BE，∵DE＝2，∴AB＝2×2＝4，在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AB＝2×4＝8，∴BC=AC2∴BE=12BC＝2∴S平行四边形ABFD＝4×23=83故答案为83．6.如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=12BC，连接CD和（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长；（3）求四边形DEFC的面积．【答案】解：（1）在△ABC中，∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=12∵CF=12∴DE＝CF．（2）∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，∵BC＝4，BD＝2，∴CD=42−∵DE∥CF，DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴EF＝CD＝23．（3）过点D作DH⊥BC于H．∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，∴DH=12DC∵DE＝CF＝2，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝2×3=27.在▱ABCD中，AB⊥AC，点O为