2025-2026学年八年级数学上册竞赛专题培优：六 等腰三角形【附答案】

/专题卷六等腰三角形(满分:120分考试时间:120分钟)一、选择题(每题5分，共30分)1.[2024·连云港宁海中学自主招生]如图，△ABC的三条高线相交于点G，CH是角平分线。已知∠ABC=45°,∠ACD=60°,则图中的等腰三角形共有 ()A.5个 B.6个 C.7个 D.8个2.[2023·淮南第一中学自主招生]如图,在△ABC中,点D,E在边BC上,AC=AE=BE=ED,∠DAC=24°,则∠B的度数为 ()A.22° B.23° C.24° D.26°3.[黄冈竞赛]如图,在△ABC中,D为BC上一点,AB=AC,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF的度数为 ()A.90°-∠A BC.180∘4.[宜宾一中自主招生]如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE平分∠ADB交AB于点E,DF平分∠ADC交AC于点F,则EF与BE+CF之间的数量关系是 ()A.BE+CF=EF B.BE+CF>EFC.BE+CF<EF D.不能确定5.[第10届“希望杯”邀请赛]等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于 ()A.30° B.30°或150°C.120°或150° D.30°或120°或150°6.[浙江自主招生]如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,点P在△ABC中,∠PBC=10∘,A.50° B.60° C.70° D.65°二、填空题(每题5分，共30分)7.[南充顺庆区校级自主招生]在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交形成的锐角是50°，则∠8.[2024·绵阳涪城区自主招生]如图,已知AG⊥BD,AF⊥CE,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线。若BF=2,ED=3,GC=4,则△ABC的周长为。9.[2024·重庆自主招生]一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它最大内角的度数可能是。10.[2024·杭州一中自主招生]如图,在△ABC中,∠BAC,∠BCA的平分线相交于点I,且BC=AI+AC。若∠ABC=35°,则∠BAC的度数为°。11.如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P112.[黄冈高中自主招生]在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,AD为△ABC的中线,则∠ADC=°。三、解答题(共60分)13.(10分)如图,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,求证:AB+BD=CD。14.(12分)[武汉江岸一中自主招生]如图，在△ABC中，AC=12AB,15.(12分)[蚌埠一中自主招生]如图，P为.△ABC的边BC上的一点，且PC=2PB,已知∠ABC=4516.(12分)[第五届“江西省初中名校联盟杯”综合素养大赛]如图，已知在△ABC(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动。①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在△(14分)在等腰三角形ABC中，过其中一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，求该三角形三个内角的度数。专题卷六等腰三角形1.D【解析】①∵AD⊥BC,∠ABC=45°,∴△ABD是等腰三角形;②∵CF⊥AB,∠ABC=45°,∴△BCF是等腰三角形;③∵∠ACB=60°,∴∠∵CH是角平分线，∴∠∴∠CBI=∠ICB,∴△BCI是等腰三角形;④∵∠ACB=60°,∴∠∴∠ACJ=∠CAJ=30°,∴△ACJ是等腰三角形;⑤∵∠∴∠∵∠∴∠CAH=∠CHA=75°,∴△ACH是等腰三角形;⑥∵∠GCD=∠DGC=45°,∴△CDG是等腰三角形;⑦∵∠GIJ=∠EBC+∠HCB=30°+30°=60°,∠∴∠GIJ=∠GJI=60°,∴△GIJ是等腰三角形;⑧△AFG是等腰三角形;综上分析，图中等腰三角形共有8个：△ABD，△BCF,△BCI,△ACJ,△ACH,△CDG,△GIJ,△AFG。2.A【解析】设∠B=x°。∵AE=BE,∴∠BAE=∠B=x°,∴∠AEC=∠BAE+∠B=2x°。∵AC=AE,∴∠AEC=∠C=2x°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=(2x+24)°。∵AE=ED,∴∠DAE=∠ADE=(2x+24)°。在△ADE中,∵∠AED+∠DAE+∠ADE=180°,∴2x+2x+24+2x+24=180,∴x=22,∴∠B=22°。3.B【解析】∵AB=AC,∴∠B=∠C。在△BDF和△CED中,“{∴△BDF≌△CED(SAS),∴∠BFD=∠CDE,∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=18∴∠EDF=180°—(∠FDB+∠EDC)=90°-14.B【解析】如答图,过点B作BH∥AC交FD的延长线于点H,连结EH,则∠C=∠DBH。∵D是BC边上的中点,∴BD=CD,∴△BDH≌△CDF(ASA),∴CF=BH,DF=DH。∵DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,∴∠∴ED垂直平分FH,∴EF=EH,由三角形的三边关系,得BE+BH>EH,∴BE+CF>EF。5.D【解析】根据题意，分3种情况讨论：如答图1，在等腰三角形ABC中，CD是腰AB上的高，若CD=12如答图2，在等腰三角形ABC中，CD是腰AB上的高，若CD=12BC,则如答图3，在等腰三角形ABC中，CD是腰AB上的高，若CD=12AC,则∠6.C【解析】如答图，在BC下方取一点D，连结AD,BD,DP,DC,使得△ABD为等边三角形,∴AD=AB=AC,∠DAC=∠BAC-∠BAD=20°,∴∠ACD=∠ADC=80°。∵AB=AC,∠BAC=80°,∴∠ABC=∠ACB=50°,∴∠又∵∠∴△BDC≌△BPC,∴PC=DC。又∵∠PCD=60°,∴△DPC是等边三角形,∴△APD≌△APC(SSS),∴∠∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°。7.40°或140°【解析】分2种情况讨论:①如答图1，当∠A为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,∴∠BAC=40°;②如答图2，当∠A为钝角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,∴∠1=40°,∴∠BAC=140°。8.30【解析】∵AG⊥BD,BD是∠ABC的平分线,∴∠ADB=∠GDB=90°,∠ABD=∠GBD。又∵BD=BD,∴△ADB≌△GDB(ASA),∴AB=GB。∵AF⊥CE,CE是∠ACB的平分线,∴同理可证AC=FC,即△ABG和△ACF都是等腰三角形。又∵AG⊥BD,AF⊥CE,∴E,D分别是AF和AG的中点,∴ED是△AFG的中位线,∴FG=2DE=6,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=(BF+FG)+(BF+FG+CG)+(FG+CG)=30。9.88°,90°,99°,108°,116°【解析】如答图1,当∠BAC=48°时,那么它的最大内角是90°。当∠ACB=48°时,有4种情况,如答图2所示。综上所述，它最大内角的度数可能是88°，90°，99°，108°,116°。10.70【解析】如答图,在BC上取CD=AC,连结BI,DI。∵CI平分∠ACB,∴∠ACI=∠BCI。在△ACI与△DCI中,∵{∴△ACI≌△DCI(SAS),∴AI=DI,∠CAI=∠CDI。∵BC=AI+AC,∴BD=AI,∴BD=DI,∴∠IBD=∠BID,∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD。又∵AI,CI分别是∠BAC,∠ACB的平分线,∴BI是∠ABC的平分线,∴∠ABC=2∠IBD,∠BAC=2∠CAI,∴∠CDI=∠ABC,∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC。∵∠B=35°,∴∠11.12【解析】设∠A=x。∵∴∠∴∠∴∠…∠∴∠AP₇P₈=7x,∠AP₈P₇=7x,在△AP₇P₈中,∠A+∠AP₇P₈+∠AP₈P₇=180°,即x+7x+7x=180°,解得x=12°,即∠A=12°。12.45【解析】如答图,过点C作CE⊥AB于点E,连结DE,则有∠AEC=∠BEC=90°。∵∠CAB=45°,∠B=30°,∴∠ACE=∠CAB=45°,∠BCE=60°,∴AE=CE。∵AD为△ABC的中线,∴∴△CED是等边三角形,∴DE=CE=AE,∠CDE=60°,∴∠∴∠ADC=∠CDE-∠ADE=45°。13.证明:如答图,在DC上取DE=BD,连结AE。∵AD⊥BC,∴AB=AE,∴∠B=∠AEB,在△ACE中,∠AEB=∠C+∠CAE,又∵∠B=2∠C,∴2∠C=∠C+∠CAE,∴∠C=∠CAE,∴AE=CE,∴CD=CE+DE=AB+BD。14.证明:如答图,过点D作DE⊥AB于点E。∵AD=BD,DE⊥AB,∴∵∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD。在△DEA和△DCA中,∵{∴△DEA≌△DCA(SAS),∴∠ACD=∠AED=90°,∴CD⊥AC。15.解:如答图,过点C作AP的垂线CD,垂足为D,连结BD。∵在△PCD中,∠APC=60°,∴∠DCP=30°,PC=2PD。∵PC=2PB,∴BP=PD,∴△BPD是等腰三角形,∠BDP=∠DBP=30°。∵∠ABP=45°,∴∠ABD=15°。∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°,∴∠ABD=∠BAD=15°,∴BD=AD。∵∠DBP=∠DCP=30°,∴BD=DC。∵BD=AD,∴AD=DC。∵∠CDA=90°,∴∠ACD=45°,∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°。16.解:(1)①全等。理由如下:∵t=1s,∴BP=CQ=3×1=3(cm)。∵AB=10cm,D为AB的中点,∴BD=5cm。又∵PC=BC-BP,BC=8cm,∴PC=8-3=5(cm),∴PC=BD。又∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BPD和△CQP中,∵{∴△BPD≌△CQP(SAS)。②∵vp≠vQ,∴BP≠CQ,若△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,则BP=PC=4cm,CQ=BD=5cm,∴点Q运动的时间t∴(2)设经过x秒后，点P与点Q第一次相遇。∵vQ>v∴点P共运动了803×3=80∵84-80=4cm<AB,∴点P与点Q在AB边上相遇。∴经过80317.解：分3种情况讨论：①若△ABC为等腰直角三角形，如答图1，过点A作底边上的高所在的直线刚好满足条件，即∠BAC=90°,∠B=∠C=45°;②若△ABC为锐角三角形，则有答图2，答图3两种情况。在答图2中,△ABD,△BCD均为等腰三角形,设∠A=∠ABD=α,则∠