2025-2026学年八年级数学上册竞赛专题培优：七 等边三角形与直角三角形【附答案】

/专题卷七等边三角形与直角三角形(满分:120分考试时间:120分钟)一、选择题(每题5分，共30分)1.[第10届“希望杯”邀请赛]如图,在凸五边形ABCDE中,∠A=∠B=120A.30° B.45° C.60° D.67.5°2.[通州一中自主招生]如图,已知D为等边三角形ABC内一点,DB=DA,BF=AB,∠1=∠2,则∠BFD的度数为 ()A.15° B.20° C.30° D.45°3.[2023·广东拔尖创新人才学科知识竞赛]如图，在边长为5的等边三角形ABC中，M是高线CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN。在点M运动的过程中，线段HN长度的最小值是 ()A.1 B.54 C.2 D.4.[嘉兴桐乡重点高中自主招生改编]如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE相交于点O,AD与BC相交于点P,BE与CD相交于点Q,连结PQ,CO。有以下结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°。其中正确的有 ()A.①③ B.②④⑤ C.①②③⑤ D.①②③④⑤5.正三角形ABC所在的平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PCA都是等腰三角形，则这样的点P有 ()A.1个 B.4个 C.7个 D.10个6.[第三十届世界奥林匹克数学竞赛]如图,在△ABC中,BC≠AB,∠B=60°,取△ABC的内心记为点O,分别作OM,ON交AB于点M,交BC于点N,且OM=ON。有下列说法:①∠MON=120°;②四边形OMBN的面积为△ABC面积的2倍;③当MN=BN时,△MON的周长有最小值;④过点M，N且以点O为圆心的圆是△ABC的外接圆。其中不一定正确的是 ()A.①②③ B.②④ C.③④ D.①②④二、填空题(每题5分，共30分)7.[绍兴自主招生]在△ABC中,∠ABC=30°,AB=10,AC边的长度可以在5,7,10,11中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是。8.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN。若MN=2,则OM=。9.[2024·武汉洪山区自主招生]如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠BED=60°。若BE=3,DE=1,则BC=。10.如图,在△ABC中,∠A=20°,AB=AC,D是AC上一点,AD=BC,则∠DBA的度数为°。11.如图,P为正三角形ABC内一点,∠APB=125°,∠BPC=100°,则以AP,BP,CP为边长的三角形各内角的度数分别为。12.[2024·广东拔尖创新人才学科知识竞赛]如图,在△ABC中,∠CAB=60°,D,E分别是边AB,AC上的点,且∠AED=60°。DE+BD=CE,∠CDB=2∠CDE,则∠DCB=°。三、解答题(共60分)13.(10分)[2024·宁波镇海区校级自主招生]如图,AB=AC,∠ABD=60°,∠BDC=30°。若AB=BD+CD,求∠ADB的度数。14.(12分)[重庆竞赛]如图,△ABC是边长为1的等边三角形，等腰三角形BDC的顶角∠BDC=120∘,以D为顶点作一个(15.(12分)[全国竞赛浙江赛区]如图,在四边形ABCD中,AB=CD=3,∠16.(12分)[青少年国际城市邀请赛]如图，P为△ABC内部一点，使得∠PBC=30∘,∠PBA17.(14分)[2024·宁波自主招生]如图,分别以锐角三角形ABC的边AB,BC,CA为斜边向外作等腰直角三角形DAB、等腰直角三角形EBC、等腰直角三角形FAC，∠ADB=∠BEC=∠AFC专题卷七等边三角形与直角三角形1.C【解析】如答图，作等边三角形ABO，连结EO,OC,∴AO=OB=AB=AE=BC。又∵∠∴△EAO和△CBO均为等边三角形,∴E,O,C三点共线,EC=2AB=ED=DC,∴△ECD是等边三角形,∴∠D=60°。2.C【解析】如答图,连结DC。∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC。∵AB=BF,∴BF=AB=BC。又∵∠1=∠2,BD=BD,∴△FBD≌△CBD(SAS),∴∠BFD=∠BCD。又∵BD=AD,CD=CD,∴△ACD≌△BCD(SSS),∴∠ACD=∠BCD。∵∠ACB=60°,∴∠ACD=∠BCD=∠BFD=30°。3.B【解析】如答图,取BC的中点G,连结MG。∵旋转角为60°,∴∠MBH+∠HBN=60°。又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°,∴∠HBN=∠GBM。∵CH是等边三角形ABC的对称轴，∴∴HB=BG。又∵MB旋转到BN,∴BM=BN。在△MBG和△NBH中,∵{∴△MBG≌△NBH(SAS),∴MG=NH。当MG⊥CH时,MG最短,即HN最短。∵∠BCH=∴∴4.C【解析】∵△ABC和△CDE为等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,故①正确;∴∠CBE=∠DAC,进而可求证△CQB≌△CPA(AAS),∴AP=BQ,故③正确;∴CQ=CP,由∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形,∴∠PQC=∠DCE=60°,∴PQ∥AE,故②正确;∵∠QCP=60°,∠DPC=∠BCA+∠PAC>60°,∴PD≠CD,∴DE≠DP,故④错误;∵BC∥DE,∴∠CBE=∠BED。∵∠CBE=∠DAE,∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°,故⑤正确。综上所述，正确的有①②③⑤。5.D【解析】如答图，当点P在三角形内部时，点P是边AB，BC，CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心。分别作以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆，与垂直平分线的交点就是满足要求的点。每条垂直平分线上的3个交点，再加三角形的垂心，一共10个点。6.D【解析】如答图1,连结OB,过点O作OD⊥BC于点D,OE⊥AB于点E。∵点O为△ABC的内心,即为△ABC内切圆圆心,④错误；∴OB是∠ABC的平分线,∴OD=OE。在Rt△ODN和Rt△OEM中,∵{∴Rt△ODN≌Rt△OEM(HL),∴∠DON=∠EOM,∴∠MON=∠DOE。∵∠ABC=60°,∴∠DOE=120°,∴∠MON=120°,∴作点N关于OD的对称点N′,连结ON′,此时OM=ON′,但是∠MON∵△DON≌△EOM,四边形OMBN的面积=2S△BOD,点D的位置固定,∴四边形OMBN的面积是定值。∵∠B=60°,BC≠AB,∴△ABC的形状不固定，面积也不固定，②错误；如答图2,过点O作OF⊥MN于点F。∵ON=OM,∠MON=120°,∴∠ONM=30°,∴MN=2NF=2ON·cos∠ONM=3ON,∴△MON的周长==MN+2∴当ON最小时,即当ON⊥BC时,△MON的周长取得最小值，此时,Rt△OBN≌Rt△OBM(HL),∴BN=BM。∵∠B=60°,∴△BMN是等边三角形,∴BN=MN,∴当MN=BN时,△MON的周长有最小值，③正确。综上所述，不一定正确的说法是①②④。7.5【解析】如答图,过点A作AE⊥BC于点E。∵AB=10,∠B=30°,∴AE当AC=5时，此时三角形有1个；当AC=7时，此时三角形有2个；当AC=10时，此时三角形有1个；当AC=11时，此时三角形有1个，即存在三角形1+2+1+1=5(个)。8.3【解析】如答图,过点P作PC⊥MN于点C。∵PM=PN,∴C为MN的中点,即MC在Rt△OPC中,∠AOB=60°,∴∴OM=OC-MC=4-1=3。9.4【解析】如答图,延长AD交BC于点N,延长ED交BC于点M。∵∠EBC=∠BED=60°,∴EM=BM,∴△BEM是等边三角形,∴BE=EM=BM,∠EMB=60°。∵BE=3,∴EM=BM=BE=3。∵DE=1,∴DM=3-1=2。∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∴∠DNM=90°,∴∠∴∵BM=3,∴BN=BM-MN=3-1=2,∴BC=2BN=4。10.10【解析】如答图,作等边三角形BCE,连结AE,则BC=BE。∵AD=BC,∴AD=BE。∵AB=AC,EB=EC,∴直线AE垂直平分BC,∴∠∵∠=8∴∠ABE=∠BAD。在△ABD和△BAE中,∵{∴△ABD≌△BAE(SAS),∴∠DBA=∠BAE=10°。11.75°,65°,40°【解析】如答图,将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB,则△AQB≌△APC,∴BQ=CP,AQ=AP。∵∠1+∠3=∠2+∠3=60°,∴△APQ是等边三角形,∴QP=AP,∴△QBP就是以AP,BP,CP为边长的三角形。∵∠APC=360°-∠APB-∠BPC=135°,∠6=∠APB−∠5=65°,∠AQB=∠APC=135°,∴∠7=∠AQB-∠4=75°,∴∠QBP=180°-∠6-∠7=40°,∴以AP，BP，CP为边的三角形的三个内角的度数分别为75°,65°和40°。12.20【解析】如答图,延长AB到点F,使BF=AD,连结CF。∵∠CAD=60°,∠AED=60°,∴△ADE为等边三角形,∴AD=DE=AE,∠ADE=60°,∴∠∵∠CDB=2∠CDE,∴3∠CDE=120°,解得∠CDE=40°,∴∠CDB=2∠CDE=80°。∵BF=AD,∴BF=DE。∵DE+BD=CE,∴BF+BD=CE,即DF=CE。∵AF=AD+DF,AC=AE+CE,∴AF=AC。又∵∠BAC=60°,∴△AFC为等边三角形,∴CF=AC,∠F=∠A=60°。在△ACD和△FCB中,∵{∴△ACD≌△FCB(SAS),∴CB=CD,∴∠CBD=∠CDB=80°,∴∠13.解:如答图,延长BD到点T,使DT=DC,连结AT,CT。∵AB=BD+CD=BD+DT=BT,∠ABD=60°,∴△ABT是等边三角形,∴AT=AB,∠ATD=60°。∵AC=AT,AD=AD,CD=DT,∴△ADC≌△ADT(SSS),∴∠ACD=∠ATD=60°,∠DAC=∠DAT。∵DC=DT,∴∠DCT=∠DTC。∵∠BDC=∠DCT+∠DTC=30°,∴∠DTC=∠DCT=15°,∴∠ACT=∠ATC=75°,∴∠DAC=∠DAT=15°,∴∠ADB=∠DAT+∠ATD=75°。14.解:如答图,延长NC到点E,使CE=BM,连结DE。∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°,∴∠MBD=∠又∵BM=CE,BD=CD,∴△CDE≌△BDM(SAS),∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°。在△DMN和△DEN中,∵{∴△DMN≌△DEN(SAS),∴MN=NE=CE+CN=BM+CN,∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2,故△AMN的周长为2。15.解:如答图,平移CD至BE,连结EA,ED,BD,∴BE=CD=AB。又∵∠ABE=240°-(∠EBC+∠DCB)=240°-18∴△ABE是正三角形。设∠ABC=2α,则∠ADC=α,∠BCD=240°-2α,易证得△BED≌△DCB,∴∠∴∠AED=360°-∠BED-∠BEA=60°+2α。又∵⋅∠∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=60°-α,∴在△AED中,∠ADE∴∠EAD=180°-∠AED-∠ADE=60°-α,∴ED=EA,∴BC=ED=EA=AB=3。16.解：如答图，在AC的延长线上截取AF=AB，连结BF,PF,延长AP交BC于点D,交BF于点E。在△APB和△APF中,∵{∴△APB≌△APF(SAS),∴PB=PF,∠APB=∠APF,∠FPE=∠BPE=∠PAB+∠ABP=30°,∴∠BPF=60°,∴△BPF为等边三角形。又∵∠PBC=30°,∴BC垂直平分PF,∴∠CPF=∠CFP=∠ABP=8°,∴∠EPC=∠EPF+∠CPF=38°,∴∠APC=142°。17.证明:如答图,取AB