2025-2026学年八年级数学上册竞赛专题培优：四 三角形的初步知识的综合【附答案】

/专题卷四三角形的初步知识的综合(满分:120分考试时间:120分钟)一、选择题(每题5分,共30分)1.[北京竞赛]如图，将△ABC纸片沿着DE折叠压平，则∠A可表示为 ()A.∠1+∠2 BC.132.[第五届“江西省初中名校联盟杯”综合素养大赛]如图，△ABC的面积为8cm²，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P,则△PBC的面积为 ()A.3cm² B.4cm23.[2024·杭州外国语学校]如图,将△ABC的BA边延长1倍到点D,CB边延长2倍到点E,AC边延长3倍到点F。若△ABC的面积等于1，则△DEF的面积是 ()A.9 B.12 C.15 D.184.[武汉竞赛]已知三角形的三边a，b，c的长都是整数，且a≤b<c。如果b=7，那么这样的三角形共有 ()A.21个 B.28个 C.49个 D.54个5.[全国竞赛]已知正整数a₁,a₂,…,a₁₀满足a1≤a2≤⋯≤aA.34 B.55 C.89 D.1446.[第三十届世界奥林匹克数学竞赛]如图，过点A作△ABC的一条内角平分线，交BD于点D,且∠ADB=90°,BE交AC于点E,且AE:AC=1:2。若AC=DC=a，则图中两个阴影三角形的面积最大相差 ()A.12C.1二、填空题(每题5分,共30分)7.[慈溪一中自主招生]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°。在△ABC所在平面内，除了△ABC外，还有个以△ABC的某条边为边且与△ABC全等的三角形。8.[“希望杯”竞赛]一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5,3x-2,2y+1。若这两个三角形全等,则x+y=。9.[2024·金华外国语学校“金外杯”学科素养大赛]如图,在△ABC中,∠ABC=100°,∠C的平分线交AB边于点E,在AC边上取点D,使得∠CBD=20°,连结DE,则∠CED的度数为°。10.[长沙雨花区自主招生]现有长144cm的铁丝，要截成n小段(n>2)，每段的长度为不小于1cm的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为。11.[2024·第十三届海峡两岸青少年文化交流]如图,BD为△ABC的中线,过点A作AE⊥BD,分别交BD,BC于点F,E,连结CF。若DF=2,AF=6,BE:EC=3:1,则S12.如图,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1,G2,⋯,G三、解答题(共60分)13.(10分)如图,已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,交CD于点E。求证:AB=AC+BD(要求用两种方法证明：(1)用割的方法；(2)用补的方法)。14.(12分)如图,在△ABC中,D是BC上的一点,且CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线。求证:AC=2AE。15.(12分)[南通启东校级月考]如图，在△ABC中，∠(1)求∠AOC的度数。(2)求证:AC=AE+CD。16.(12分)[2024·江阴“优利信杯”竞赛]如图,P为△ABC中任意一点,AP交BC于点D,BP交AC于点E,CP交AB于点F。求证:AP17.(14分)[2024·江阴“优利信杯”竞赛]如图，将一副三角尺按如图1所示放置在直线MN上，∠ABC=∠ECD=9(1)当△ACE(2)如图2,AF是△ABC的角平分线，当t=_时，(3)若在三角尺DCE旋转的同时，三角尺ABC也绕点C以每秒1∘的速度顺时针旋转0≤t≤60,CP平分∠BCD,CQ平分专题卷四三角形的初步知识的综合1.B【解析】∠1=180°-2∠ADE,∠2=180°-2∠AED,∴∠1+∠2=36∴∠=18∴在△ADE中,∠A=180°-(∠ADE+∠AED)=182.B【解析】如答图,延长AP交BC于点E。∵AP垂直∠B的平分线BP于点P,∴∠ABP=∠EBP。又∵BP=BP,∠APB=∠BPE=90°,∴△ABP≌△EBP(ASA),∴S△ABP=S△BEP,AP=PE,∴△APC和△CPE等底同高,∴S△APC=S△PCE,∴3.D【解析】如答图,连结AE,DC,BF。在△AEC中,∵BE=2BC,∴S△ABE=2S△ABC。∵AB=AD,∴S△ABE=S△ADE,∴S△BDE=S△ABE+S△ADE=4S△ABC。同理可得S△ADF=4S△ABC,S△CEF=9S△ABC,、.S△DEF=S△BDE+S∵S△ABC=1,∴S△DEF=18。4.A【解析】根据已知,得a可能的值有1,2,3,4,5,6,7。根据三角形的三边关系，得当a=1时，c不存在；当a=2时,则c=8;当a=3时,则c=8,9;当a=4时,则c=8,9,10;当a=5时,则c=8,9,10,11;当a=6时,则c=8,9,10,11,12;当a=7时,则c=8,9,10,11,12,13。则这样的三角形有21个。5.B【解析】a10≥a9当a16.A【解析】如答图,延长BD交AC的延长线于点H,设AD交BE于点O。∵AD⊥BH,∴∠ADB=∠ADH=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,∠H+∠HAD=90°。∵∠BAD=∠HAD,∴∠ABD=∠H,∴AB=AH。∵AD⊥BH,∴BD=DH。∵DC=CA,∴∠CDA=∠CAD。∵∠CAD+∠H=90°,∠CDA+∠CDH=90°,∴∠CDH=∠H,∴CD=CH=AC。∵AE=EC,∴∴∵S△OBD由题意得,AC=CD=a,∴当DC⊥AC时,△ACD的面积最大,最大面积为17.7【解析】以AB为公共边的有3个,以AC为公共边有3个，以BC为公共边有1个，∴一共能作出7个。8.7或152①{3x∴②{3x∴x+y=4+3=7。综上所述，x+y的值是7或159.10【解析】如答图,分别作EF⊥CB的延长线于点F,EH⊥AC于点H,EG⊥BD于点G。∵CE是角平分线，∴EF=EH。∵∠ABC=100°,∠DBC=20°,∴∠ABD=80°。又∵∠EBF=80°,∴∠ABD=∠EBF,∴△EFB≌△EGB(AAS),∴EF=EG,∴EH=EG。在Rt△EDH与Rt△EDG中,∵EH=EG,∴Rt△EDH≌Rt△EDG(HL),∴∠EDH=∠EDG,∴∠CED=∠EDH-∠ECD===110.10【解析】∵每段的长为不小于1cm的整数,∴最短的一段长度为1。∵三条线段不能构成三角形，则第二段是1，第三段是2，第四段与第二、第三段不能构成三角形，则第四段最小是3，第五段是5，依次是8，13，21，34,55,再大时,各个小段的和大于144cm,不满足条件。上述这些数之和为143，与144相差1，故可取1，1，2,3,5,8,13,21,34,56(取法不唯一),这时n的值最大,n=10。11.84【解析】∵AE⊥BD,DF=2,AF=6,∴∵BD为△ABC的中线,∴S△CDF=S△ADF=6,S△ABD=S△BCD,∴S△ABF=S△BCF。∵BE:EC=3:1,∴3∴S△ABF=S△BCF=4S△CEF。∵∴4即4(12+S△CEF)=4S△CEF+4S△CEF+12,∴S△CEF=9,∴S△ACE=9+12=21,∴S△ABC=4×21=84。12.70【解析】∵∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,∠BG₁C=∠A+∠ABG₁+∠ACG₁,而∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G₁,G₂,…,G₉,∴∠∴10∠∴10∠∴∠13.证明:解法一:如答图1,在AB上截取AF=AC,连结EF。在△ACE和△AFE中,∵{∴△ACE≌△AFE(SAS),∴∠5=∠C。∵AC∥BD,∴∠C+∠D=180°。∵∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D。在△EFB和△EDB中,∵{∴△EFB≌△EDB(AAS),∴FB=DB,∴AB=AF+FB=AC+BD。解法二：如答图2，延长BE，与AC的延长线相交于点F。∵AC∥BD,∴∠F=∠4。∵∠3=∠4,∴∠F=∠3,∴AB=AF。又∵AE是∠FAB的平分线,∴BE=FE。在△BED和△FEC中,∵{∴△BED≌△FEC(ASA),∴BD=FC,∴AB=AF=AC+CF=AC+BD。14.证明:如答图,延长AE到F,使EF=AE,连结DF。∵AE是△ABD的中线,∴BE=DE。在△ABE与△FDE中,∵{∴△ABE≌△FDE(SAS),∴AB=DF=CD,∠BAE=∠F。∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠ADB=∠DAC+∠C。∵∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAD=∠BDA,∴∠F+∠EAD=∠DAC+∠C,∴∠ADF=∠ADC。在△ADF与△ADC中,∵{∴△ADF≌△ADC(SAS),∴AF=AC,∵AF=AE+EF,AE=EF,∴AC=2AE。15.解:(1)在△ABC中,∠B=60°,∴∠BAC∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,∴∠OAC=∠在△OAC中,∠=180(2)∵∠AOC=120°,∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°。如答图,在AC上截取AF=AE,连结OF。在△AOE和△AOF中,∵{∴△AOE≌△AOF(SAS),∴∠AOE=∠AOF=60°,∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°。又∵∠COD=60°,∴∠COD=∠COF。在△COD和△COF中,∵{∠COD=∠COF,OC又∵AF=AE,∴AC=AF+CF=AE+CD。16.证明:∵P为△ABC中任意一点,∴∴S∵∴根据比例的性质，得S即S同理：SS△将②③④代入①,得PD∴PDAD必有一个的值大于或等于1不妨假设PD由PDAD∵AD=AP+PD,∴3PD≤AP+PD,∴2PD≤AP,∴由PEBE∵BE=BP+PE,∴3PE≥BP+PE,∴2综上所述，APPD17.(2)35或95解:(1)如答图1,当△DCE绕点C顺时针旋转30°时,CE⊥AC,此时△ACE的边AC上的高为最大值CE,∴此时△ACE面积最大。∵30÷3=10(秒),∴当△ACE面积最大时,t=10。(2)分2种情况讨论：①当DE∥AF时,设DE交直线MN于点G,如答图2,在Rt△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,AF平分∠BAC,∴∠BAF=30°,∴∠DGC=∠AFB=60°。又∵∠D=45°,∴∠∴∠DCM=105°,∴3t=105,解得t=35;②当DE∥AF时,设DE交直线MN于点G,如答图3,∴∠AFB=∠FGE=∠E+∠ECG=60°