2025-2026学年八年级数学上册竞赛专题培优：一 三角形的边角关系【附答案】

/专题卷一三角形的边角关系(满分:120分考试时间:120分钟)一、选择题(每题5分，共30分)1.[2024·温州瑞安新纪元学校竞赛]某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗(如图)。已知三边上的树苗数分别为50，14，48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为 ()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.不能确定2.[2022·台州温岭中学选拔考试]已知a，b，c为三角形的三边边长，且每边长均大于1，则下列各组线段作为三边一定能组成三角形的是 ()A.a-1,b-1,c-1 B.a+1,b+1,c+1C.a²,b²,c² D3.[“希望杯”竞赛]在三边互不相等的三角形中，最长的边的长为a，最长中线的长为m，最长高线的长为h，则 ()A.a>m>h B.a>h>m C.m>a>h D.h>m>a4.[怀化中学自主招生]如图,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E,如果△CDE,△BCE,△AED的面积分别为3,4,6,那么△ABE的面积为 ()A.7 B.8 C.9 D.105.[江苏竞赛]如图,在五边形ABCDE中,BC∥AD,BD∥AE,AB∥EC,图中与△ABC面积相等的三角形有 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.[第27届“希望杯”邀请赛]三个内角的度数都是质数的三角形有(三个内角的度数对应相等的两个三角形视为一种) ()A.7种 B.8种 C.9种 D.10种二、填空题(每题5分，共30分)7.[第三十届世界奥林匹克数学竞赛]长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连结，但不允许折断)，得到的三角形的最长边的长度为。8.[2024·浙江自主招生]若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为。9.[浙江自主招生]如图，我们把有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中的“共边三角形”有对。10.[江苏竞赛]如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，设∠CAD,∠CBD,∠C和11.[2024·广东拔尖创新人才学科知识竞赛]五条长度均为整数的线段(a1,a2,a3,a4,a512.[第27届“希望杯”邀请赛]如图，在△ABC中,点D在边BC上,D是边BC的中点,E,F是边AC的三等分点。AD与BE,BF分别相交于点G,H,则.三、解答题(共60分)13.(10分)[2024·北京西城区招生]平面上有n个点(n≥3，n为自然数)，其中任何三点不在同一直线上。求证：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于18(12分)[第27届“希望杯”邀请赛]在△ABC中,点D在边BC上,若∠B≠∠C15.(12分)[安庆一中自主招生]如图，△ABC内3个小三角形.△FDC,△EBF(12分)[芜湖一中自主招生]现有长为150cm的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于1cm的整数。如果其中任意3小段不能拼成三角形，试求n的最大值，以及此时有几种方法能将该铁丝截成满足条件的n段。17.(14分)问题再现:如图1，在△ABC中，AF为BC边上的中线，则如图2，在△ABC分析：如图2，在△ABC中，CD为AB边上的中线，则S△BCD又∵S△BOC=S△BCD—S△BOD,S四边形ADOE=S△ABE—S△BOD,即S△BOC=S四边形ADOE。解答下列问题：(1)如图2,在△ABC①判断S△②(2)如图3,E,F分别为四边形ABCD的边AD,BC的中点,则S(3)如图4,E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AD,BC,AB,CD的中点,则S阴影：S四边形ABCD=。(4)如图5,E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AD,BC,AB,CD的中点。若S△AME=1,专题卷一三角形的边角关系1.B【解析】∵三边上的树苗数分别为50,14,48,空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，∴三边的长分别为13米、47米、49米。假设该空地为直角三角形且直角三角形的最长边为x,则x又‘∵4∴该三角形为钝角三角形。2.B【解析】设a<b<c。∵a，b，c是三角形的三边边长，每条边长都大于1，∴a+b>c,∴a+1+b+1>c+1,∴一定能组成三角形的是B。3.A【解析】如答图1,在△ABC中,不妨设AC边上的中线BD是最长的中线，延长BD到点B'，使DB'=BD,,连结B'C,则△ABD≌△CB'D,AB=B'C。在△CBB'中,BB'<BC+B'C,,则2m<BC+AB,故m小于BC与AB中较大的边长，而a是最长边的长,∴m<a;如答图2,在△ABC中,不妨设AC边上的高BH是最长的高线，作出同一条边上的中线BD。∵△BDH是直角三角形,∴BH<BD,而BD≤m。综上所述,a>m>h。4.B【解析】∵S△CDE=3,S△AED=6,∴CE:AE=3:6=∴∵S△BCE=4,∴S△ABE=8。5.C【解析】与△ABC面积相等的三角形有△BCD,△ABE,△AED。6.A【解析】设此三角形的三个内角的度数分别为x,y,z,且x≤y≤z,则x+y+z=180。∵x,y,z都为质数,若x,y,z都为奇数,则x+y+x的值为奇数,与x+y+z=180矛盾,∴x，y，z至少有一个为偶数。∵2是最小的质数，且为唯一的偶质数，故x=2。∴∵y,z均为质数,y与z的个位数只能是(1,7)组合,(3,5)组合,或(9,9)组合。①在(1,7)组合中,(11,167),(41,137),(47,131),(71,107),有4组符合条件;②在(3,5)组合中,(5,173),有1组符合条件;③在(9,9)组合中,(89,89),(29,149),有2组符合条件。综上所述，共有7组符合条件，故选A。7.16或17【解析】∵5,6,11+16,5+6<11+16,不能组成三角形；5+6,11,16,5+6+11>16,能组成三角形;5,6+11,16,5+16>6+11,能组成三角形;6,11,16+5,6+11<16+5,不能组成三角形,∴得到的三角形的最长边的长度为16或17。8.33【解析】根据题意得，三角形的三边都小于20。设最小的两边为x≤y≤19,x+y>20,2y+x≤40。当x=2时,y=19;当x=3时,y=18;当x=4时,y=17,18;当x=5时,y=16,17;当x=6时,y=15,16,17;当x=7时,y=14,15,16;当x=8时,y=13,14,15,16;当x=9时,y=12,13,14,15;当x=10时,y=11,12,13,14,15;当x=11时,y=11,12,13,14;当x=12时,y=12,13,14;当x=13时,y=13,∴符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1=33。9.32【解析】以AB为公共边的三角形:△ABD和△ABC;以AC为公共边的三角形:△ACE和△ACB;以AD为公共边的三角形:△ADE和△ABD;以AE为公共边的三角形:△AED和△AEC;以BC为公共边的三角形:△BCO,△BCA,△BCD，△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以BD为公共边的三角形:△BDC,△BDE,BDA,有3对共边三角形；以BE为公共边的三角形:△BEO,△BED,△BEC,有3对共边三角形；以OB为公共边的三角形:△OBE和△OBC;以CD为公共边的三角形:△CDO,△CDB,△CDE,有3对共边三角形；以CE为公共边的三角形:△CED,△CEA,△CEB,有3对共边三角形；以CO为公共边的三角形:△COD和△COB;以DE为公共边的三角形:△AED,△OED,△BED，△CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对；以OD为公共边的三角形:△ODC和△ODE;以OE为公共边的三角形:△OBE和△ODE。共32对。10.c+d2 【解析】∵∠BFA=∠PAC+=∠PBC+∠C,∴∠PAC+∠P=∠PBC+∠C。∵∠CAD,∠CBD,∠C,∠D的度数依次为a,b,c,d,∴同理可得：12①+②,得2∠11.3【解析】解法一:∵a1∵a₁,a₂,a₃构不成三角形，∴a∵a₃,a₄,a₅构不成三角形，∴9−a4≥a∵a2,a此时a₃=3或4,但当a3∴解法二：由题意，得a1三个不等式相加，得a1∴2a2∵a当a3=4∴a4=5,此时a当a3∴12.5:3:2【解析】如答图,设△ABC的面积为1,连结DE,DF,则S∴即AG=GD。又∵SS∴即AH=4HD,∴AD=5HD,AG=GD=2.5HD,GH=GD-HD=2.5HD-HD=1.5HD,∴AG:GH:HD=2.5HD:1.5HD:HD=5:3:2。13.证明：如答图，在这n个点中，必存在这样的两点，使其他各点均在这两点所在直线的同侧。设这两个点为A₁，A₂，其他各点按逆时针方向设为A₃,A₄,…,An。·An-l·①当∠A2A1An≥180∘−②当∠A2A1An<180∘则在这n—2个角中，必有一个角不大于1814.证明：由△ABD与△ACD的三个内角分别对应相等和三角形外角定理，得∠ADC>∠ABC,∠ADC>∠BAD,∴只能∠ADC=∠ADB。∵∠ADC+∠ADB=180°,∴∠ADC=∠ADB=90°,∴AD⊥BC。∵∠B≠∠C,∴∠B=∠CAD,∠C=∠BAD,相加得∠B+∠C=∠CAD+∠BAD=∠BAC。∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠BAC=90°,∴∴AD·BC=AB·AC。15.解:如答图,连结AF,设S△AEF=a,S△ADF=b,∴解得a=12,b=10,∴S四边形AEFD=a+b=22,∴S△ABC=5+8+10+22=45。16.解:∵n段之和为定值150cm,故要使n尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小。又由于每段的长度不小于1cm，且任意3段都不能拼成三角形，因此这些小段的长度最小是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,但1+1+2+…+34+55=143<150,1+1+2+…+34+55+89=232>150,故n的最大值为10。将长为150cm的铁丝分为满足条件的10段共有以下7种方式：1,1,2,3,5,8,13,21,34,62;1,1,2,3,5,8,13,21,35,61;1,1,2,3,5,8,13,21,36,60;1,1,2,3,5,8,13,21,37,59;1,1,2,3,5,8,13,22,35,60;1,1,2,3,5,8,13,22,36,59;1,1,2,3,5,8,14,22,36,58。17.(1)②1:6(2)1:2(3)1:3解:(1)①S△BOD=S△COE成立。理由如下：∵在△ABC中,CD为AB边上的中线,∴∵BE为AC边上的中线,∴∴S△BCD=S△CBE。∵∴S△BOD=S△COE。②由①,得S△BOD=S△COE,S△BOD=S△AOD,S△COE=S△AOE,S△BOF=S△COF,∴∵O是△ABC三条中线的交点，∴OA=2OF,∴∴S△COF=S△COE,∴=S△COF,∴∴S△BOD