2025-2026学年第1章三角形的初步知识秘题加练浙教版数学八年级上学期 含答案

/1.1认识三角形秘题加练1三角形的三边关系的应用 打卡日期：实际用时：分钟例1如图，在△ABC(1)如果.AB=7cm,AC=5cm,，BC是能被3整除的偶数，求△ABC(2)如果BP,CP分别是∠ABC和.∠ACB①当∠A②当∠A[解题秘籍](1)根据三角形三边关系求解。(2)利用三角形内角和定理、角平分线的定义和整体思想进行解答。强化训练1如图，已知△(1)若BC=3,BD=5,CD的长是偶数，请求出CD的长。(2)作AE‖BD,，分别交CB，CD的延长线于点A，E，若∠A秘题加练2三角形的面积与面积法 打卡日期：实际用时：分钟例2已知△ABC的面积是60，请解答下列问题：(1)如图1,在△ABC中,若AD是边BC上的中线,则△ABD的面积△ACD的面积(填“>”“<”或“=”)。(2)如图2,若CD,BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线,求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连结AO,由AD=DB,得S同理可得S设S△ADO=x,S△AEO=y,则.S△BDO=x,S△CEO=y。由题意，得S∴{…通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为。(3)如图3,AD:DB=1:3,CE:AE=2:3,求四边形ADOE的面积。[解题秘籍](1)由等底等高的两个三角形面积相等，可得三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分。(2)根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比。(3)连结AO.由边之比可以推得面积之比，进而列方程组计算面积。强化训练2等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法。(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB,则CD的长为。(2)如图2,在△ABC中,AB=4,BC=2,则△ABC的高线CD与AE的比是。(3)如图3,在△ABC中,∠C=90°(∠A<∠ABC),点P在边AC上,BP=AP,点D在边AB上,过点D作DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为E,F。若BC=5,求DE+DF的值。1.2定义与命题秘题加练3定义与命题 打卡日期：实际用时：分钟例3探究问题:已知∠ABC,画一个角∠DEF,使.DE‖(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系，如图1与图2所示。①在图1中,∠ABC与∠DEF的数量关系为;在图2中,∠ABC与.∠DEF的数量关系为②请用文字叙述由①得出的一个真命题。(2)运用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数。[解题秘籍](1)根据平行线的性质得角的数量关系。(2)可设未知数，由(1)中的结论列出方程。强化训练3真假命题的思考：一天，老师在黑板上写下了下列三个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行。②若a2③若∠α和∠β的两边所在的直线分别平行，则∠α=∠β。小明和小丽对话如下：小明：“命题①是真命题，好像可以证明。”小丽：“命题①不是真命题，好像少了一些条件。”(1)结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点：如果你认为是真命题，请证明；如果你认为它是假命题，请增加一个适当的条件，使之成为真命题。(2)请在命题②，③中选一个，如果你认为它是真命题，请说明理由；如果你认为它是假命题，请举出反例。1.3证明秘题加练4规范答题——证明 打卡日期：实际用时：分钟例4【基础回顾】(1)如图,GF⊥AB于点F,CD⊥AB于点D,∠1=∠2,求证:DE∥BC。请补全证明过程。证明:∵GF⊥AB,CD⊥AB(已知),∴∠BFG=∠BDC=90°(垂直的定义),∴FG∥CD(),∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)。又∵∠1=∠2(已知),∴∠1=(等量代换),∴DE∥BC()。【拓展提升】(2)若把(1)中的“∠1=∠2”与结论“DE∥BC”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题?如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例。【迁移发现】(3)如图,请你从①GF⊥AB,②CD⊥AB,③∠1=∠2,④DE∥BC四个选项中,选出三个作为条件，另一个作为结论，可以组成个真命题。[解题秘籍](1)根据平行线的判定与性质得出依据。(2)根据平行线的判定与性质可证明。(3)选三个作为条件，另一个作为结论，可以组成4个命题，利用垂直的定义，平行线的判定与性质即可证明其中的真命题。强化训练4补全下面的证明过程：已知：如图，AD求证：∠1=∠2。证明：∵AD∴∠ADC∴∴∠1=∠3∵∠4=∠B(已知),∴∴∠2=∠3∴∠1=∠2(等量代换)。秘题加练5数学文化————“Husun型六分仪”中的数学问题 打卡日期：实际用时：分钟例5阅读下面材料：如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，按照一定的观测步骤读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算，可得出观测点的地理坐标。已知：在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行(即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA相交于点C，SA所在直线与水平线MB相交于点D，六分仪上刻度线AC与(0∘小贴士：如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中.∠BAC=猜想∠SDM与ω的数量关系，并给出证明。[解题秘籍]根据平行线的性质和各角之间的关系及等量代换即可得到数量关系。强化训练5根据以下素材，探索完成任务。探究平行线在一副三角尺中的运用背景亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”。一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的窗口，利用平行线的性质，可探究三角尺不同摆放位置中涉及的数学问题。素材如图1所示为一副三角尺,∠C=∠F=90°,∠A=∠B=45°,∠D=30°,∠E=60°。问题解决任务1(1)将两把三角尺按图2所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，则∠BGD=°。任务2(2)如图3，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，并使AB‖任务3(3)将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两把三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线EC的下方时，探究这两把三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出∠ACE所有可能的∠ACE1.4全等三角形秘题加练6全等三角形动态问题 打卡日期：实际用时：分钟例6如图1,在△ABC中,∠C=90°,BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm。现有一动点P,从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t(s)。(1)如图1,当t=时,△APC的面积等于△ABC面积的一半。(2)如图2,在△DEF中,∠E=90°,DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A。在△ABC的边上,若另外有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止。在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度。[解题秘籍](1)若△APC的面积是△ABC的一半,则点P在△ABC某条边的中点处。(2)当△APQ≌△DEF时，AP和AQ的长度就已经确定，此时容易得到点P和点Q的运动距离，再由点P的速度作为桥梁，即可求出点Q的速度。强化训练6如图,在四边形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,CD=12cm,∠B=∠C,E为AB的中点。如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动。(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当△BPE≌△CQP时，点P运动了多少秒?(2)当△BEP≌△CQP时,点Q的运动速度为多少?1.5三角形全等的判定秘题加练7“边边边” 打卡日期：实际用时：分钟例7如图,点B,E,C,F在同一条直线上,且AB=DE,AC=DF,BE=CF。求证:(1)BC=EF。(2)△ABC≌△DEF。(3)AB∥DE。[解题秘籍]由SSS可证△ABC≌△DEF。强化训练71.如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC。求证:∠B=∠D。2.如图,已知AB=AD,BC=DE,AC=AE。求证:∠1=∠2=∠3。秘题加练8“边角边” 打卡日期：实际用时：分钟例8如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一条直线上，连结BD。(1)求证:△BAD≌△CAE。(2)请判断BD，CE有何数量、位置关系，并给出证明。[解题秘籍](1)由SAS可证△BAD≌△CAE。(2)BD,CE的位置关系,从图形上看可能是垂直关系。要证BD⊥CE,即证∠BDE=90°,需证∠ADB+∠ADE=90°，通过全等三角形的对应角相等即可证得。强化训练81.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,AD=BC。(1)求证:△ACE≌△BDF。(2)若AB=8,AC=2,求AD的长。2.如图,在△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=35°,连结BE,CD,两者相交于点F,连结AF,设BE与AD相交于点G。(1)求证:△ABE≌△ACD。(2)求∠EFD的度数。秘题加练9“角边角” 打卡日期：实际用时：分钟例9如图,点A、C,B,D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD。(1)求证:AE=FC。(2)若∠FCD=25°,∠A=110°,求∠EBD的度数。[解题秘籍](1)由平行关系，可得一组等角，从而证明△ABE≌△FDC。(2)利用全等三角形的对应角相等和三角形的外角性质求解。强化训练91.如图,点E,F在BC边上,BE=CF,∠AFE=∠DEC,∠B=∠C,AF与DE相交于点O。求证:AB=DC。2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AC,E是BD上一点,且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC。(1)求证:AE=AD。(2)若BD=8,DC=5,求ED的长。秘题加练10“角角边” 打卡日期：实际用时：分钟例10求证：全等三角形对应边上的高线相等。请补全证明过程及依据(填空)。已知:如图,△ABC≌△A'B'C',AD⊥BC于点D,A'D'⊥B'C'于点D',求证AD=A'D'。证明:∵△ABC≌△A'B'C',∴AB=A'B'(),∠B=∠B'()。∵AD⊥BC,A'D'⊥B'C',∴∠在△ABD和△A'B'D'中,∴AD=A'D'()。[解题秘籍]由全等三角形得到对应边和对应角相等，再根据所得等量关系证出一组三角形全等。强化训练101.如图,点E在△ABC的边AC上,.AE=BC,BC2.如图,在四边形ABCD中,AD‖(1)求证:△(2)连结AE,当.AE⊥秘题加练11几何模型————“K字”全等 打卡日期：实际用时：分钟例11三个等角的顶点在同一条直线上，称为一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型)。在证明这种图形的一些性质时，一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需的等角条件，利用全等三角形求解。(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,点B,C在直线m同侧,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E。求证:DE=BD+CE。(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,点B,C在直线m同侧,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,那么结论DE=BD+CE是否仍成立?若成立，请你给出证明；若不成立，请写出DE，BD，CE的等量关系。(3)如图3,将(1)中的条件改为:AB=AC,A,E,D三点都在直线m上,点B,C在直线m异侧,且有∠BDF=∠DEC=∠BAC=β,其中β为任意锐角。那么结论DE=BD+CE是否仍成立?若成立，请你给出证明；若不成立，请写出DE，BD，CE之间的数量关系。[解题秘籍]证明△ADB强化训练11如图，在△ABC中，∠ACB=90∘,AC秘题加练12 巧用“截长补短法”作辅助线 打卡日期：实际用时：分钟例12“截长补短”是证明三角形全等时常用的作辅助线的方法。截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等。请分别用这两种方法解决如下问题：如图,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,D为BC上一点,连结AD,P为AD上任意一点,连结BP,CP。求证:AB-AC>PB-PC。[解题秘籍]截长法：在AB上截取AE，使AE=AC,连结PE，证明△补短法：延长AC至点E，使AE=AB.强化训练12如图，在△ABC中，∠A=951(2)猜想线段BC与.AB+CE的数量关系为，并给出证明。秘题加练13数学思想——用类比思想证明三角形全等 打卡日期：实际用时：分钟例13在四边形ABCD中,AB(1)如图1,∠ABC=∠ADC=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,线段EF,BE,FD之间的关系是。(2)如图2,∠ABC+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。(3)如图3,∠ABC+∠ADC=180°,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。[解题秘籍]延长CD至点G,使DG=BE,连结AG,可证得△ABE≌△ADG,从而推出△EAF≌△GAF,进一步得出结论。强化训练13(1)如图1,∠MAN=90°,射线AE在∠MAN的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D。求证:△ABD≌△CAF。(2)如图2,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角。已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC。求证:△ABE≌△CAF。(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC。若△ABC的面积为15,直接写出△ACF与△BDE的面积之和。秘题加练14动态几何问题打卡日期：实际用时：分钟例14如图,△ABC的两条高线AD与BE相交于点O,AD=BD,AC=6。(1)求BO的长。(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ[解题秘籍](1)证明△BDO(2)分情况讨论点F分别在BC的延长线上或在线段BC上时△AOP强化训练14如图，AE与BD相交于点C，AC=EC,BC=DC,AB=8cm,,点P从点A出发,沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t(s)。(1)线段AB与DE有什么位置关系?请说明理由。(2)线段QE的长为cm,线段AP的长为cm。(用含t的代数式表示)(3)连结PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值。1.6线段垂直平分线的性质秘题加练15线段垂直平分线的性质 打卡日期：实际用时：分钟例15【教材呈现】如图1，连结△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线。学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=8,AC=6,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围。【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD,连结BE……(1)请完成证明“△ADC≌△EDB”的推理过程。(2)求AD的取值范围。【问题解决】(3)如图3,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,AD是△ABC的中线,(CE⟂[解题秘籍](1)由SAS可证△(2)利用(1)所证三角形全等，将AB，AC.2AD转化到同一个三角形中，根据三角形三边关系可得到答案。(3)根据中点和垂直得出垂直平分线，利用垂直平分线的性质，继而计算长度。强化训练15如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD。(1)求证:△(2)尺规作图：过点A作直线CD的垂线，垂足为E。1.7角平分线的性质秘题加练16 角平分线的性质 打卡日期：实际用时：分钟例16如图，已知∠MON，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OM，ON于点C，D，再以点O为圆心，另一长度为半径画弧，分别交边OM，ON于点A，B，连结AD，BC，两者相交于点P。根据以上尺规作图过程，解答以下问题：(1)由尺规作图可直接得到相等的线段有：OC=OD和。(2)由(1)中的条件,进而可证明△AOD≌△BOC,依据是 ()A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS(3)如果把(2)中已得的△AOD≌△BOC作为条件,请你证明PA=PB。(4)若∠MON=40°,则∠AOP=°。[解题秘籍]先证△AOD≅△BOC,再证△强化训练16如图，△ABC(1)若△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,则S△ABOA.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5(2)若△OAB,△OAC,△OBC的面积分别为A.S1C.S1例1.(1)18cm(2)①115°②【强化训练1】(1)4或6(2)70°例2.(1)=(2)20(3)2