上海市虹口区2025-2026学年高三上学期第一次调研测试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海市虹口区2025-2026学年高三上学期第一次调研测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合A=xx<2．函数y=lnx3．若tanα=5，则tan4．若x+x25=5．设n≥1，m≥1，m、n∈N，等差数列an的首项a1=6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，sinA+π37．已知关于正整数x的方程C12x−8．若9a=4b=m9．过双曲线x29−y216=1的左焦点F作圆x2+y2=910．如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的B层，已知AB=a.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为α，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为β，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离11．记fx=x2+a212．已知lgx1､lgx2､二、单选题13．已知α∈0, π，则“sinA．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要14．某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（

）A．这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123B．这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721C．这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6D．这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差15．如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD边长为1，E为AA．22 B．1 C．2 D．16．在四棱锥P−ABCDA．4 B．3 C．2 D．1三、解答题17．设fx(1)当函数y=fx的最小正周期为2π时，求(2)若ω=2，且在△ABC中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足f18．图1所示的平行四边形ABCD中，CA=CB=1，CD=2现将(1)求证：AM(2)记棱AB的中点为E，在直线CE上作出点N，使得PN//平面19．A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．(1)该校高一学生中男、女生各有多少名？(2)若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；(3)在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）20．已知椭圆Γ:x29+y23=1，直线l经过椭圆Γ的右顶点

(1)求椭圆Γ的焦距和离心率；(2)若kOM=(3)过点P再作一条直线与椭圆Γ交于点B，线段BP的中点为N.若OM⊥21．如果函数y=fx满足以下两个条件，我们就称函数y①对任意的x∈0,②对于任意的x,y∈0,求证：(1)y=3x(2)U型函数y=fx(3)对于U型函数y=fx，有f答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《上海市虹口区2025-2026学年高三上学期第一次调研测试数学试题》参考答案题号13141516答案CDAC1．1【分析】先求出集合A，再根据交集的定义求解即可.【详解】由A=则A∩故答案为：1.2．−【分析】由对数函数的定义可得xx【详解】函数y=lnx所以xx−1>0所以函数的定义域为：−∞故答案为：−∞3．−【分析】直接利用二倍角公式计算可得.【详解】因为tanα=所以tan2α=故答案为：−4．10【分析】化简结合二项式定理求x8【详解】因为x+所以x5所以x51+x5的展开式的第r所以a3故答案为：10.5．56【分析】由等差数列通项公式及求和公式列出等式即可求解.【详解】由am=i可得m−1d解得：m=故答案为：56.6．21【分析】由已知得A的大小，再根据△ABC的面积公式得c【详解】∵A∈0又sinA+π3=则△ABC的面积S由余弦定理得a2故a=故答案为：21.7．1或3【分析】利用组合数的性质得到方程，解方程，结合x的取值范围即可求解.【详解】根据组合数的性质，由C可知：x−1=即x=11≤x≤13所以该方程的解为：1或3.故答案为：1或38．6【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解.【详解】由9a=4故1a由于m>0，故故答案为：69．5【分析】根据双曲线的定义，中位线的性质，可转化为OT−|MT|=【详解】如图，取双曲线右焦点F′，连接PF′，由题知，a因为O为FF′，T为PF的中点，所以TO为可得OT=1所以OT又a=3,FM所以|OT|故答案为：510．a【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可.【详解】分别过点A,B作CD则根据正切函数的定义得CM=d则MN=A故答案为：atan11．2【分析】由偶函数的性质可得出a2+b2=1，令【详解】因为二次函数fx则该函数的对称轴为直线x=−a令a=cosθ则a2因此，该函数图象与y轴交点的纵坐标a2+2故答案为：2.12．100000【分析】令lgx3=【详解】设lgx3=k,由lgx42<lgx1则lgx1≥5，故答案为：10000013．C【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断.【详解】充分性：根据诱导公式sinπ−α=12⇒当α=π6时，cosα=所以由sinπ−α必要性：因为α∈0, π，cos所以由cosα=3综上，sinπ−α故选：C.14．D【分析】由图表提取数据并按照由小到大排列，根据中位数、极差与百分位数定义，结合方差的性质，可得答案.【详解】由图可得数据为：7.5,对于A，这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为125.6+对于B，这十年中国新能源汽车年销售量的极差为728−对于C，由70100×10对于D，由图表易知前五年的数据比后五年的数据稳定，则前五年的方差小于后五年的方差，故D正确.故选：D.15．A【分析】建立空间直角坐标系，设出点P、E、F的坐标，结合已知条件得到方程n2−n【详解】根据已知条件，以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、设正四棱柱的高为2h，令Em,0,所以PE=m因为PE⊥PF，所以整理得：n2−n+2h2所以关于n得的方程n2−n即Δ=−12−又因为h>0，所以0<h≤故选：A16．C【分析】求出平面AB【详解】设平面ABCD则n⋅AB=4x−所以该四棱锥的高h=故选：C.17．(1)2(2)2【分析】（1）根据函数的最小正周期求出ω，即可得到y=（2）依题意可得fx=sin2x，即可求出A【详解】（1）因为fx=sinωx所以T=2πω=则y=由x∈0,所以当x+π4=π2，即（2）当ω=2时，fx因为0<A<π2，所以π因为AB⋅A由余弦定理a2得a2=b2+故a的最小值为2218．(1)证明见解析(2)答案见解析，理由见解析，45°【分析】（1）通过条件证明PA⊥面ABC，进而证明（2）以CA,CB为临边，构造矩形ACBD,通过中位线可说明点D【详解】（1）因为CA=CCA所以∠ACB=90图2中，PA则PA2+AB又AB,A所以PA⊥面ABC，又所以PA⊥BPA,C所以BC⊥面PAC，又所以AM（2）以CA,CB为临边，构造矩形AC因为E,M分别为所以PF//ME，又ME在平面MAB内，即点F就是N点，由（1）知PA⊥面ACBN所以BN⊥PAN,P所以BN⊥面PAN，所以PN⊥B所以∠PNA因为PA所以∠P所以二面角P−NB19．(1)男、女生各有170,(2)17(3)23.33【分析】（1）根据抽样比即可计算出男女生人数；（2）利用古典概型计算公式可得结果；（3）根据方差定义，利用方差的计算公式进行整体代换即可计算出结果.【详解】（1）根据题意可知，抽样比为5:所以该校高一学生中男生有34×女生有32×（2）从这66名学生中随机抽取两名共有C66两名都是男生的抽法共有C34所以这两名都是男生的概率为P（3）根据题意可设正确的31个数据为x1易知i=131所以原始数据平均值为132由方差定义可得132因此i=131原始数据的方差为1=≈即原始数据的方差为23.33.20．(1)2(2)x(3)直线AB经过定点−【分析】（1）根据椭圆方程确定a、b，利用c=a2（2）设直线AP的方程x=ty+3，直曲联立根据韦达定理得：yA+yP=(3)分直线AB斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出AB方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出A、B两点坐标，根据中点坐标公式，求出M、【详解】（1）由a=3,b=3得（2）

P3,0，设直线AP与椭圆Γ:x29+y2整理得：t2+3y因为点M与点P不重合，M为AP中点，所以y代入方程x=ty+3于是由kOM=−3t9（3）

①当直线AB斜率存在时，设方程为：y=kx+联立y=kx整理得：3k设Ax1,且Δ=36k又P3,0，从而M由OM⊥ON可得又因为y1=k所以上式化为：x整理得：k2韦达定理代入：k2化简得：9k3k−2m当m=3k时，直线A直线AB经过点−当m=32k时，直线此时94k2−②当直线AB斜率不存在时，设Am,则Mm+32,n代入OM⋅与m29+n此时直线AB也经过点−综上，直线AB经过定点−【点睛】关键点点睛：本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情