广东省2026届高三上学期12月第二次调研考试 数学

广东省2026届普通高中毕业班第二次调研考试数学试卷本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前，考生务必在答题卡写上考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息。

2.选择题每小题选出答案后，用

2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，复平面内表示复数的点在直线上，则()A. B. C. D.2．已知集合，，则()A. B. C. D.3．“”是“”成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度比自行车快，但乘公共汽车有一个等候时间（候车时间假设是固定不变的）.在任何情况下，他总是花时间最少的最佳方案.下表列出他到达甲，乙，丙三地采用最佳方案所需的时间.则他离住地8千米的地方，需要的时间为()目的地目的地离住地的距离最佳方案所需时间甲地2千米12分钟乙地4千米18分钟丙地6千米22分钟A.24分钟 B.26分钟 C.28分钟 D.30分钟5．已知向量a在向量b上的投影向量为，，则()A. B. C. D.36．已知是首项和公差均为m的等差数列，是首项和公比均为m的等比数列，.若的前5项和与的前4项和都等于S，则()A.30 B.32 C.42 D.467．已知是R上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在R上的最小值是()A. B. C. D.8．单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为()A.42 B.49 C.56 D.64一、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则()A.的平均数为B.的方差为C.若，则D.若，则10．如图，在直三棱柱中，，，点P，Q，M，N分别是，，，的中点，则()A.P，Q，M，N四点共面B.线段为直三棱柱外接球的直径C.三棱锥的体积为D.异面直线与所成角为11．双曲线的左、右焦点分别为，，过C上一点P作切线与x轴交于点Q，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，满足，则()A. B.满足条件的点P有2个C. D.点P为外接圆圆心三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若的展开式中，的系数等于x的系数的5倍，则________.13．已知圆与圆交于A，B两点，则公共弦长________.14．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是________.四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的x的取值集合.16．（15分）某地举行足球赛，共有16支球队参加赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋处下一轮，输球被淘汰），对阵图如下.现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队.已知甲、乙、丙、4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，.假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在嫁一轮每场比赛胜其他球队的概率不变.（1）求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率；（2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对B、C、D组每支球队的胜率均为，乙队对B、C、D组每支球队的胜率均为.求甲队夺冠的概率.注：A1-D2表示A小组第1名与D小组第2名对阵.17．（15分）如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心G.（1）证明：平面平面；（2）已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为R的球面.S，T是棱上两点，，P是三棱台表面上一点，且.求满足条件的P点轨迹的长度.18．（17分）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，证明：函数有3个零点；（3）当时，对任意的，满足，证明：.19．（17分）已知椭圆，O为坐标原点，点M，N分别在直线与上，P是上一点，M，N，O，P四点构成平行四边形.（1）证明是定值，并求该值；（2）求平行四边形面积的最大值；（3）一族直线与交于点，，证明每条弦被定直线平分，并求该直线的方程.

参考答案及解析1．答案：B解析：由题得，，解得，则，故选B.2．答案：D解析：由，得，则；由，得，则，所以，故选D.3．答案：C解析：因为是R上的增函数，故选C.4．答案：B解析：由，，则，结合到甲地需要12分钟，得公共汽车每行驶1千米需要2分钟.所以，，即候车时间为10分钟.若到甲地乘公共汽车，则需要时间为分钟，大于12分钟，则到甲地为骑自行车，骑自行车每公里需要6分钟.所以到8千米的地方，最佳方案是乘公共汽车，需要时间为分钟.故选B.5．答案：A解析：.故选A.6．答案：A解析：由题得，，，所以，即，则或，解得，所以，故选A.7．答案：C解析：由是奇函数，则；由，则的图象关于对称，即，所以.因为在单调递增，则在单调递增，在单调递减，从而在单调递减.所以，故选C.8．答案：B解析：设，则，所以，因为，所以，当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有，则，因此所求的最大值为49.故选B.9．答案：AC解析：根据平均数与方差的性质，易知A、C正确，B、D错误，故选AC.10．答案：BC解析：由于与是异面直线，则P，M，Q，N四点不可能共面，A错误；三棱柱为正方体一半，侧面为正方体对角面，其对角线为正方体外接球直径，则B正确；，则C正确；异面直线与所成角即为正方体体对角线与棱所成角，可求得则.故选BC.11．答案：ACD解析：由双曲线光学性质知为的平分线，则，即，A正确；设，，，则，所以，得，即，所以，所以或，又，所以或，所以满足条件的P点在右支上，且只有4个，B错误；当时，；当时，，所以.设，则，联立，可得交点，，则，所以，C正确；A，B中点坐标为，所以P是线段中点，又，所以P为外接圆圆心，D正确.故选ACD.12．答案：7解析：由题得，，即，所以，解得.13．答案：解析：由题得，，，两方程相减得，，则圆心到此直线距离为，所以.14．答案：解析：设，则当时，不成立；当时，由，得，则不成立；当时，若，则，即成立；若，则，即，得.综上，a的取值范围是.15．答案：（1）；（2）解析：（1），由图知，过点，即，则，由图得，，解得.所以.（2）由题得，，由，得，则，所以，解得，因此，使成立的x的取值集合是.16．答案：（1）；（2）解析：（1）设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件，由题得，，，.设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件A，则.由题可得，.因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为.（2）由题得，甲队进入决赛的概率为；乙队进入决赛的概率为.则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为；乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为.因此，甲队夺冠的概率为.17．答案：（1）证明见解析；（2）解析：（1）连接并延长交于点M，连接，则M为BC中点，平面.取的中点为N，连接，，则.由题得，，，所以.所以四边形是平行四边形，则.所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，设，由，得，整理得，所以P点轨迹表示球心在，半径的球面.又P是棱台表面上的点，所以P点轨迹是球面与棱台表面的交线.由题得，，则，所以.又，，则，，.所以球面只与棱台侧面，侧面，底面相交.而计算得，，.因此所求交线长度为.18．答案：（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析解析：（1）当时，，则，所以，.因此曲线在处的切线方程为.（2）的定义域是，，若，令，得或，且.当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得极大值，在处取得极小值.因为，所以，又，所以，使得，即在上有1个零点；因为，所以，则，所以，所以，使得，即在上有1个零点；又，所以，使得，即在上有1个零点.综上，当，有3个零点.（3）在处的切线方程为，设，下面证明：当时，.设，则，设，则，显然，时，，所以递增，则，即，所以递减，则，从而，即.所以，，…，，得.即.19．答案：（1）证明见解析，该定值为2；（2）4；（3）答案见解析，解析：（1）由题，设，，，又，因为