培优专题05 空间向量与立体几何核心重难点（期末复习专项训练）（原卷版）

9/9培优专题05空间向量与立体几何核心重难点题型1空间向量的线性运算（重点）题型6已知线面角/二面角求参数（重点）题型2四点共面的推论及其应用（难点）题型7求线面角/二面角最值或范围（难点）题型3用数量积求模长/线段长度（重点）题型8用空间向量求立体几何中外接球问题（难点）题型4空间向量的数量积取值范围类（难点）题型9用空间向量求动点问题（难点）题型5用空间向量求点到直线/点到平面的距离（重点）题型10用空间向量求轨迹问题（难点）题型一空间向量的线性运算（共3小题）1．(24-25高二上·河南南阳六校·期末)如图，在四面体OABC中，设OA=a,OB=b,OC=c，G为A．16a−C．16a−2．(24-25高二上·天津四校联考（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）·期末)如图，在四面体OABC中，M为棱BC的中点，点N，P分别满足ON=2NM，AP=2

A．13OA+C．13OA+3．(23-24高二上·湖北荆州八县区·期末)如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，MN=2NO，设OA=a，OB=题型二四点共面的推论及其应用（共3小题）4．在三棱锥P−ABC中，AB与PC中点分别为M,N，点G为MN中点．若D在PA上满足PD=23PA，E在PB上满足PE=34PB，平面DEG交PC5．(25-26高二上·广东江门新会区名冠实验学校·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，PE=EA,PF=2FB,CG=2GP,H在棱PD上，若

6．(24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为棱PC上的点，且PHPC=13，点G在AH上，且AGAH=m，若G，B，P，题型三用数量积求模长/线段长度（共3小题）7．(24-25高二上·广西南宁·期末)在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，A．10 B．12 C．22 D．28．(24-25高二上·广东汕尾·)两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得AD=6m，B点到直线l的距离为BC，测得BC=2m，且测得CD=4m，则A，BA．217m B．67m C．669．(24-25高二上·河南南阳·期末)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=2,AC=3,BD=4,CD=6，则该二面角的余弦值为（

）A．310 B．−310 C．7题型四空间向量的数量积取值范围类（共3小题）10．(24-25高二上·上海宜川中学·期末)已知正三棱锥P−ABC，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足MB+MC=2，则PM11．(25-26高三·上海七宝中学·)已知a、b、c为空间三个向量，又|a|=|b|=1且a⋅b=12，向量c满足|12．(25-26高二上·辽宁大连滨城高中联盟·月考)若空间向量e1、e2满足e1−3e2=A．833 B．423 C．题型五用空间向量求点到直线/点到平面的距离（共3小题）13．(24-25高二上·浙江金华十校·期末)已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足AB=0,0,c,BC=−a,b,0,AP=a,0,0，若14．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)在四面体ABCD中，∠BAC=∠CAD=∠DAB=90°，AB=AC=AD=3，点E在棱CD上，CE=2ED，F是BD的中点，若BE=xAB+yAC+zAD，则x+y+z=15．(24-25高三下·浙江湖州县域联盟·月考)已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=2AC=2，侧棱AA1=2，若点M，N题型六已知线面角/二面角求参数（共3小题）16．(25-26高二上·山西临汾第一中学校·月考)如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC,AB=BC=26,PA=PB=PC=4，且D,E分别为AC,PB的中点．点F满足DF=12

(1)求证：AC⊥PB；(2)当CG与平面AEC所成角取得最大值时，求PG；(3)若二面角E−AC−G的余弦值为714，求PG17．(24-25高二上·广东肇庆·期末)如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC, AD//BC，平面PCD⊥平面ABCD，平面PAD与平面PBC的交线为(1)证明：l//(2)已知AD=PD=DC=2, BC=3, ∠DPC=30°，点Q是l上一动点，当直线PB与平面QCD所成角的正弦值为18．(24-25高二下·福建龙岩·期末)如图，在三棱锥P−ABC中，AC⊥BC，AC=BC=32，PA⊥平面ABC(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；(2)若AP=AB，F为线段PC的中点，点E为线段PB的动点，且二面角E−AF−C的余弦值为77，求BE题型七求线面角/二面角最值或范围（共3小题）19．(24-25高二上·贵州六盘水·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，∠PAD=120°，PA=AD=AB=2，BC=1，M是线段(1)求证：AB⊥PD；(2)设直线PM与平面ABCD所成的角为θ，求sinθ20．(24-25高一下·四川南充·)如图1，在直角梯形ABCD中，AB//DC，AB⊥BC，BC=DC=4，AB=8，E为AB的中点.将△ADE沿DE翻折，使点A到点P的位置，且PE⊥BE，得到如图2所示的四棱锥P−BCDE，若M为BC的中点，N是棱PB上动点.

(1)当N为PB的中点时.①求证：平面EMN⊥平面PBC；②求直线PB与平面EMN所成角的正弦值.(2)若BN=λBP,λ∈21．(24-25高二下·云南楚雄彝族楚雄等5地·期末)如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，(1)证明：EG//平面C(2)求二面角C1题型八用空间向量求立体几何外接球问题（共3小题）22．(25-26高二上·安徽皖南八校·期中)如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=CC1=1，E是线段B(1)当λ=12时，证明：A1(2)当λ=13时，求二面角(3)求四面体EA23．(24-25高二上·内蒙古赤峰赤峰二中·月考)如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，

(1)是否存在一点G，使得BC1∥面EFG？若存在，指出点(2)若直线EF与平面CFG所成的角的正弦值为22，求三棱锥G−EB(3)求三棱锥B124．(25-26高二上·安徽马鞍山第二中学·)在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD中点，PO⊥平面ABCD，PO=3，AB=2，平面PAB∩平面PCD=l(1)求证：l//(2)如图，M∈l且PM=1，求点M到平面PBC的距离；(3)设四棱锥P−ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为310535？若存在，请确定点题型九用空间向量求动点问题（共3小题）25．(25-26高二上·广东深圳深圳盟校·期中)【多选题】在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足A．当λ=μ=1时，A1P//平面ABCD B．当λ=1时，点PC．当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值 D．λ=126．(25-26高二上·四川绵阳南山中学·期中)【多选题】在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点PA．当λ+μ=1时，点P的轨迹为线段B．当λ=12时，有且仅有一个点PC．当μ=12时，三棱锥D．当λ=12时，有且仅有一个点P使得A27．(25-26高二上·四川达州外国语学校·期中)【多选题】如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AAA．直线PB1B．三棱锥P−BC1C．三棱锥D1−BD．直线PB1与平面BC题型十（用空间向量求轨迹问题共3小题）28．(25-26高二上·浙江七彩阳光新高考研究联盟·期中)若E，F为平面上两个定点，则满足