广东省领航高中联盟2026届高三上学期12月模拟考试 数学

广东省领航高中联盟2025-2026学年高三上学期模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知一组数据的分位数为3，则（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合，若，则（

）A． B．0 C．1 D．23．设，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知为等比数列，为其公比，设甲：；乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设是两个相交但不垂直的平面，直线，则与的关系不可能是（

）A． B．C． D．与相交但不垂直6．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（

）A． B．或 C． D．或7．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，线段与交于点，则（

）A． B． C． D．8．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，则下列命题一定为真命题的有（

）A．B．若，则C．D．若，则10．已知向量，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C． D．11．设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则（

）A． B．可能为2C． D．可能为0三、填空题12．已知抛物线，则以的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的标准方程为.13．已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为.14．在三棱锥中，，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值为.四、解答题15．某研究院种植了一种特殊作物，为了解该种特殊作物成熟期的高度，随机调查了1000棵成熟期作物的高度并绘制成如下频率分布直方图.

(1)求的值及这1000棵成熟期作物的平均高度（同组数据用该组数据区间的中点值表示）；(2)以这1000棵成熟期作物的高度的频率估计所有该特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的该种特殊作物中随机抽取20棵，记高度在区间内的棵数为，求的期望和方差.16．在中，设内角的对边分别为，满足的面积为.(1)求；(2)若，求的外接圆的面积.17．如图，在圆柱中，分别为上､下底面直径，连接，作于点，，记实数.(1)若，求；(2)记平面与圆所在平面的夹角为，若，求.18．已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.当为的上顶点时，.(1)求的方程；(2)过点作的垂线，垂足为.（i）证明：直线过定点；（ii）若的斜率不为0，记的中点为，（i）中的定点为的斜率为的斜率为，证明：是定值.19．设函数.(1)若，证明：当时，；(2)若，证明：；(3)若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围.

参考答案及解析1．答案：C解析：若，则其分位数为；若，则分位数为；若，则分位数为3；若，则分位数为；若，则分位数为，综上，.故选：C.2．答案：C解析：由于，故，由知或，即或，注意到，故由元素互异性知，故，故选：C．3．答案：A解析：因为，故，其在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.4．答案：D解析：当时，，此时，不满足，故充分性不成立；若，此时满足，但，故必要性不成立，故甲是乙的既不充分也不必要条件.故选：D.5．答案：C解析：在平面外取平行于和的交线即可，故A可能；在平面内取平行于和的交线即可，故B可能；若且，则，与条件矛盾，故C不可能；除去和的情况D都成立，故D可能.故选C.6．答案：B解析：设数列的公差为，又，即，整理得，解得或，当时，；当时，又，因此或.故选：B.7．答案：A解析：由题意得的半焦距，如图，其中，作于点，且设，

而由锐角三角函数的定义得，解得，故，代入，得，化简得，而，解得（其它根舍去）由题意得，得到.故选：A.8．答案：B解析：设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示，则.某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为所以.故选:B.9．答案：ACD解析：对于A，因为函数单调递增，又，所以，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，由不等式的传递性可知，故C正确；对于D，由得，又，所以，即.又，即，则，即，又，故，故D正确.故选：ACD.10．答案：ABD解析：若，则，所以，故A正确；因为，而，所以，故B正确；取，则，此时，，故C错误；因为，故D正确.故选：ABD.11．答案：AD解析：对于A，设，因为为奇函数，所以，且，即.令，则，则的图象关于点对称.设，故，即，可得为偶函数，令，则，则的图象关于直线对称，若，则即是奇函数，又是偶函数，故只能有，即对任意成立，则对任意成立，与矛盾，故，故A正确；对于B，由于，若，则，与2矛盾，故B错误；对于D，取，则的图象关于点对称，，即存在使得为0，故D正确；对于C，取，则的图象关于直线对称，故，令，有，由D得，故存在使得不为，故C错误.故选：AD.12．答案：解析：由题意得的焦点为，准线为，故圆的圆心为，则半径，则圆的标准方程为.故答案为：.13．答案：/解析：易得，故的最大值为，最小值为，则解得，故，则其最小正周期.故答案为：.14．答案：/解析：不妨设，由中，可得，又由，故点在以为焦点，且2为长半轴长的椭圆上，当在该椭圆的上顶点时，的面积最大，此时，取的中点，可得，则，设点到平面的距离为，因为直线与平面所成的角为，可得，所以，设且，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，当且仅当，且时，等号成立，所以三棱锥体积的最大值为.故答案为：

15．答案：(1)，101厘米(2)解析：（1）由，得，这1000棵成熟期作物的平均高度为厘米.（2）高度在区间内的频率为，由样本估计总体知，高度在区间的概率为0.3，因为，所以.16．答案：(1)(2)解析：（1）由余弦定理得，由面积公式得，两式作比，得，即，由得.（2）代入，有，而，得到，记的外接圆半径为，由正弦定理得，故的外接圆的面积为.17．答案：(1)(2)或解析：（1）因为，所以，记在下底面的投影为，则，平面，又平面，.因此，又因为在圆上，故有，故，则.（2）以为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，易知，当时，此时平面与圆所在平面的夹角，，不符题意.因此，由对称性，不妨设，则，故，设平面的法向量，则，得，令，则，因此可取.易知圆所在平面的一个法向量为，则，解得，即.设，易知，则，又，则.

①当时，，由可得，即，解得，又，解得；②当时，，由可得，即，解得，又，解得.综上所述，或.18．答案：(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析解析：（1）记的半焦距为，显然，而，故，于是的方程为.（2）（i）证明：解法一：设，当直线的斜率不为0时，设，联立，得，可得.易知，故直线可表示为，显然，故当时，，故直线过定点.当直线的斜率为0时，易知过点.综上所述，直线过定点.解法二：由解法一得，直线可表示为，显然，当时，，故直线过定点.当直线的斜率为0时，易知过点.综上所述，直线过定点.（ii）证明：由题意，而，则，则，故，为定值.

19．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(3)解析：（1）当时，，则，当时，，故，所以在区间上单调递减，所以，即.（2）证法一：当时，.当时，，此时；设，则，当时，，当且仅当时取等号，故在区间上单调递减，又，因此存在唯一的，使得，即，即，且当时，，当时，，故在区间上单调递增，在区间上单调递减.由.由且，得.故，要证等价于证明，即证.因为，所以，不等式成立，即得证.解法二：由（1）知当时，，当时，，所以，所以在区间上恒成立，所以当时，，由于前面的等号在处取到，后面的等号在处取到，所以，即.（3）设，不等式等价于，故题目等价于：对所有恒成立，且对所有恒成立，由于的图象是一条连续不断的曲线，故由所有恒成立可知必有