专题01 直线方程和圆的方程（期末复习讲义）原卷版

34/34专题01直线方程和圆的方程（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律1：直线的倾斜角与斜率记准范围与公式，明确特殊情况；能互求倾斜角与斜率，判断斜率正负.题型：选择/填空难度：基础题；特点：结合直线方程考查，多为基础铺垫.2：直线方程（五种形式）掌握适用条件，熟练互化与求解；避免忽略特殊情况（如截距式不过原点）.题型：选择/填空或解答题第一问；难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）；特点：高频，多结合位置关系、距离命题.3：两直线的位置关系；距离公式牢记判定条件与公式；能判定位置、求交点、算距离.题型：选择/填空或辅助考查；难度：基础（60%）、含参数中档（40%）；特点：必考，距离公式应用极广.4：对称问题掌握核心性质（中点、垂直）；熟练求解对称点与对称直线.题型：选择/填空或解答题小问；难度：中档题；特点：高频，结合切线、轨迹考查.5：圆的方程掌握两种形式与互化；能根据条件灵活求圆方程.题型：选择/填空或解答题第一问；难度：基础（70%）、含参数中档（30%）；特点：必考基础，为综合题铺垫.6：直线与圆的位置关系熟练判定方法与核心公式；能求切线、算弦长，处理含参数问题.题型：选择/填空或解答题；难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）；特点：必考重点，解答题高频命题点.7：圆与圆的位置关系记准判定条件；能判定位置、求公共弦方程与弦长.题型：选择/填空）或解答题小问；难度：基础（40%）、中档（60%）；特点：高频，侧重判定与公共弦计算.8：综合应用（最值、轨迹、跨模块）掌握最值转化方法与轨迹推导逻辑；应对跨模块综合题.题型：解答题或选择压轴；难度：中档（60%）、难题（40%）；特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合.知识点01直线模块（概念+公式+法则+示例+易错点）1.核心概念倾斜角：直线与x轴正方向重合时为，向上旋转的最小正角，范围.斜率：（）；时斜率不存在（直线垂直x轴）.截距：横截距（令）、纵截距（令），可正、负、零.对称关系：点关于直线、直线关于直线、直线关于点对称，核心是“中点在对称轴上”“连线垂直对称轴”（点对称）或“对应点代入原方程”（直线对称）.2.核心公式与法则（1）斜率公式表达式：过、（），.示例：过和的斜率；过和的直线斜率不存在.易错点：忽略时斜率不存在，直接代入公式.（2）直线的五种方程方程形式表达式适用条件点斜式斜率存在（不垂直x轴）斜截式斜率存在（为纵截距）两点式且（不垂直坐标轴）截距式且（不过原点、不垂直坐标轴）一般式（）所有直线通用示例：过且斜率为的直线，点斜式，整理为一般式.易错点：用截距式表示过原点的直线，或用点斜式表示垂直x轴的直线.（3）两直线位置关系（设，）平行：且（排除重合）.垂直：（通用，无需考虑斜率）.示例：与，因且，故重合而非平行.易错点：仅用判定平行，未排除重合.（4）距离公式点到直线：点到的距离.平行直线间：与的距离（系数需一致）.示例：点到的距离；与的距离.易错点：计算平行直线距离时未统一x、y系数.（5）对称问题（期末高频）①点关于直线对称（设关于的对称点）步骤：中点在上+直线.特殊情况：为时，，；为时，，.示例：关于的对称点，联立与，解得.易错点：忘记中点在对称轴上，仅考虑垂直关系.②直线关于直线对称平行情况：取上一点，求其关于对称轴的对称点，用点斜式求.相交情况：求与对称轴的交点，取上另一点，求的对称点，由、得.示例：关于的对称直线，交点，的对称点，得.易错点：平行时未验证距离，相交时遗漏交点.③直线关于点对称步骤：对上任意点，其对称点在原直线上，代入得方程.示例：关于的对称直线，代入得.易错点：对称点坐标误写为.知识点02圆模块（概念+公式+法则+示例+易错点）1.核心概念定义：平面内到定点（圆心）距离为定长（半径）的点的轨迹.方程特征：标准式；一般式（需）.切线与切点：切线垂直过切点的半径；过圆外一点有两条切线，圆上一点有一条，圆内无切线.弦与弦心距：弦心距垂直且平分弦（推论：直径垂直弦必平分弦，平分弦（非直径）的直径必垂直弦）.对称性质：中心对称（对称中心为圆心）、轴对称（过圆心的直线）；对称时半径不变，仅圆心变换.2.核心公式与法则（1）圆的方程标准式：圆心，半径，.一般式：圆心，半径.直径式：端点、，方程，圆心，半径.示例：直径端点和的圆，方程，整理为.易错点：直径式方程展开符号错误，圆心坐标记错.（2）切线方程（期末高频）①过圆上一点的切线标准圆：过点的切线方程.原点圆：切线方程.示例：过上点的切线，方程（验证：圆心到直线距离）.易错点：忽略切线与半径垂直的条件，未验证距离.②过圆外一点的切线步骤：设切线方程（斜率不存在单独讨论），用圆心到直线距离等于半径列方程求.示例：过与相切的直线，解得，切线方程.易错点：遗漏斜率不存在的情况.（3）弦长公式（期末必考）表达式：弦长（为半径，为圆心到弦的距离）.示例：中，直线的弦长，圆心到直线距离，弦长.易错点：忘记乘系数“2”，直接用作为弦长.（4）圆与圆的位置关系（设两圆，，圆心距）位置关系数量关系外离外切相交内切内含公共弦方程：两圆方程相减，得（仅相交时有效）.示例：两圆与的公共弦方程，弦长.易错点：两圆不相交时仍求公共弦方程.（5）圆的对称问题关于点对称：圆心对称，半径不变；对称圆心.关于直线对称：圆心对称，半径不变；用点关于直线对称的方法求新圆心.示例：关于点的对称圆，原圆心，对称圆心，对称圆方程；关于直线的对称圆，原圆心的对称点，联立中点在直线上和垂直关系，解得，对称圆方程.易错点：对称时错误改变半径，或圆心对称点计算失误.（6）圆的综合题型（期末高频）①最值问题圆上点到直线的最值：圆心到直线距离，最大值，最小值.圆上点到定点的最值：定点到圆心距离，最大值，最小值.过圆外一点的切线长最值：切线长（为定点到圆心距离），最小时最小.示例：圆上点到直线的最值，圆心到直线距离，最大值，最小值.易错点：混淆“圆心到直线距离”与“定点到圆心距离”，导致最值计算错误.②轨迹问题解题思路：利用圆的定义（到定点距离为定长）或切线性质、中点坐标公式推导轨迹方程.示例：点，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程，设，则，代入圆方程得，整理为（轨迹为圆）.易错点：未将动点坐标转化为已知点坐标，直接列方程导致逻辑混乱.题型一直线倾斜角和斜率的关系答｜题｜模｜板1.明确已知条件：是“给倾斜角求斜率”还是“给斜率求倾斜角”；2.判定斜率是否存在：若，斜率不存在；若，用计算或反向求解；3.结合范围判断：→（增大，增大）；→（增大，增大）；4.总结结论（如斜率范围、倾斜角大小）.易错提醒忽略时斜率不存在的情况；【典例1】（25-26高二上·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为．【变式2】（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3】（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型二直线方程的五种形式答｜题｜模｜板1.分析已知条件：已知“点+斜率”→点斜式（，存在）；已知“斜率+纵截距”→斜截式（，存在）；已知“两点”→两点式（，且）；已知“横截距+纵截距”→截距式（，且）；统一结果→一般式（，不同时为0）；2.代入已知条件求解参数（如等）；3.验证适用条件：排除特殊情况（如截距式不能表示过原点的直线）.易错提醒忽略斜率不存在的情况（需单独讨论，方程为）；截距式中误将“截距”当作“距离”（截距可正可负）.【典例1】【多选题】（23-24高二上·广西南宁·期末）下列说法错误的有（

）A．若，则直线l：的斜率大于0B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为【典例2】【多选题】（22-23高二上·浙江杭州·期中）在下列直线方程中，表示经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（

）A． B． C． D．【变式1】【多选题】（22-23高二上·吉林长春·期中）下列说法错误的是（

）A．直线必过定点B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）.(1)边上的中线所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程；(3)边上的垂直平分线所在直线的方程.【变式3】（23-24高二上·山东德州·月考）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．(1)求直线的方程；(2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．题型三两直线的位置关系，三个距离公式答｜题｜模｜板（1）两直线位置关系判定1.化两直线为一般式：，；2.判定斜率是否存在：平行：且（避免重合）；垂直：（无需讨论斜率）；3.求交点：联立方程，解方程组.（2）三个距离公式应用1.点到直线：步骤：确认直线方程为一般式→代入公式→计算结果；2.两平行线与：步骤：统一系数→代入公式→计算；3.两点与：公式：→直接代入计算.易错提醒计算平行线距离时未统一系数；判定垂直时仅用，忽略斜率不存在的情况.【典例1】【多选题】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线，直线，则下列说法正确的为（

）A．若，则B．若两条平行直线与间的距离为，则C．直线过定点D．点到直线距离的最大值为【典例2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知直线.(1)若直线过点，且，求直线的方程；(2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.【变式1】【多选题】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知直线：与：，则（

）A．当时， B．当时，与重合C．当时， D．当时，与间的距离为【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线(1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围；(2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值.【变式3】【多选题】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则或C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则题型四直线方程的对称问题答｜题｜模｜板（1）点关于直线的对称点1.列方程组：中点在上：；连线：（斜率乘积=-1的一般式）；2.解方程组得.（2）直线关于直线的对称直线1.取上两个特殊点（如与坐标轴交点）；2.分别求关于的对称点；3.联立坐标，用两点式写出的方程.易错提醒求解对称点时漏列一个方程；直线对称时未取特殊点，导致计算复杂.【典例1】（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点.求:(1)点A关于直线l的对称点的坐标;(2)直线关于直线l的对称直线m'的方程;(3)直线l关于点对称的直线l'的方程.【典例2】（21-22高二上·辽宁大连·月考）在中，已知点，的内角平分线BD所在的直线方程是，边上的中线所在的直线方程是，求：(1)点的坐标；(2)边所在直线的方程．【变式1】（24-25高二上·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·河南·月考）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线：.(1)若直线垂直于直线：，求的值；(2)求证：直线经过定点；(3)当时，求点关于直线的对称点的坐标.题型五求圆的方程答｜题｜模｜板1.选择方程形式：已知“圆心+半径”→标准式；已知“三点坐标”或“一般条件”→一般式（）；2.设参数：标准式设，一般式设；3.代入已知条件：标准式：代入圆心坐标和半径关系（如点在圆上则代入满足方程）；一般式：代入三点坐标，列三元一次方程组；4.解参数，验证半径（一般式需满足）；5.写出最终方程.易错提醒一般式中遗漏的验证；已知圆心在某直线上时，未利用该条件减少参数.【典例1】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹．【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知直线l过点，且__________．①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为．(1)求直线l的一般式方程；(2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程．【变式1】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.(1)求圆的标准方程；(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.【变式2】（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是；(1)的外接圆方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．【变式3】（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为．题型六圆的方程中的最值问题答｜题｜模｜板（1）距离型最值（圆上点到直线/定点的距离）1.求圆心到直线（或定点）的距离；2.最值公式：最大值：；最小值：；（2）斜率型最值（如）3.列不等式→平方整理得关于的一元二次不等式；4.解不等式得的取值范围，边界值即为最值.（3）截距型最值（如）1.转化为直线方程：；2.直线与圆有交点→圆心到直线距离；3.列不等式→解关于的不等式；4.得到的最值（边界值）.【典例1】【多选题】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知实数满足圆的方程，则（

）A．圆心，半径为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最大值为【典例2】【多选题】（23-24高二上·贵州·月考）已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（

）A．直线不经过第二象限的充要条件是B．线段的中点的轨迹方程为C．当时，的最小值为D．当时，的最小值为【变式1】【多选题】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是（

）A．圆的半径为2 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为6【变式2】（24-25高三上·重庆·期末）已知点，点为圆上的动点，且.记线段中点为，则的最大值为.【变式3】（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（

）A．5 B．6 C．25 D．36题型七直线和圆相交的弦长以及弦长的最值答｜题｜模｜板（1）求弦长1.确定圆的圆心和半径；2.求圆心到直线的距离（直线为）；3.验证相交条件：（若则无弦长）；4.代入弦长公式：→计算结果.（2）弦长的最值1.分析的取值范围：固定圆与动直线：的最值由直线位置决定（如过定点的直线，为圆心到定点距离，）；固定直线与动圆：为定值，变化时弦长随变化；2.弦长与成反比：最大值：时，（直径）；最小值：时，.【典例1】（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则．【典例2】【多选题】（24-25高二下·河南周口·期末）已知圆，直线，则下列说法正确的是（

）A．当时，被圆截得的弦长为B．恒过点C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为D．被圆截得的弦长的最小值为【变式1】【多选题】（22-23高二上·江苏连云港·期末）若一个圆的圆心在直线上，此圆与轴相切，且被直线截得的弦长为，则此圆的方程是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高三上·天津·期末）已知，直线恒过定点，圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的半径为．【变式3】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，存在四点．(1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系；(2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程．题型八求圆的切线方程以及切点弦方程答｜题｜模｜板（1）求圆的切线方程①过圆上一点圆标准式：切线方程；圆一般式：切线方程；直接代入点坐标，化简得方程.②过圆外一点1.设切线斜率为，方程为（斜截式）；2.圆心到直线距离→列方程；3.解（可能有两解、一解）；4.补充斜率不存在的情况：若直线与圆相切，需纳入结果.（2）求切点弦方程（过圆外一点作圆的两条切线，切点连线方程）1.设圆方程为；2.切点弦方程：（与圆上一点切线方程形式相同）；3.化简即可（本质是两圆：原圆与以为直径的圆的公共弦方程）.【典例1】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过三点.(1)求圆的标准方程；(2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距.【典例2】【多选题】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（

）A．圆的圆心坐标为，半径为B．切线C．直线的方程为D．【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，.(1)求圆的标准方程；(2)求过原点且与圆相切的直线方程.【变式2】（24-25高三上·河北沧州·月考）已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C． D．【变式3】已知点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点分别为、，则直线恒过定点，四边形面积的最小值.题型九圆上的点到某直线距离为定值的点的个数问题答｜题｜模｜板1.提取核心参数圆：确定圆心、半径（题目中为未知量）；直线：将直线方程化为一般式.2.计算圆心到原直线的距离用点到直线距离公式：3.构造平行直线并计算其到圆心的距离设圆上点到直线的定值距离为，作与原直线平行且距离为的两条直线，这两条直线到圆心的距离分别为：4.根据点的个数确定半径范围圆上到原直线距离为的点的个数，等于两条平行直线与圆的交点总数，结合直线与圆的位置关系（相交→2个点；相切→1个点；相离→0个点），对应不同情况：若点的个数为2：需一条平行线与圆相交、另一条相离，即；若点的个数为1：需一条平行线与圆相切、另一条相离，即或；若点的个数为4：需两条平行线均与圆相交，即；若点的个数为0：需两条平行线均与圆相离，即.【典例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·河南三门峡·期末）若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（

）A．3 B． C．2 D．【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是．【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为．题型十直线和圆相交的最值问题答｜题｜模｜板1.设含参数的直线方程（如，为参数或为参数）；2.求圆心到直线的距离；3.由相交条件→列关于参数的不等式；4.解不等式得参数范围，结合目标函数（如截距、斜率）求最值；5.验证最值对应的直线是否与圆相交（边界值需满足）.【典例1】【多选题】（25-26高二上·福建福州·期中）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（

）A．直线过定点 B．当取得最小值时，C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24【典例2】【多选题】（24-25高二上·安徽·期末）已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（）A．的最大值为 B．的最小值为0C．的最大值为 D．的最大值为【变式1】（22-23高一上·陕西延安·期末）已知点在圆.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值与最小值；【变式2】（23-24高二上·浙江·期末）已知实数满足：，则的最大值是．【变式3】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知实数满足，则的最小值是．题型十一直线和圆的实际问题答｜题｜模｜板1.建模：确定原点、坐标轴，将实际中的定点（如车站、障碍物中心）转化为坐标；将实际条件（如“距离不超过”“最短路径”）转化为圆的方程（定点+半径）、直线方程（路径）；2.求解：利用前面的模板（如距离最值、位置关系判定）计算几何量；3.还原：将几何结果转化为实际问题的答案（如长度、位置、方案）.【典例1】（22-23高二上·四川绵阳·期中）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【典例2】（21-22高二上·湖北武汉·期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；(2)某日经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【变式1】（21-22高二上·福建泉州·期末）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向米的点A处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．【变式2】（21-22高一下·辽宁锦州·期末）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（

）A．5h B．h C．h D．4h【变式3】（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.(1)求圆C的方程.(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由.题型十二直线和圆相交的定点定值问题答｜题｜模｜板（1）定点问题（直线过定点，与参数无关）1.设含参数的直线方程（如）；2.整理为“参数×（系数）+不含参数项=0”的形式：；3.令参数系数和常数项均为0：；4.解得定点坐标（与无关），验证该点是否在圆内（保证相交）.（2）定值问题（如斜率之积、距离之和为定值）1.设直线与圆的交点为、，联立直线与圆的方程；2.消去（或）得关于（或）的一元二次方程，写出韦达定理、；3.化简目标表达式（如），代入韦达定理；4.消去参数，证明结果为常数.【典例1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆，直线：.(1)求证：直线与圆O有两个不同的交点；(2)记直线与圆交于两点，①当时，求直线的方程；②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【典例2】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上.(1)求圆的标准方程.(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.（i）求的方程.（ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.【变式1】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点．(1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；(2)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；(3)若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．【变式2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆的圆心在轴上，且过．(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3】（22-23高二上·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点．(1)求圆的方程；(2)求当满足时对应的直线的方程；(3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值．题型十三圆和圆的位置关系共切线问题答｜题｜模｜板（1）判定圆与圆的位置关系1.提取两圆核心参数：圆：圆心，半径；圆：圆心，半径；2.计算圆心距：；3.判定位置关系（对应共切线条数）：外离（）：4条共切线（2外+2内）；外切（）：3条共切线（2外+1内）；相交（）：2条共切线（仅外切）；内切（）：1条共切线（仅外切）；内含（）：0条共切线.（2）求共切线方程①外公切线方程（两圆同侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径）1.设外公切线斜率为，方程为（一般式：）；2.列距离方程（圆心到切线距离=半径）：；3.消去，得、；4.解方程组求和（可能有两解，对应两条外公切线）；5.补充斜率不存在的情况：若直线满足到两圆心距离等于半径，纳入外公切线.②内公切线方程（两圆异侧，切线到两圆心距离分别等于对应半径）1.设内公切线斜率为，方程为；2.列距离方程（与外公切线形式相同，但符号相反，因内公切线在两圆之间）：（解方程时注意绝对值内符号相反）；3.解方程组求和（外离时两解，外切时一解）；4.补充斜率不存在的内公切线（若存在）.易错提醒混淆外公切线与内公切线的方程求解逻辑（符号错误）；遗漏斜率不存在的共切线（如两圆圆心在同一水平线上时，可能有垂直于x轴的公切线）.【典例1】【多选题】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知圆与圆交于两点，则（

）A．两圆有2条公切线B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是C．D．四边形的面积为2【典例2】（2023·河南郑州·模拟预测）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为.【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为，则（

）A． B．2 C． D．3【变式2】【多选题】（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（

）A．当时，圆与圆相离B．当时，是圆与圆的一条公切线C．当时，圆与圆相交D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是【变式3】【多选题】（23-24高二上·四川雅安·月考）圆与圆的公切线的方程可能为（

）A． B．C． D．题型十四由圆和圆的位置关系求参数答｜题｜模｜板1.提取两圆核心参数（含参数）：圆：圆心，半径（为待求参数）；圆：圆心，半径（已知或含参数）；2.计算圆心距公式：；3.明确位置关系对应的数量关系（设）：外离：；外切：；相交：；内切：（）；内含：（）；4.代入参数表达式，列方程或不等式：若为“相切”（外切/内切），列等式求解参数（可能有两解）；若为“相交/外离/内含”，列不等式求解参数范围；5.验证参数合理性：半径需满足、；相交时需保证（恒成立，无需额外验证）；6.整理参数结果（方程解或不等式范围）.【典例1】（24-25高二上·河南·期末）若圆与圆恰有一个公共点，则的值为．【典例2】（24-25高二上·北京·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则半径r可以是．（写出一个符合题目要求的取值即可）【变式1】（24-25高二上·天津·期末）已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为.【变式2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高一下·重庆·期末）已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（

）．A． B． C．2 D．题型十五隐圆问题答｜题｜模｜板1.识别隐圆类型（常见类型及转化方法）：类型1：定点定长（动点到定点距离为定值）→圆：；类型2：圆周角为直角（，A、B为定点）→圆：以为直径，圆心为中点，半径；类型3：距离比为定值（，，A、B为定点）→圆（阿波罗尼斯圆）：设坐标列方程化简得标准式；类型4：向量条件（如）→直角圆周角圆；（常数）→平方化简得圆；2.求隐圆的圆心和半径：直接转化型（类型1、2）：直接写出圆心和半径；化简型（类型3、4）：设动点，代入条件列方程，整理为标准圆方程；3.明确问题目标（结合隐圆求解）：最值问题（如最值、斜率/截距最值）：套用“圆的最值模板”（）；交点个数问题（如直线与隐圆交点个数）：计算圆心到直线距离与的关系；参数范围问题（如动点满足某条件，求参数范围）：转化为直线与隐圆有交点（）.【典例1】（24-25高一下·重庆·期末）已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知点，若圆上存在点，使得，其中为坐标原点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知点，，点满足，同时满足，则点到轴的距离为（

）A． B． C．1 D．【变式3】（24-25高三上·河南漯河·期末）已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．期末基础通关练（测试时间：30分钟）一、单选题1．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（

）A． B．5 C．4 D．2二、多选题3．（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．若直线在轴上的截距为，则C．若直线与直线垂直，则D．若，则直线的倾斜角的取值范围为4．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为C．若，则 D．若，则直线，一定相交5．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（

）A．若，则圆和圆相离B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是C．若圆和圆外切，则或D．若圆和圆内切，则三、填空题6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是.7．（24-25高三上·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为.8．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为.四、解答题9．（23-24高二上·贵州·期中）已知直线l经过点，且与直线平行．(1)求直线l的方程；(2)已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程．10．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内一动点到点与的距离之比为．(1)求动点的轨迹方程；(2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程．期末重难突破练（测试时间：45分钟）一、单选题1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．76．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知点在圆上，点、，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，8．（24-25高二上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（

）A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是三、填空题9．如图，在等腰直角△ABC中，，点P是边AB上异于A､B的一点，光线从点P出发，经BC､CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则.10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为．四、解答题11．（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，(1)求三角形外心的坐标；(2)求顶点的坐标.12．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切．(1)求圆的标准方程；(2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标．期末综合拓展练（测试时间：60分钟）一、单选题1．（22-23高一下·天津·期末）已知向量满足，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2025·上海金山·二模）已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（

）①在坐标平面内存在点，使得恒成立；②三角形面积的最小值为.A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题4．（24-25高二上·广西·月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是（

）A．C的方程为B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3C．在C上不存在点M，使得D．C上的点到直线的最小距离为15．（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知圆：和直线：，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（）A．曲线与直线有3个公共点；B．的最大值为4C．曲线所围成的图形的面积为D．的最大值为三、填空题7．（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论：①若点的横坐标为，则；②的最大值是；③的最小值是2；④的最小值是．其中，所有正确结论的序号是．8．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为.四、解答题9．（24-25高二上·河南周口·月考）如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．

(1)求直线的倾斜角的取值范围．(2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？(3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围．10．（23-24高二上·湖南·月考）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.

(1)证明直线过定点，并求出定点的坐标；(2)求线段中点的轨迹方程；(3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值.

专题01直线方程和圆的方程（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律1：直线的倾斜角与斜率记准范围与公式，明确特殊情况；能互求倾斜角与斜率，判断斜率正负.题型：选择/填空难度：基础题；特点：结合直线方程考查，多为基础铺垫.2：直线方程（五种形式）掌握适用条件，熟练互化与求解；避免忽略特殊情况（如截距式不过原点）.题型：选择/填空或解答题第一问；难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）；特点：高频，多结合位置关系、距离命题.3：两直线的位置关系；距离公式牢记判定条件与公式；能判定位置、求交点、算距离.题型：选择/填空或辅助考查；难度：基础（60%）、含参数中档（40%）；特点：必考，距离公式应用极广.4：对称问题掌握核心性质（中点、垂直）；熟练求解对称点与对称直线.题型：选择/填空或解答题小问；难度：中档题；特点：高频，结合切线、轨迹考查.5：圆的方程掌握两种形式与互化；能根据条件灵活求圆方程.题型：选择/填空或解答题第一问；难度：基础（70%）、含参数中档（30%）；特点：必考基础，为综合题铺垫.6：直线与圆的位置关系熟练判定方法与核心公式；能求切线、算弦长，处理含参数问题.题型：选择/填空或解答题；难度：基础（30%）、中档（50%）、难题（20%）；特点：必考重点，解答题高频命题点.7：圆与圆的位置关系记准判定条件；能判定位置、求公共弦方程与弦长.题型：选择/填空）或解答题小问；难度：基础（40%）、中档（60%）；特点：高频，侧重判定与公共弦计算.8：综合应用（最值、轨迹、跨模块）掌握最值转化方法与轨迹推导逻辑；应对跨模块综合题.题型：解答题或选择压轴；难度：中档（60%）、难题（40%）；特点：重点难点，区分度强，侧重数形结合.知识点01直线模块（概念+公式+法则+示例+易错点）1.核心概念倾斜角：直线与x轴正方向重合时为，向上旋转的最小正角，范围.斜率：（）；时斜率不存在（直线垂直x轴）.截距：横截距（令）、纵截距（令），可正、负、零.对称关系：点关于直线、直线关于直线、直线关于点对称，核心是“中点在对称轴上”“连线垂直对称轴”（点对称）或“对应点代入原方程”（直线对称）.2.核心公式与法则（1）斜率公式表达式：过、（），.示例：过和的斜率；过和的直线斜率不存在.易错点：忽略时斜率不存在，直接代入公式.（2）直线的五种方程方程形式表达式适用条件点斜式斜率存在（不垂直x轴）斜截式斜率存在（为纵截距）两点式且（不垂直坐标轴）截距式且（不过原点、不垂直坐标轴）一般式（）所有直线通用示例：过且斜率为的直线，点斜式，整理为一般式.易错点：用截距式表示过原点的直线，或用点斜式表示垂直x轴的直线.（3）两直线位置关系（设，）平行：且（排除重合）.垂直：（通用，无需考虑斜率）.示例：与，因且，故重合而非平行.易错点：仅用判定平行，未排除重合.（4）距离公式点到直线：点到的距离.平行直线间：与的距离（系数需一致）.示例：点到的距离；与的距离.易错点：计算平行直线距离时未统一x、y系数.（5）对称问题（期末高频）①点关于直线对称（设关于的对称点）步骤：中点在上+直线.特殊情况：为时，，；为时，，.示例：关于的对称点，联立与，解得.易错点：忘记中点在对称轴上，仅考虑垂直关系.②直线关于直线对称平行情况：取上一点，求其关于对称轴的对称点，用点斜式求.相交情况：求与对称轴的交点，取上另一点，求的对称点，由、得.示例：关于的对称直线，交点，的对称点，得.易错点：平行时未验证距离，相交时遗漏交点.③直线关于点对称步骤：对上任意点，其对称点在原直线上，代入得方程.示例：关于的对称直线，代入得.易错点：对称点坐标误写为.知识点02圆模块（概念+公式+法则+示例+易错点）1.核心概念定义：平面内到定点（圆心）距离为定长（半径）的点的轨迹.方程特征：标准式；一般式（需）.切线与切点：切线垂直过切点的半径；过圆外一点有两条切线，圆上一点有一条，圆内无切线.弦与弦心距：弦心距垂直且平分弦（推论：直径垂直弦必平分弦，平分弦（非直径）的直径必垂直弦）.对称性质：中心对称（对称中心为圆心）、轴对称（过圆心的直线）；对称时半径不变，仅圆心变换.2.核心公式与法则（1）圆的方程标准式：圆心，半径，.一般式：圆心，半径.直径式：端点、，方程，圆心，半径.示例：直径端点和的圆，方程，整理为.易错点：直径式方程展开符号错误，圆心坐标记错.（2）切线方程（期末高频）①过圆上一点的切线标准圆：过点的切线方程.原点圆：切线方程.示例：过上点的切线，方程（验证：圆心到直线距离）.易错点：忽略切线与半径垂直的条件，未验证距离.②过圆外一点的切线步骤：设切线方程（斜率不存在单独讨论），用圆心到直线距离等于半径列方程求.示例：过与相切的直线，解得，切线方程.易错点：遗漏斜率不存在的情况.（3）弦长公式（期末必考）表达式：弦长（为半径，为圆心到弦的距离）.示例：中，直线的弦长，圆心到直线距离，弦长.易错点：忘记乘系数“2”，直接用作为弦长.（4）圆与圆的位置关系（设两圆，，圆心距）位置关系数量关系外离外切相交内切内含公共弦方程：两圆方程相减，得（仅相交时有效）.示例：两圆与的公共弦方程，弦长.易错点：两圆不相交时仍求公共弦方程.（5）圆的对称问题关于点对称：圆心对称，半径不变；对称圆心.关于直线对称：圆心对称，半径不变；用点关于直线对称的方法求新圆心.示例：关于点的对称圆，原圆心，对称圆心，对称圆方程；关于直线的对称圆，原圆心的对称点，联立中点在直线上和垂直关系，解得，对称圆方程.易错点：对称时错误改变半径，或圆心对称点计算失误.（6）圆的综合题型（期末高频）①最值问题圆上点到直线的最值：圆心到直线距离，最大值，最小值.圆上点到定点的最值：定点到圆心距离，最大值，最小值.过圆外一点的切线长最值：切线长（为定点到圆心距离），最小时最小.示例：圆上点到直线的最值，圆心到直线距离，最大值，最小值.易错点：混淆“圆心到直线距离”与“定点到圆心距离”，导致最值计算错误.②轨迹问题解题思路：利用圆的定义（到定点距离为定长）或切线性质、中点坐标公式推导轨迹方程.示例：点，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程，设，则，代入圆方程得，整理为（轨迹为圆）.易错点：未将动点坐标转化为已知点坐标，直接列方程导致逻辑混乱.题型一直线倾斜角和斜率的关系答｜题｜模｜板1.明确已知条件：是“给倾斜角求斜率”还是“给斜率求倾斜角”；2.判定斜率是否存在：若，斜率不存在；若，用计算或反向求解；3.结合范围判断：→（增大，增大）；→（增大，增大）；4.总结结论（如斜率范围、倾斜角大小）.易错提醒忽略时斜率不存在的情况；【典例1】（25-26高二上·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】①当时，此时，倾斜角为，②当时，则，而，所以，则，综上所述，倾斜角的范围是.故选：C【典例2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案.【详解】由题意作图如下：设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，由图可知，由，，，则，，所以.故选：B.【变式1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为．【答案】【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式求出斜率，进而求出倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率，所以直线l的倾斜角为.故答案为：【变式2】（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案.【详解】直线的斜率为，故，又，故.故选：D【变式3】（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【详解】由，得，所以直线的方程恒过定点，斜率为．因为，所以．由题意可知，作出图形如图所示，

由图象可知，或，所以实数的取值范围为．故选：B．题型二直线方程的五种形式答｜题｜模｜板1.分析已知条件：已知“点+斜率”→点斜式（，存在）；已知“斜率+纵截距”→斜截式（，存在）；已知“两点”→两点式（，且）；已知“横截距+纵截距”→截距式（，且）；统一结果→一般式（，不同时为0）；2.代入已知条件求解参数（如等）；3.验证适用条件：排除特殊情况（如截距式不能表示过原点的直线）.易错提醒忽略斜率不存在的情况（需单独讨论，方程为）；截距式中误将“截距”当作“距离”（截距可正可负）.【典例1】【多选题】（23-24高二上·广西南宁·期末）下列说法错误的有（

）A．若，则直线l：的斜率大于0B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为【答案】ACD【分析】由直线的点斜式方程，截距式方程，斜截式方程判断选项的正误.【详解】对于A，，则直线l：的斜率为，A错误；对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误；对于D，截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，将代入，即，，即得，所以经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，D错误.故选：ACD.【典例2】【多选题】（22-23高二上·浙江杭州·期中）在下列直线方程中，表示经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据题意利用直线的截距式方程运算求解，注意讨论截距是否为0.【详解】设直线在x，y轴上截距分别为，则，当时，则直线过原点，设直线方程为，由题意可得：，即，故直线方程为；当时，则设直线方程为，由题意可得：，则，故直线方程为，即；综上所述：直线方程为或.故选：CD.【变式1】【多选题】（22-23高二上·吉林长春·期中）下列说法错误的是（

）A．直线必过定点B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为【答案】BCD【分析】A选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D选项计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.【详解】A选项，直线方程变形为，令，解得，即原直线必过定点，A正确；B选项，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为，B不正确；C选项，当时，无意义，故C不正确；D选项，直线经过定点，当直线经过M时，斜率为，当直线经过N点时，斜率为，由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，D不正确.故选：BCD.【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）.(1)边上的中线所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程；(3)边上的垂直平分线所在直线的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出AB的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解.（2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解.（3）根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合AC的中点，列点斜式方程，即可求解.【详解】（1）由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过，所以直线的方程为，即.（2）边所在直线的斜率，因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为，又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即.（3）由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为，所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为，所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即.【变式3】（23-24高二上·山东德州·月考）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．(1)求直线的方程；(2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）根据题意，求得，设点，求得，再求得点，进而求得的斜率，进而求得直线的方程．【详解】（1）解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为，可得直线的斜率，又因为的顶点，所以直线的方程为，即；所以直线的方程为.（2）解：直线边上的中线所在的直线方程为，由方程组，解得，所以点，设点，则的中点在直线上，所以，即，又点在直线上，，解得，所以，所以的斜率，所以直线的方程为，即直线的方程为．题型三两直线的位置关系，三个距离公式答｜题｜模｜板（1）两直线位置关系判定1.化两直线为一般式：，；2.判定斜率是否存在：平行：且（避免重合）；垂直：（无需讨论斜率）；3.求交点：联立方程，解方程组.（2）三个距离公式应用1.点到直线：步骤：确认直线方程为一般式→代入公式→计算结果；2.两平行线与：步骤：统一系数→代入公式→计算；3.两点与：公式：→直接代入计算.易错提醒计算平行线距离时未统一系数；判定垂直时仅用，忽略斜率不存在的情况.【典例1】【多选题】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线，直线，则下列说法正确的为（

）A．若，则B．若两条平行直线与间的距离为，则C．直线过定点D．点到直线距离的最大值为【答案】AC【分析】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解.【详解】由题，斜率为，，斜率为，对于A，若，则，即，故A正确；对于B，因为，所以，即，且即，又两条平行直线与间的距离为，所以或，故B错误；对于C，对，令，所以直线过定点，故C正确；对于D，由C可知直线过定点，所以要使点到直线距离最大，则，则点到直线距离的最大值为，故D错误.故选：AC.【典例2】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知直线.(1)若直线过点，且，求直线的方程；(2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据两直线垂直求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程；（2）直线的方程为，利用平行线间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程.【详解】（1）易知直线的斜率为，因为，所以直线的斜率为，又因为直线过点，所以，直线的方程为，即.（2）直线，设直线的方程为，因为直线与直线之间的距离为，由平行线间的距离公式可得，解得或，因此直线的方程为或.【变式1】【多选题】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知直线：与：，则（

）A．当时， B．当时，与重合C．当时， D．当时，与间的距离为【答案】BC【分析】根据直线的一般式方程和的相关性质.若两直线平行，则且；若两直线垂直，则；若两直线重合，则且.对于两平行直线间的距离公式为.我们将根据这些概念来逐一判断选项.【详解】对于A，当时，对于直线即，直线即.根据两直线平行的判定条件，，所以与不平行，A选项错误.对于B，当时，直线，直线.因为且，所以与重合，B选项正确.对于C，当时，直线，直线.根据两直线垂直的判定条件，成立，所以与垂直，C选项正确.对于D，当时，由，对于直线和，有，即，解得.当时两直线重合，当时，即，.根据两平行直线间的距离公式，则，D选项错误.故选：BC.【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线(1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围；(2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值.【答案】(1)或(2)4【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值【详解】（1）因为直线联立所以交点因为C在线段AB上，所以即解得所以或（2）因为直线联立所以交点令中则所以因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧，所以的面积为设所以所以当即时，S的最小值为4.【变式3】【多选题】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则或C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则【答案】AC【分析】根据直线垂直和平行得到关于的方程，解出即可判断AB，求出所过定点即可求出最大值，从而判断C；首先排除斜率不存在的情况，再利用二倍角的正切公式得到关于的方程，解出即可.【详解】对A，若，则，解得，故A正确；对B，若，则且，解得，故B错误；对C，因为，则过定点，所以原点到直线的距离，所以的最大值为，故C正确；对D，的倾斜角为，若时，与轴垂直，所以，而，所以，此时直线的斜率为，所以，所以，与假设矛盾，所以，所以直线的斜率存在，即，由得，所以，得到，解得，当，直线斜率均为负数，倾斜角都为钝角，不满足，故D错误.故选：AC.题型四直线方程的对称问题答｜题｜模｜板（1）点关于直线的对称点1.列方程组：中点在上：；连线：（斜率乘积=-1的一般式）；2.解方程组得.（2）直线关于直线的对称直线1.取上两个特殊点（如与坐标轴交点）；2.分别求关于的对称点；3.联立坐标，用两点式写出的方程.易错提醒求解对称点时漏列一个方程；直线对称时未取特殊点，导致计算复杂.【典例1】（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点.求:(1)点A关于直线l的对称点的坐标;(2)直线关于直线l的对称直线m'的方程;(3)直线l关于点对称的直线l'的方程.【答案】(1).(2).(3)【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标.（2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程.（3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程.【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以.（2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点，则解得故.设直线m与直线l的交点为N，则由解得即.又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为.（3）设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为在直线上，所以，即.【典例2】（21-22高二上·辽宁大连·月考）在中，已知点，的内角平分线BD所在的直线方程是，边上的中线所在的直线方程是，求：(1)点的坐标；(2)边所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出点，根据题意点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，列出方程组求解即可；（2）先求出点关于直线的对称点，则点在直线上，从而求出边所在直线的方程.【详解】（1）设点，依题意可知：点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，又点，则有：，解得：，所点的坐标为：.（2）设点关于直线的对称点为，则的中点坐标为，，于是，解得：，则，由（1）知，所以，所以边所在直线的方程为：，即.【变式1】（24-25高二上·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可．【详解】建立如图所求的直角坐标系，得，，则直线方程为，且的重心为，即，设，关于直线的对称点为，则，解得，则，易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，且，，所以直线的方程为，即，又直线过，所以，解得或（舍去），所以，，,所以，所以的周长为.故选：A．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标.【变式2】（24-25高二上·河南·月考）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案.【详解】设点关于直线的对称点为，则中点在直线上，即①，直线与直线垂直，即②，解得，即点关于直线的对称点为，又，所以，所以直线的方程为，即，由，解得，，所以当取得最小值时，点的坐标为．故选：B．【变式3】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线：.(1)若直线垂直于直线：，求的值；(2)求证：直线经过定点；(3)当时，求点关于直线的对称点的坐标.【答案】(1)1(2)证明见解析(3)【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解；(2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解.(3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解.【详解】（1）因为，所以，解得，故的值为；（2）因为，所以，所以，解得，所以直线恒过定点；（3）因为，所以直线，设点关于直线的对称点的坐标为，所以的中点坐标为，所以，解得，所以点关于直线的对称点的坐标为.题型五求圆的方程答｜题｜模｜板1.选择方程形式：已知“圆心+半径”→标准式；已知“三点坐标”或“一般条件”→一般式（）；2.设参数：标准式设，一般式设；3.代入已知条件：标准式：代入圆心坐标和半径关系（如点在圆上则代入满足方程）；一般式：代入三点坐标，列三元一次方程组；4.解参数，验证半径（一般式需满足）；5.写出最终方程.易错提醒一般式中遗漏的验证；已知圆心在某直线上时，未利用该条件减少参数.【典例1】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹．【答案】(1)(2)以为圆心，为半径的圆【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程．（2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹.【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上.因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率，所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:.因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为.又半径，所以圆的方程为:．（2）设，．由，得,所以即因为点在圆上，所以，所以，化简整理得的轨迹方程为:，所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆．【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知直线l过点，且__________．①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为．(1)求直线l的一般式方程；(2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）三种选择均可确定直线斜率，然后由点斜式可得直线方程.（2）设圆心C的坐标为，由（1）可得，然后由可得圆心坐标，进而可得半径，即可得答案.【详解】（1）若选①与直线平行，则直线l的斜率又其过点，故直线l的方程为，整理得若选②与直线垂直，则直线l的斜率k满足，解得又其过点，故直线l的方程为，整理得若选③直线l的方向向量为，则直线l的斜率又其过点，故直线l的方程为，整理得综上，直线方程为：（2）设圆心C的坐标为，因为C在上，所以①因为A，B是圆上两点，所以有即②.由①②得所以圆心C坐标为，圆的半径综上，所求圆的标准方程是【变式1】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.(1)求圆的标准方程；(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程.（2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程.【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为，∴圆的标准方程为.（2）设，.由，可得，则，又点在圆上，所以，即，化简得，∴点的轨迹方程为.【变式2】（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是；(1)的外接圆方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程；（2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程．【详解】（1）设△ABC的外接圆方程为.把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得:解此方程组，得.∴△ABC的外接圆方程是（2）设点，，∵点P是MN的中点，∴.∵点M在上运动，∴.即，整理得：.所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.【变式3】（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为．【答案】【分析】根据题意结合圆的性质求得圆心为，即可得半径和圆的方程.【详解】圆经过原点和点，可知圆心在线段的中垂线上，因为圆心在直线，联立方程，解得，即，可得半径，所以圆的标准方程为.故答案为：.题型六圆的方程中的最值问题答｜题｜模｜板（1）距离型最值（圆上点到直线/定点的距离）1.求圆心到直线（或定点）的距离；2.最值公式：最大值：；最小值：；（2）斜率型最值（如）3.列不等式→平方整理得关于的一元二次不等式；4.解不等式得的取值范围，边界值即为最值.（3）截距型最值（如）1.转化为直线方程：；2.直线与圆有交点→圆心到直线距离；3.列不等式→解关于的不等式；4.得到的最值（边界值）.【典例1】【多选题】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知实数满足圆的方程，则（

）A．圆心，半径为 B．的最大值为