专题02 圆与方程（5知识+8题型+1易错）（期末复习知识清单）（原卷版及全解全析）

5/5专题02圆与方程【清单01】圆的方程1、圆的标准方程，其中为圆心，为半径.知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2、圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.知识点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.【清单02】点与圆的位置关系1、点与圆的位置关系(1)、若点(2)、若点(3)、若点2、点与圆的位置关系：(1)、点P在圆外；(2)、点P在圆上；(3)、点P在圆内．【清单03】直线与圆的位置关系1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：相离相切相交图形量化方程观点几何观点【清单04】圆与圆的位置关系设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：位置关系相离外切相交内切内含图形几何特征代数特征公切线条数43210【清单05】有关圆的一些常用技巧与方法1、有关弦长问题的两种求法设直线被圆C截得的弦长为AB，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长公式：.若斜率为的直线与圆交于两点，则（其中），特别地，当时，；当斜率不存在时，.2、圆的切线方程常用结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为【题型一】圆的方程【例1】．（25-26高二上·贵州遵义·月考）设点，，则以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式1-1】．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是.【变式1-2】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）的三个顶点分别是、、(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程.(3)求的外接圆方程；

【题型二】与圆有关的轨迹方程【例2】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程；（2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程.【变式2-1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【变式2-2】．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知圆经过点，，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程．

【题型三】与圆有关的最值问题【例3】．（2025高三·全国·专题练习）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围．(1)；(2)；(3)；(4)．【变式3-1】．（24-25高二上·贵州·期中）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．12【变式3-2】．（21-22高三上·北京·月考）平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2

【题型四】直线与圆的位置关系的判断【例4】．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆.(1)过点作圆的切线，求的方程；(2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.【变式4-1】．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能【变式4-2】．（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为.

【题型五】圆的弦长问题【例5】．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知圆．(1)直线，求被圆截得的弦长；(2)求过点与圆相切的直线的方程（结果化为一般式）．【变式5-1】．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆的半径为3，圆心和点关于直线对称，则圆被直线截得的弦长等于（

）A． B． C．4 D．【变式5-2】．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．

【题型六】圆的切线问题【例6】．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为.【变式6-1】．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则【变式6-2】．（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线与圆交于，两点，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．【题型七】圆与圆的位置关系【例7】．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆.(1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程；(2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线(为切点)且，求点的轨迹方程．

【变式7-1】．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．【变式7-2】．（25-26高二上·陕西商洛·期中）圆：与圆：的位置关系是（

）A．内含 B．外切 C．内切 D．相交【题型八】直线与圆的综合应用【例8】．（25-26高二上·天津津南·月考）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．(1)求圆的方程；(2)若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程；(3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．

【变式8-1】．（25-26高二上·天津静海·期中）已知圆经过点，，且圆心在上，圆.(1)求圆的标准方程(2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长.

【题型一】容易忽略圆的一般方程的充要条件而致错【例1】．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【变式1-1】．（25-26高二上·河南信阳·期中）若方程表示圆，则的取值范围是（

）A． B． C． D．R【变式1-2】．（25-26高二上·广西河池·月考）方程表示一个圆，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．

专题02圆与方程【答案】一、1.2.二、1.d<r2.d=r3.d>r三、1.2.3.4.5.

【清单01】圆的方程1、圆的标准方程，其中为圆心，为半径.知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2、圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.知识点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.【清单02】点与圆的位置关系1、点与圆的位置关系(1)、若点在圆上(2)、若点在圆外(3)、若点在圆内2、点与圆的位置关系：(1)、点P在圆外；(2)、点P在圆上；(3)、点P在圆内．【清单03】直线与圆的位置关系1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：相离相切相交图形量化方程观点Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0几何观点deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r【清单04】圆与圆的位置关系设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：位置关系相离外切相交内切内含图形几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【清单05】有关圆的一些常用技巧与方法1、有关弦长问题的两种求法设直线被圆C截得的弦长为AB，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长公式：.若斜率为的直线与圆交于两点，则（其中），特别地，当时，；当斜率不存在时，.2、圆的切线方程常用结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为

【题型一】圆的方程【例1】．（25-26高二上·贵州遵义·月考）设点，，则以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求平面两点间的距离【分析】根据圆的定义和方程进行求解即可.【详解】因为，为直径，所以其中点即为圆心，那么圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为.故选：D.【变式1-1】．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是.【答案】【难度】0.65【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程【分析】利用代入法，通过解方程组进行求解即可.【详解】设圆的标准方程为，因为圆经过点，，且圆心在直线上，所以有，因此圆的标准方程为，故答案为：【变式1-2】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）的三个顶点分别是、、(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程.(3)求的外接圆方程；【答案】(1)；(2)；(3).【难度】0.65【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由圆心（或半径）求圆的方程、由两条直线垂直求方程、已知两点求斜率【分析】（1）先求出边上的高所在直线的斜率，再由点斜式即可求得直线的方程；（2）设圆心，则，又圆过点、，所以，联立方程即可求解；（3）设圆的一般方程为，将、、三点代入，联立求解，即可得圆的方程.【详解】（1）因为、，所以，则其高线的斜率，又高线过点，所以高线所在的直线方程为，即；（2）设圆心，因为圆心在直线上，所以①，又圆过点、，所以，即，化简得②，联立①②，解得，，圆的半径为，所以圆的标准方程为；（3）设的外接圆方程为，又、、在圆上，所以可得，解方程组得，所以的外接圆方程为，即.【题型二】与圆有关的轨迹方程【例2】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程；（2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆【分析】（1）设，根据结合两点间距离公式运算求解即可；（2）设，根据中点可得，代入圆的方程运算求解即可.【详解】（1）设，由题意可知：，即，则，整理可得，所以动点的轨迹方程为；（2）设，因为点为线段的中点，且，则，又因为点在圆上运动，则，可得，所以点的轨迹方程为.【变式2-1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、轨迹问题——圆【分析】（1）待定系数法求解圆的方程.（2）相关点法求动点的轨迹方程.【详解】（1）设圆的方程为，由题意可知，解得，所以圆的方程为.（2）设点的坐标为，点的坐标为，因为点的坐标是，点是线段的中点，所以，即，因为端点在圆上运动，所以，代入可得，即，因此线段的中点的轨迹方程为.【变式2-2】．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知圆经过点，，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程【分析】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可.（2）设出和的坐标，由向量坐标运算公式用的坐标表示的坐标，然后代入圆的方程即可求解．【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，所以弦的垂直平分线的方程为，即，与直线联立解得：，，所以圆心坐标为，所以圆的半径，则圆的方程为：；（2）设，，，则有，，．由，可得，解之得，由点在圆上，得，所以，即，故点的轨迹方程为.【题型三】与圆有关的最值问题【例3】．（2025高三·全国·专题练习）点是曲线上的动点，求下列各式的取值范围．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【难度】0.65【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、定点到圆上点的最值（范围）【分析】（1）（2）（3）（4）根据目标式的几何意义，结合图形，利用圆的性质求解即可.【详解】（1）点在以为圆心，为半径的半圆上，记，表示点到点的距离平方减1，如图1．因为，，所以．（2）设直线，为直线在轴上的截距，如图2．圆心到直线的距离为，解得．当过点时，有，结合图象可知．（3）令，表示过点和的直线斜率，将点代入，得．又由，得．圆心到直线的距离为1，即，即，化简并整理得．解得．由图3可知，取，故．（4）如图4，令，化简得，即．表示过点和的直线斜率加2，由得．令，即，由得，化简并整理得，解得．由图4可知，故．【变式3-1】．（24-25高二上·贵州·期中）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．12【答案】C【难度】0.65【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）【分析】令，利用判别式法即可.【详解】令，则，由，得，整理得，，因为存在实数满足等式，所以，解得，则的最大值为，此时，.故选：C.【变式3-2】．（21-22高三上·北京·月考）平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.【详解】解：为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为.故选：B.【题型四】直线与圆的位置关系的判断【例4】．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆.(1)过点作圆的切线，求的方程；(2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.【答案】(1)或(2)相交，弦长为【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、过圆外一点的圆的切线方程【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程；（2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线截圆所得弦长.【详解】（1）圆的圆心为，半径为.若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意，若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.（2）圆心到直线的距离为，故直线与圆相交，直线被圆所截得的弦长为.【变式4-1】．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能【答案】C【难度】0.65【知识点】判断直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系求参数【分析】根据点与圆的位置关系得出，再利用的关系判断直线与圆的位置关系.【详解】因点在圆内，则，则点到直线的距离，则直线与圆相离.故选：C【变式4-2】．（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为.【答案】3【难度】0.65【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、已知切线求参数、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切，结合点线距离公式列方程求参数.【详解】由可化为且，所以圆心为，半径为，由直线与圆相切，则，可得.故答案为：3【题型五】圆的弦长问题【例5】．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知圆．(1)直线，求被圆截得的弦长；(2)求过点与圆相切的直线的方程（结果化为一般式）．【答案】(1)；(2)【难度】0.65【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦【分析】（1）通过点到直线的距离公式结合弦长公式，求解直线被圆截得的弦长；（2）先判断点在圆上，利用切线与半径垂直的性质求斜率，再由点斜式得到切线方程.【详解】（1）由配方得，故圆心，半径.圆心到直线的距离：.由弦长公式，弦长为.（2）先判断点与圆的位置：代入圆的方程，，故在圆上.圆心与连线的斜率：.切线与半径垂直，故切线斜率.由点斜式得切线方程：，整理为一般式：.

【变式5-1】．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆的半径为3，圆心和点关于直线对称，则圆被直线截得的弦长等于（

）A． B． C．4 D．【答案】B【难度】0.65【知识点】圆的弦长与中点弦、求点关于直线的对称点【分析】设圆心，根据题意，列出方程组，求得，结合圆的弦长公式，即可求解.【详解】设圆心，因为圆心和点关于直线对称，可得，解得，即圆心，则圆心到直线的距离为，所以圆被直线截得的弦长为.故选：B.【变式5-2】．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知圆：和圆：，若位于第一象限的点在两圆的公共弦上，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】相交圆的公共弦方程、基本不等式求和的最小值【分析】判断两圆相交，求出两圆公共弦方程，由点在两圆的公共弦上，得，根据均值不等式求出的最小值.【详解】由题知：圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径，易证得，故两圆相交，则其公共弦的方程为，即，则在，即有，则，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为．故选：C．【题型六】圆的切线问题【例6】．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为.【答案】或【难度】0.65【知识点】已知切线求参数、由圆心（或半径）求圆的方程【分析】由已知可设圆心为，半径，再根据直线与圆相切，可得解.【详解】由已知圆的圆心在直线上，则设，又圆与轴相切，所以半径，圆的方程为因为圆与直线相切，所以，化简得，解得或，所以圆的方程为或，故答案为：或.【变式6-1】．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则【答案】【难度】0.65【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、已知切线求参数【分析】求出反射光线所在直线的方程，利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式可求出正数的值.【详解】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即，由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切，且圆心为，半径为，可得，由于，解得.故答案为：.【变式6-2】．（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线与圆交于，两点，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【难度】0.65【知识点】圆的弦长与中点弦、直线过定点问题【分析】求出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时的直线与的位置关系，即可得结果.【详解】直线即恒过，又，即在圆C内，要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由，圆的半径为5，所以.故选：A【题型七】圆与圆的位置关系【例7】．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆.(1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程；(2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线(为切点)且，求点的轨迹方程．【答案】(1)，(2)【难度】0.65【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程、轨迹问题——圆【分析】（1）直接把两圆方程作差，可得圆与圆的公共弦所在的直线方程；求出圆的圆心关于直线对称点，即可求得圆的方程；（2）设，由切线长公式结合可得点的轨迹方程.【详解】（1）如图所示，由两式相减，化简得，所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，又∵圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为，，解得，∴圆方程为．（2）由，根据切线长公式，可得，设，则，化简得，点的轨迹方程.【变式7-1】．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】相交圆的公共弦方程【分析】将两个圆的方程相减可得直线的方程.【详解】两圆和，两圆方程相减可得：，即相交弦所在的直线方程为，故选：A【变式7-2】．（25-26高二上·陕西商洛·期中）圆：与圆：的位置关系是（

）A．内含 B．外切 C．内切 D．相交【答案】B【难度】0.65【知识点】判断圆与圆的位置关系【分析】求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出，比较和的大小得到两圆的位置关系.【详解】：，圆心，半径，：，圆心，半径，，，，圆：与圆：的位置关系是外切.故选：B.【题型八】直线与圆的综合应用【例8】．（25-26高二上·天津津南·月考）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．(1)求圆的方程；(2)若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程；(3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．【答案】(1);(2)或；(3).【难度】0.65【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由圆的位置关系确定参数或范围、已知圆的弦长求方程或参数【分析】（1）利用垂直平分线交点来求出圆心坐标，再求出半径，即可求出圆的方程；（2）对直线的斜率是否存在分别讨论，设出直线方程，再由垂径定理把弦长问题转化为圆心到直线距离问题求解即可；（3）设，，表示中点，将点代入圆，若存在，则方程组有解，利用数形结合，把方程有解问题转化为两圆有公共点问题，再根据两圆位置满足的关系式，利用恒成立思想可求得圆的半径的取值范围，再由点P在圆外，综合可得的范围.【详解】（1）由题意，，，，的垂直平分线是，又，的中点是，的垂直平分线斜率为，即的垂直平分线方程是，所以由，解得，所以圆心是，，即圆的方程是；（2）过点作直线的垂线，垂足为，由圆截得的弦长为6，可得，再由圆的半径，可得，所以当斜率存在时，可设过点的直线方程为，再由点到直线的距离公式可得：，则直线方程为，当斜率不存在时，此时过点的直线方程为，再由点到直线的距离公式可得：，满足题意，综上可得，直线的方程为或；（3）因为，，所以直线的方程为，即，设，因为点在线段上，所以且，所以.设，因为为的中点，所以.设圆：，由，在圆