高三二轮复习试题数学专题突破练4平面向量的综合应用

专题突破练4平面向量的综合应用必备知识夯实练1.(2023全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,ab>=()A.117 B.17C.55 D.2.(2025浙江金华三模)已知|a|=1,|a+b|=5,向量a与b的夹角为π4,则|b|=(A.1 B.2 C.3 D.223.(2024全国甲,理9)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则()A.x=3是a⊥b的必要条件B.x=3是a∥b的必要条件C.x=0是a⊥b的充分条件D.x=1+3是a∥b的充分条件4.(2025江苏南通一模)若非零向量a,b满足|a|=2|b|,且向量b在向量a上的投影向量是14a,则向量a与b的夹角为(A.π6 B.2C.5π65.(2025湖南长沙模拟)已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,则AF·AB=(A.23 B.5C.1 D.76.(2025山东烟台一模)在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,BC=3BD,则|AD|=()A.7 B.13 C.21 D.277.(2025江苏南京二模)在四边形ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,F是线段BE上的动点,可以与点B,E重合,则FB·FC的最小值为(A.43B.B.5C.45 D.8.(2025广东惠州模拟)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a2b)⊥a,则|ab|=.9.(2025江苏南京模拟)如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设AM=xAB,AN=yAC,则x+4y的最小值为关键能力提升练10.(2025山东济南二模)在正方形ABCD中,AB=4,E为AB的中点,F为BC边上靠近点C的四等分点,AF与DE交于点M,则cos∠EMF=()A.2525 B.C.252511.(2022北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是(A.[5,3] B.[3,5]C.[6,4] D.[4,6]12.(多选题)(2025浙江台州二模)已知|a|=2,|b|=3,|c|=4,则下列选项正确的是()A.|a+b+c|的取值范围是[0,9]B.(a+b)·(a+c)的最大值为30C.(a+b)·(a+c)的最小值为21D.(a+b)·(a+c)的最小值为1013.(2025北京,10)已知在平面直角坐标系xOy中,|OA|=|OB|=2,|AB|=2,设C(3,4),则|2CA+AB|的取值范围是(A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12]核心素养创新练14.(2025山东青岛模拟)“超椭圆”C:xan+ybn=1(n>0)是一种优美的封闭曲线.如图是当n=12,a=b=1时C的图象,点Q是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,BA.[18,58]C.[0,58] D.[0,7

答案：1.B解析∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),ab=(1,1).则有cos<a+b,ab>=(a+b2.B解析因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|×22+|b|2=|b|2+2|b|+1=5,解得|b|=2或|b|=22(舍去).故选3.C解析若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=3.若a∥b,则2(x+1)x2=0,解得x=1+3或x=13.故选C4.B解析∵b在a上的投影向量为a·b|a|2·a=14a,∴a·b|a|2=14,∴a·b=1∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>=2π3.5.B解析因为AD∥BE,所以∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF,所以△FEB∽△FAD,所以AFEF=ADEB=2,所以AF=23AE=23(AB+12AD)=23AB6.C解析在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,BC=3BD,所以AD=AB+BD则|AD|=4=4=4=21故选C.7.C解析如图,以A为坐标原点,以直线AB,AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.因为AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,所以A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),E(0,1),而F是线段BE上的动点,从而可设AF=λAB+(1λ)AE=(2λ,0)+(0,1λ)=(2λ,1λ),λ∈[0,1],所以点F的坐标是(2λ,1λ),所以FB=(22λ,1+λ),FC=(12λ,1+λFB·FC=(22λ)(12λ)+(1+λ)(1+λ)=4λ26λ+2+λ21=5λ26λ+1=5(λ-所以当λ=35时,FB·FC取最小值48.2解析因为(a2b)⊥a,所以(a2b)·a=0,即a22a·b=0,因为|a|=1,所以2a·b=1,又|b|=2,所以|ab|=(a-b9.3解析因为点G为△ABC的重心,可得AG=13(又因为G,M,N三点共线,所以13x易知x>0,y>0,所以x+4y=(x+4y)(13x+13y)=13(5+4yx+当且仅当x=1,y=12时,等号成立,所以x+4y的最小值为310.A解析如图,∠EMF为DE,AF的夹角,而所以|DE|=(=DA=16+0+4=25,|AF|=(=AB=16+0+9=5,DE·AF=(DA+AE)·(AB+BF)=DA·AB+DA综上,cos∠EMF=DE·AF|DE||AF|11.D解析如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π],∴PA·PB=(3cosθ,sinθ)·(cosθ,4sinθ)=3cosθ4sinθ+sin2θ+cos2θ=15sin(θ+φ),其中tanφ=34,∵1≤sin(θ+∴4≤PA·PB≤612.ABC解析由向量模长的三角不等式得|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|=2+3+4=9,当且仅当a,b,c同向时,取得最大值9.当向量a,b,c首尾顺次连接构成封闭的三角形时,a+b+c=0,模长为0,由于长度为2,3,4的边满足任意两边之和大于第三边,所以这样的三角形是存在的,故|a+b+c|的取值范围是[0,9],故A正确.因为(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=4+8cos<a,c>+6cos<a,b>+12cos<b,c>,当a,b,c同向时,cos<a,c>=cos<a,b>=cos<b,c>=1,(a+b)·(a+c)的最大值为4+8+6+12=30,故B正确;因为(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=a2+a·(c+b)+b·c,设d=b+c,则上式为|a|2+a·d+b·c①,当a与d反向时,a·d=2×|d|cosπ=2|d|,d·d=(b+c)·(b+c)=|b|2+|c|2+2b·c=9+16+2b·c,所以b·c=|d|2-252,代入①式得42|d|+|d|2-252=|d|2-4|d|-172=(|d|-2)2-212,所以当|d|=2时,(a+b)·(a+c)13.D解析∵|OA|=|OB|=2,|AB|=2,∴OA⊥OB,A,B两点在以O为圆心,2为半径的圆上.取AB的中点H,可知|OH|=1,∴点H在以O为圆心则|2CA+AB|2=4CA2+4CA·AB+AB2=4CA(CA+AB)+4=4CA·CB+4=4(CH+HA)(CH+HB)+4=4(CH2-HA2)∵|CO|1≤|CH|≤|CO|+1,|CO|=5,∴4≤|CH|≤6,即8≤2|CH|≤12.故选D.14.D解析当n=12,a=b=1时,曲线C的方程为|x|+|y|=1,在曲线C上任取一点P(x,y),则点P关于原点的对称点为点P'(x,y),则|-x|+|-y|=|x|+|y|=1,即点P'在曲线C上,所以曲线C关于原点对称,同理可知,曲线C关于x轴、y轴对称.因为过原点O的直线交C于点A,B,则点A,B关于原点对称.在曲线C的方程中,令x=0,可得y=±1,即点Q(0,1),则QA·QB=(QO+OA)·(QO-OA)=QO2-OA2=1|OA|2.由对称性,不妨设点A(x,y),其中0≤x≤1,0≤y≤1,则x+y=1,|OA|2=x2+y2