求二次函数的表达式课件-华东师大版（2012）数学九年级下册

第1页：封面标题：26.3.1求二次函数的表达式副标题：从基础方法到综合场景的深度应用落款：初中数学教研组第2页：学习目标与知识梳理一、学习目标熟练运用一般式、顶点式、交点式求解二次函数表达式，能根据条件灵活选择最优形式掌握含参数、与几何图形结合的二次函数表达式求解方法提升分析复杂条件、转化数学问题的能力，强化方程思想与数形结合思想二、知识梳理（二次函数三种形式核心要点）函数形式解析式待定系数核心条件要求求解关键步骤一般式\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）\(a,b,c\)3个独立的点坐标（任意位置）代入列三元方程组→解方程组→验证顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)）\(a,h,k\)顶点\((h,k)\)（或对称轴+最值）+1个点确定\(h,k\)→代入点求\(a\)→整理交点式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)）\(a,x_1,x_2\)与x轴2个交点\((x_1,0),(x_2,0)\)+1个点确定\(x_1,x_2\)→代入点求\(a\)→整理第3页：基础方法回顾与易错点强化一、基础方法快速回顾（以典型例题为例）一般式应用：已知二次函数过\((1,-1)\)、\((2,0)\)、\((0,-3)\)，求表达式解：设\(y=ax^2+bx+c\)，代入得：\(\begin{cases}a+b+c=-1\\4a+2b+c=0\\c=-3\end{cases}\)解得\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=-3\)，表达式为\(y=x^2+x-3\)。顶点式应用：已知二次函数对称轴为\(x=2\)，最小值为\(-5\)，过\((3,-4)\)，求表达式解：对称轴\(x=2\)即\(h=2\)，最小值\(-5\)即\(k=-5\)，设\(y=a(x-2)^2-5\)；代入\((3,-4)\)得\(-4=a(3-2)^2-5\)，解得\(a=1\)，表达式为\(y=(x-2)^2-5\)。交点式应用：已知二次函数与x轴交于\((2,0)\)、\((-3,0)\)，过\((1,12)\)，求表达式解：设\(y=a(x-2)(x+3)\)，代入\((1,12)\)得\(12=a(1-2)(1+3)\)，解得\(a=-3\)；表达式为\(y=-3(x-2)(x+3)\)（或化为一般式\(y=-3x^2-3x+18\)）。二、高频易错点强化训练交点式符号陷阱：若二次函数与x轴交于\((-1,0)\)、\((5,0)\)，易误设为\(y=a(x+1)(x-5)\)（正确），而非\(y=a(x-1)(x+5)\)（错误），需牢记“交点横坐标是\(x_1,x_2\)，解析式为\((x-x_1)(x-x_2)\)”。顶点式与最值对应：若二次函数有最大值\(3\)，则\(k=3\)且\(a<0\)；有最小值\(-2\)，则\(k=-2\)且\(a>0\)，避免忽略\(a\)的符号与最值的关联。第4页：进阶场景1：含参数的二次函数表达式求解一、核心思路含参数的问题中，参数通常作为已知条件的一部分（如点坐标含参数、对称轴含参数），需通过列方程将参数与待定系数结合，共同求解。二、实例解析例1：已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)过\((1,2)\)、\((2,m)\)、\((3,8)\)，且对称轴为\(x=2\)，求表达式及\(m\)的值。分析条件：对称轴\(x=2\)，即\(-\frac{b}{2a}=2\)（关系式①）；代入点坐标：代入\((1,2)\)：\(a+b+c=2\)（关系式②）；代入\((3,8)\)：\(9a+3b+c=8\)（关系式③）；解方程组：③-②得\(8a+2b=6\)（关系式④），结合①\(b=-4a\)，代入④得\(8a-8a=6\)？（此处发现矛盾，实际应为计算错误，正确③-②得\(8a+2b=6\)，代入\(b=-4a\)得\(8a-8a=6\)不成立，说明题目需调整，正确题目应为过\((1,2)\)、\((2,m)\)、\((3,6)\)，此时③-②得\(8a+2b=4\)，代入\(b=-4a\)得\(0=4\)仍错，正确题目应为过\((0,2)\)、\((2,m)\)、\((3,8)\)，此时：②：\(c=2\)，③：\(9a+3b+2=8\)→\(3a+b=2\)，结合①\(b=-4a\)，解得\(a=-2\)，\(b=8\)，表达式为\(y=-2x^2+8x+2\)，代入\((2,m)\)得\(m=10\)）。例2：已知二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)过\((t,5)\)、\((t+2,5)\)，且最小值为\(3\)，求表达式（含\(t\)）。分析：两点\((t,5)\)、\((t+2,5)\)纵坐标相同，对称轴为两点横坐标中点，即\(h=\frac{t+t+2}{2}=t+1\)；最小值为\(3\)，故\(k=3\)，\(a>0\)，设表达式为\(y=a(x-(t+1))^2+3\)；代入\((t,5)\)得\(5=a(t-(t+1))^2+3\)→\(a=2\)；表达式为\(y=2(x-t-1)^2+3\)。第5页：进阶场景2：与几何图形结合的表达式求解一、核心思路先根据几何图形的性质（如边长、面积、坐标关系）提取二次函数图象上的点坐标或对称轴、最值等条件，再转化为常规的表达式求解问题。二、实例解析例1：如图，在平面直角坐标系中，矩形\(OABC\)的顶点\(O(0,0)\)、\(A(4,0)\)、\(C(0,3)\)，抛物线过\(O\)、\(A\)两点，且顶点在矩形内部，求抛物线的顶点式表达式（至少写2个）。分析条件：抛物线过\(O(0,0)\)、\(A(4,0)\)，与x轴交点为\((0,0)\)、\((4,0)\)，对称轴为\(x=2\)（中点），设顶点式\(y=a(x-2)^2+k\)；顶点\((2,k)\)在矩形内部：矩形\(OABC\)中\(x\in[0,4]\)，\(y\in[0,3]\)，故\(0<k<3\)；代入\(O(0,0)\)得\(0=a(0-2)^2+k\)→\(k=-4a\)，结合\(0<k<3\)，取\(a=-0.5\)，则\(k=2\)，表达式为\(y=-0.5(x-2)^2+2\)；取\(a=-0.6\)，则\(k=2.4\)，表达式为\(y=-0.6(x-2)^2+2.4\)。例2：已知抛物线过点\(A(1,0)\)，且与直线\(y=x-3\)交于点\(B(3,0)\)、\(C(2,-1)\)，求抛物线表达式。分析：抛物线过\(A(1,0)\)、\(B(3,0)\)，与x轴交点明确，用交点式；设\(y=a(x-1)(x-3)\)，代入\(C(2,-1)\)得\(-1=a(2-1)(2-3)\)→\(a=1\)；表达式为\(y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3\)。第6页：综合场景：多条件融合的表达式求解一、核心思路当题目同时给出多种条件（如顶点、交点、与直线的位置关系）时，需筛选关键条件确定函数形式，再用剩余条件验证或补充求解。二、实例解析例：已知二次函数图象满足以下条件：①过点\((0,-6)\)；②对称轴为\(x=1\)；③与x轴的两个交点之间的距离为4。求该二次函数的表达式。分析条件：由②对称轴\(x=1\)和③两交点距离为4，设与x轴交点为\((1-2,0)=(-1,0)\)、\((1+2,0)=(3,0)\)（两点关于对称轴对称，距离中点的距离为2）；设表达式：用交点式\(y=a(x+1)(x-3)\)；代入①\((0,-6)\)得\(-6=a(0+1)(0-3)\)→\(a=2\)；表达式为\(y=2(x+1)(x-3)=2x^2-4x-6\)；验证：对称轴\(x=-\frac{-4}{2\times2}=1\)，与x轴交点\((-1,0)\)、\((3,0)\)，距离为4，过\((0,-6)\)，所有条件满足。第7页：课堂练习（分层设计）一、基础巩固题已知二次函数过\((2,5)\)、\((0,5)\)、\((1,3)\)，求表达式（答案：\(y=2x^2-4x+5\)）；已知二次函数顶点为\((1,-2)\)，且过\((0,-1)\)，求表达式（答案：\(y=(x-1)^2-2=x^2-2x-1\)）。二、进阶提升题已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)过\((1,3)\)、\((3,3)\)，且与y轴交于\((0,9)\)，求表达式及最大值（答案：\(y=2x^2-8x+9\)，最大值不存在，最小值为1）；已知抛物线与x轴交于\((2,0)\)，且过\((1,3)\)、\((3,3)\)，求表达式（答案：\(y=3(x-1)(x-3)=3x^2-12x+9\)）。三、综合挑战题已知二次函数图象过点\((1,4)\)，且当\(x=2\)时，\(y=5\)，对称轴为\(x=3\)，求表达式（答案：\(y=-x^2+6x-1\)）。第8页：课堂小结与作业布置一、课堂小结核心方法：三类基础形式（一般式、顶点式、交点式）的选择依据的是“条件与形式的匹配度”，优先选择计算量小的形式；进阶技巧：含参数问题需建立参数与待定系数的方程，几何结合问题需先转化为坐标或对称轴条件，多条件问题需筛选关键条件破题；验证习惯：求出表达式后，务必代入所有已知条件验证，避免计算错误。二、作业布置必做：完成教材中综合应用部分的3道习题，涵盖基础形式与进阶场景；选做：已知抛物线过\((1,2)\)、\((2,1)\)，且与x轴、y轴的交点分别为\(A\)、\(B\)，若\(OA+OB=3\)（\(O\)为原点），求抛物线表达式（提示：设一般式，用交点坐标表示\(OA\)、\(OB\)）。2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师：

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26.3.1求二次函数的表达式第26章二次函数aiTujmiaNg

问题引入

如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？利用二次函数解决实物抛物线形问题建立函数模型这是什么样的函数呢？

拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数上述问题，你能想出办法来吗？探究怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为xOy-2-421-2-1AxOy-221-2-1A问题3

如何确定

a

的值？因此，，其中｜x｜是水面宽度的一半，y

是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．已知水面宽

4

m时，拱顶离水面高

2

m，因此点

A(2，-2)在抛物线上，由此得出解得由于拱桥的跨度为4.9m，因此自变量

x的取值范围是：水面宽3m时，从而因此拱顶离水面高1.125m现在你能求出水面宽3m时，拱顶离水面高多少吗？这条抛物线表示的二次函数为

y

=xOy−2−421−2−1B问题4

水面下降1m，水面宽度增加多少？当水面下降1m时，水面的纵坐标为

-3.令

解得即水面下降1m时，水面宽度增加我们来比较下面这些建系的方法（0，0）（4，0）（2，2）（-2，-2）（2，-2）（0，0）（-2，0）（2，0）（0，2）（-4，0）（0，0）（-2，2）谁最合适？为什么？yyyyooooxxxx解：设该拱桥形成的抛物线的表达式为

y=ax2.∵该抛物线过(10，-4)，∴-4=100a，a=-0.04.∴y=-0.04x2.

有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的表达式；OACDByx20mh练一练知识要点建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解

例1某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子

OA，O恰在水面中心，

OA=1.25m，由柱子顶端

A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离

OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？典例精析解：建立如图所示的坐标系，根据题意得

A点坐标为

(0，1.25)，顶点

B坐标为(1，2.25).数学化o●C●Dxy●

B(1，2.25)

(0，1.25)A●根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.

当

y=0时，可求得点

C的坐标为(2.5，0)；同理，点D的坐标为(-2.5，0).设

y轴右侧的抛物线为

y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为

y=-(x-

1)2+2.25.●B(1,2.25)

(0,1.25)oAxy●D●C

例2

如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？典例精析利用二次函数解决运动中抛物线型问题解：建立如图的直角坐标系.则点

A的坐标是(1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为

B(0，3.5).以点

C表示运动员投篮球的出手处.xyO设此以

B(0，3.5)为顶点的抛物线表达式为

y

=

ax2+3.5.所以该抛物线的表达式为

y

=-0.2x2+

3.5.当x

=

-2.5时，y

=

2.25.故该运动员出手时篮球的高度为2.25m.而点

A(1.5，3.05)在这条抛物线上，所以有

1.52a+3.5

=

3.05，xyO解得

a

=

-0.2.

某商品现在的售价为每件

60元，每星期可卖出

300件，已知商品的进价为每件

40元，则每星期销售额是

元，销售利润是

元.探究交流180006000数量关系（1）销售额

=

单价×销售量；（2）利润

=

销售额

-

总成本

=单件利润×销售量；（3）单件利润

=

销售单价

-

进价.利润最大问题例3

某商品现在的售价为每件

60元，每星期可卖出

300

件．市场调查反映：每涨价

1元，每星期少卖出

10

件；每降价

1

元，每星期可多卖出

20

件．已知该商品的进价为每件

40

元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①设每件涨价

x元，每星期获得的利润为

y元，填空：单件利润(元)销售量

(件)每星期利润(元)正常销售涨价销售2030020+x300-

10x(20+x)(300-

10x)则

y=(20+x)(300-

10x)

=-10x2

+

100x

+

6000.6000②自变量

x的取值范围如何确定？

营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-

10x≥0，且

x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当

时，y=-10×52+100×5+6000=6250.即涨价

5元时利润最大，最大利润是

6250元.降价销售①设每件降价

x元，每星期获得的利润为

y

元，填空：单件利润(元)销售量(件)每星期利润(元)正常销售降价销售20300(20−

x)(300+20x)(20−

x)(300+20x)所得利润

y=(20−

x)(300+20x)=−20x2+100x+6000.6000综上可知，定价

65元时利润最大，最大利润是

6250元.②自变量

x的取值范围如何确定？

营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20−x≥0，且

x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③降价多少元时，利润最大？最大利润是多少？当

时，

即降价2.5元时，最大利润是6125

元.y=−20x2+100x+6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗?知识要点求解最大利润问题的一般步骤(1)建立利润与价格之间的函数关系式：

运用“总利润

=

总售价

-

总成本”或“总利润

=

单件利润×销售量”；(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围；(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：

可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出

函数的简图，利用简图和增减性求出.y

=(160

+

10x)(120

-

6x)

某旅馆有客房

120

间，每间房的日租金为

160

元，每天都客满．经市场调查，若一间客房日租金每增加

10

元，则客房每天少出租

6

间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？解：设每间客房的日租金提高

10x

元，则每天客房出租数减少

6x

间，则有练一练=－60(x－2)2+19440.∵x≥0，且120－6x＞0，∴0≤x＜20.当

x=

2时，y

有最大值，且

y最大

=19440.答：每间客房的日租金提高到

180

元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为19440元.这时每间客房的日租金为

160

+

10×2

=

180(元).1.

某种商品每件的进价为

20元，调查表明：在某段时间内若以每件

x元(20≤x≤30)出售，可卖出

(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为

元.252.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少

5件，那么每月售出衬衣的总件数

y(件)与衬衣售价

x(元)之间的函数关系式为

.每月利润

w(元)与衬衣售价

x(元)之间的函数关系式为

.(以上关系式只列式不化简).

y=2000-

5(x

-

100)w=[2000-

5(x

-

100)](x

-

80)3.足球被从地面上踢起，它距地面的高度

h(m)

可用公式

h

=

-4.9t2+

19.6t来表示，其中

t

(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在

s后落地.44.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度

y(米)关于水平距离

x(米)的函数表达式为

，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为

米.xyO25.

某公园草坪的防护栏是由

100

段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距

0.4

m

加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部

0.5

m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(

)

A.

50

m

B.

100

mC.

160

m

D.

200

mCxy516O76.某种商品每天的销售利润

y(元)与销售单价

x(元)之间满足关系：y=ax2

+bx-75，其图象如图.(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？解：由题图可求得

y=-x2+20x-75.∵-1<0，对称轴

x=10，∴当

x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，最大利润为25元.(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于

16元？解：由对称性知

y=16

时，x1

=7

和

x2

=13.故销售单价在

7元到13

元