幂的运算第2课时

幂的运算（第2课时）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．1．同底数幂的乘法的运算法则：符号语言：文字语言：2．am·an·ap＝_________（m，n，p都是正整数）．am＋n＋p5．同底数幂的乘法的逆运算：同底数幂的乘法的运算法则可以逆用，即

（m，n都是正整数）．当指数为多项式且项数大于等于3时同样适用，即

（m，n，p都是正整数）．3．a＝_____．4．当底数不同时，转化为___________后，再进行运算．a1同底数幂am＋n＝am·anam＋n＋p＝am·an·ap（1）一个正方体的棱长是102，则它的体积是多少？（2）100个104相乘，可以记作什么？(104)100．(102)3＝102×102×102＝102＋2＋2＝106．问题（3）先说出下列各式的意义，再计算下列各式：(23)2表示____________；(a4)3表示____________；(am)5表示____________．

2个23相乘3个a4相乘5个am相乘从上面的计算中，你发现了什么规律？(23)2＝23×23＝23＋3＝26；(a4)3＝a4·a4·a4＝a4＋4＋4＝a12；(am)5＝am·am·am·am·am＝am＋m＋m＋m＋m＝a5m．问题(am)n等于什么？n个am＝am＋m＋…＋

m

＝amn．(am)n＝amn说明：（乘方的意义）（同底数幂的乘法的运算法则）n个m猜想(am)n

＝am·am·…·am

幂的乘方，底数不变，指数相乘．(am)n＝amn（m，n都是正整数）．幂的乘方的运算法则多重乘方可以重复运用上述法则：[(am)n]p＝amnp（m，n，p都是正整数）．幂的乘方，底数不变，指数相乘．(am)n＝amn（m，n都是正整数）．幂的乘方的逆运算是怎样的呢？amn＝(am)n＝(an)m（m，n都是正整数）．幂的乘方的运算法则幂的运算公式运算的种类计算结果底数指数同底数幂的乘法am·an＝am＋n乘法不变相加幂的乘方(am)n＝amn乘方不变相乘同底数幂的乘法与幂的乘方运算法则的比较(－a2)5和(－a5)2的结果相同吗？为什么？思考不相同．(－a2)5表示5个－a2相乘，其结果带有负号；(－a5)2表示2个－a5相乘，其结果没有负号．1．进行幂的乘方运算时，要注意系数为－1时的“－”号、括号里的“－”号与括号外的“－”号的区别．归纳2．当算式中不止一种运算时，要分清运算的顺序及运算的法则．解：（1）

；

（2）；（3）；

（4）．

例1

计算：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）．幂的运算——定符号，用法则当运用幂的有关运算法则计算时，要注意区别幂的乘方和同底数幂的乘法法则的应用．若幂中含有负号，先确定符号，再利用法则进行计算；若式子中同时含有乘方与乘法运算，先算乘方，再算乘法．例2

若2x＝5，2y＝3，则22x＋y＝_______．因为2x＝5，2y＝3，所以

22x＋y

＝22x×2y

＝(2x)2×2y

＝52×3

＝75．幂的乘方的逆运算同底数幂的乘法的逆运算解析：整体代入法75整体代入法当已知中的字母不能求出时，把待求的代数式用已知的代数式表示出来，然后用整体代入的方法进行求解．例3已知

a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，则这四个数从大到小的排列顺序是_______________．a＝2555＝(25)111＝32111，b＝3444＝(34)111＝81111，c＝4333＝(43)111＝64111，d＝5222＝(52)111＝25111．因为81＞64＞32＞25，所以b＞c＞a＞d．解析：观察指数555，444，333，222有什么特点？都是111的整数倍．b＞c＞a＞d逆用幂的运算法则（1）作用：逆用幂的运算法则，常能化繁为简，化难为易，有事半功倍的效果．（2）变化规律：①指数为和的形式，转化为同底数幂的乘法；②指数为积的形式，转化为幂的乘方．观察下列动图，进一步巩固对幂的乘方运算法则的理解和记忆．观察下列动图，进一步巩固对幂的乘方运算法则的理解和记忆．如图，时代中学准备将边长为am的正方形花坛，扩大成边长为2am的正方形花坛．扩大后新花坛的面积是多少平方米？2a2a新花坛的边长为2am，所以新花坛的面积是(2a)2m2．怎么计算呢？问题(2a)2＝2a·2a根据乘方的意义，

＝(2×2)·(a·a)

＝4a2（m2）．

用同样的方法，你会计算(ab)2和(ab)3吗？所以，扩大后新花坛的面积是

4a2

m2．(ab)2＝(ab)(ab)

＝(a·a)·(b·b)

＝a2b2．(ab)3＝(ab)(ab)(ab)

＝(a·a·a)·(b·b·b)

＝a3b3．你发现了什么规律？猜想：积的乘方等于各乘数乘方的积．你能说明这个猜想是正确的吗？一般地，设n

是正整数，a，b是任意底数，(ab)n＝(ab)·(ab)·

…·(ab)＝(a·a·

…·a)·(b·b·

…·b)n个ab＝anbn．n个an个b乘方的意义乘法运算律乘方的意义于是，我们就得到积的乘方的运算法则：(ab)n＝anbn（n是正整数）．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．当乘数的个数大于等于3时，这个运算法则还成立吗？(abc)n＝(abc)·(abc)·

…·(abc)当

n是正整数，a，b，c是任意底数时，n个abc

＝(a·a·

…·a)·(b·b·

…·b)·(c·c·…·c)n个an个bn个c

＝anbncn．(abc)n＝anbncn（n是正整数）．有时为了简便运算，需要用到积的乘方的逆运算：如何简便计算82×(0.125)2？anbn

＝(ab)n（n是正整数）．82×(0.125)2怎么用积的乘方的逆运算呢？82×(0.125)2＝(8×0.125)2＝12

＝1．思考例4

计算：

（1）(2a)3；（2）(－5b)3；（3）(xy2)2；（4）(－2x3y)4．解：（1）(2a)3＝23·a3＝8a3；＝－125b3；

(－5)3·b3（2）(－5b)3＝

＝x2y4；x2·(y2)2（3）(xy2)2＝＝16x12y4．（4）(－2x3y)4＝(－2)4·(x3)4·y4运用积的乘方的运算法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是不要漏掉字母的系数的乘方．（1）(5ab2)3；

（2）(2×102)2；（3）(－3×103)3；（4）[m(n＋3)]9．例5计算：解：（1）(5ab2)3＝53·a3·(b2)3＝125a3b6；（2）(2×102)2＝22×(102)2＝4×104；（3）(－3×103)3＝(－3)3×(103)3＝－27×109＝－2.7×1010；（4）[m(n＋3)]9＝m9(n＋3)9．anbn

＝(ab)n（n是正整数）中的“a”和“b”可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式．例6如何简便计算0.042022×[(－5)2022]2？＝(0.22)2022×54044＝0.24044×54044＝(0.2×5)4044＝14044

0.042022×[(－5)2022]2＝1．解法一：＝0.042022×[(－5)2]2022＝(0.04×25)2022＝12022＝1．＝0.042022×252022

0.042022×[(－5)2022]2解法二：逆用积的乘方公式anbn＝(ab)n时，要灵活运用．对于不符合公式的形式，要通过恒等变形将其转