2021届湖北省宜昌市高三上学期二月联考数学试题

2021年宜昌市高三年级二月联考数学试卷本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.设全集，集合，集合，则（）A. B. C. D.2.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布，且．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（）A.100 B.125 C.150 D.3.已知双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4.若两个非零向量、满足，则与夹角为（）A. B. C. D.5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.攒尖是古代中国建筑中屋顶一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（）A. B. C. D.7.已知，，直线，，且，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.8.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（Platonicsolids）．某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为（）A.30 B.20 C.12 D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．9.下列命题中，正确的命题有（）A.函数与是同一个函数B.命题“，”的否定为“，”C.已知，则“”是“”的充分不必要条件D.若函数，则10.已知函数，则（）A.的最小正周期是B.的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到C.是的一条对称轴D.的一个对称中心是11.已知，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.12.如图，在边长为2正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点），且．将、分别沿DE．DF折起，使A、C两点重合于点，则下列结论正确的有（）A.B.当时，三棱锥外接球的表面积为C.当时，三棱锥的体积为D.当时，点到平面DEF的距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知是虚数单位，则__________．14.若函数的图像过定点P，且点P在幂函数的图像上，则__________．15.若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________．过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________．16.某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列的前n项和为，且，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，．（1）求；（2）如图，M为边AC上一点，且，，求的面积．19.在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，E为BC的中点，设Q为PC上一点．（1）求证：；（2）若直线EQ与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角的余弦值．20.某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分的分布列和期望；（3）求这位参赛者闯关成功的概率．21.已知点A、B坐标分别是，，直线AP、BP相交于点P，且它们斜率之积是．（1）试求点P的轨迹的方程；（2）已知直线，过点的直线（不与x轴重合）与轨迹相交于M．N两点，过点M作于点D．求证：直线ND过定点，并求出定点的坐标．22.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若，且，求证：．2021年宜昌市高三年级二月联考数学试卷（答案版）本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.设全集，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C2.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布，且．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（）A.100 B.125 C.150 D.【答案】D3.已知双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B4.若两个非零向量、满足，则与夹角为（）A. B. C. D.【答案】D5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A6.攒尖是古代中国建筑中屋顶一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（）A. B. C. D.【答案】D7.已知，，直线，，且，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】A8.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（Platonicsolids）．某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为（）A.30 B.20 C.12 D.【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．9.下列命题中，正确的命题有（）A.函数与是同一个函数B.命题“，”的否定为“，”C.已知，则“”是“”的充分不必要条件D.若函数，则【答案】BD10.已知函数，则（）A.的最小正周期是B.的图像可由函数的图像向左平移个单位而得到C.是的一条对称轴D.的一个对称中心是【答案】AB11.已知，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ACD12.如图，在边长为2正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点），且．将、分别沿DE．DF折起，使A、C两点重合于点，则下列结论正确的有（）A.B.当时，三棱锥外接球的表面积为C.当时，三棱锥的体积为D.当时，点到平面DEF的距离为【答案】ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知是虚数单位，则__________．【答案】14.若函数的图像过定点P，且点P在幂函数的图像上，则__________．【答案】15.若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________．过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________．【答案】(1).(2).16.某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是__________．【答案】四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列的前n项和为，且，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.18.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，．（1）求；（2）如图，M为边AC上一点，且，，求的面积．【答案】（1）；（2）.19.在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，E为BC的中点，设Q为PC上一点．（1）求证：；（2）若直线EQ与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.20.某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分的分布列和期望；（3）