2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2＝0 B．x+3y＝1 C．x2+2x+1＝0 D．2．（3分）在同一平面内，已知⊙O的半径是5，点A到圆心的距离为4，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，BD＝3，DE＝2，则BC的长是（）A．3 B．92 C．5 D．4．（3分）如图，点B，C，D在⊙O上，∠BOC＝120°，点A是BC的中点，则∠BDA的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+4＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（3分）如图是甲，乙两射击运动员的5次射击训练成绩的折线统计图．已知甲，乙两名运动员5次射击训练的平均成绩相同，均为8环．则在这5次训练中，哪位运动员的发挥更稳定？（）A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．一样稳定 D．无法判断7．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（）A．332 B．22 C．28．（3分）如图，⊙O是△ADB，△BDC的外接圆，∠DBC＝2∠ADB，若AB＝25，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．25 B．5 C．112 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）方程x2＝9的根是．10．（3分）在杭州亚运会的跳水比赛中，对某运动员的第一个动作，8位裁判的打分如下（单位：分）：9，8.5，7.5，8.5，8.5，7.5，7，8，这组数据的极差是．11．（3分）若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于．12．（3分）如图是一个照相机成像的示意图．如果AB为35mm，点O到AB的距离是70mm，那么拍摄7m外的景物A'B'的长度是米．13．（3分）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x12+3x214．（3分）如图，点E是△ABC的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于12FG长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线CK，BH与CK交于点D．连接AD，连接BE，若∠CAD＝38°，则∠EBC的度数为15．（3分）如图，直线AB，CD交于点F，∠AFC＝45°，点E是AF上一点，EF＝10cm，点O从点E出发，以1cm/s的速度沿射线EB运动．以点O为圆心，23OE长为半径作⊙O，若点O运动的时间为t，当⊙O与直线CD相切时，则t的值为16．（3分）在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（8，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为．三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）解方程：（1）x2﹣6x＝0；（2）3x（x﹣2）＝x﹣2．18．（6分）已知关于x的方程x2﹣6x﹣m＝0的一个根是﹣2，求它的另一个根和m的值．19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE＝2BE，AE交BD于点F．（1）求BFDF（2）△BEF与△DAF的面积的比为．20．（6分）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长（单位：小时）的情况，对全班40名学生进行问卷调查．所得的结果如图所示．（1）这40名学生上周阅读时间的众数为小时，中位数为小时；（2）求这40名学生上周在家阅读的平均时长？21．（6分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在AD上的点F处．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．22．（8分）如图，⊙O的圆心O与正三角形ABC的中心重合，已知⊙O的半径和扇形ABC的半径都是63（1）若将扇形ABC围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．①求扇形ABC的弧长；②则h的值为；（2）⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值为．23．（6分）定义新运算“⊕”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]⊕[q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[2，3]⊕[4，5]＝2×5+3×4＝22．（1）求关于x的方程[x2，x﹣1]⊕[3，1]＝0的根；（2）若关于x的方程[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．24．（6分）如图，直线AE经过⊙O上的一点A，⊙O是△ADC的外接圆，AB是⊙O的直径，CH⊥AE于点H，点D是AB的中点，∠ADC＝∠EAC．取AD的中点F，连接BF．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）若CH＝2，AC＝5，求BF的长．25．（8分）为扎实推进乡村振兴战略，苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会．据统计，灯会开幕后第一周的游客人数为1.2万人，第三周的游客人数为2.7万人．（1）若从第一周到第三周，每周游客人数的平均增长率都相同，求这个平均增长率．（2）村里的猕猴桃成本为3元/个，平时按5元/个出售，每天可售出1000个．灯会期间为了保证猕猴桃的供应，村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售．若这种猕猴桃的销售价每提高0.5元其销售量就减少50个，且每个猕猴桃的销售价不超过10元，问每个售价定为多少元时，才能使每天利润为3200元？26．（10分）已知矩形ABCD中，BC＝8cm，点G是对角线AC上一点，且CG=5cm，点H是边AB中点，点F从点A出发，沿A﹣B﹣C方向运动，速度为3cm/s，点E从点A出发，沿A﹣D方向运动，速度为1cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为x．若△FHG面积记为S1，△HEG面积记为S2，△FEG面积记为S3．当点F运动到点G的正上方时，E，F（1）如图①，点F在线段AB（包含端点）上运动时，S1与x的函数图象如图②所示，则AB的长为cm；（2）在（1）的条件下，如图③，点F在线段BC上运动：①若EF＝25cm，求此时x的值；②若S2•S3＝68，求此时x的值．27．（10分）如图①所示，已知AB是⊙O的直径，点C在半径OA上，点D，点F是圆上的点，CD∥OF，点E是半径OB的中点，DE与OF交于点G，连接BG，BF．（1）如果DC⊥AB，连接OD，如图②所示；①则∠F的度数为°；②若∠DOF＝∠DEC，CO＝6，求线段OE的长；（2）若OB＝BG，BE＝CO，求OGOF

2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2＝0 B．x+3y＝1 C．x2+2x+1＝0 D．【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、x﹣2＝0，是一元一次方程，故A不符合题意；B、x+3y＝1，是二元一次方程，故B不符合题意；C、x2+2x+D、x2＝1是一元二次方程，故D符合题意；故选：D．2．（3分）在同一平面内，已知⊙O的半径是5，点A到圆心的距离为4，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法对点A与⊙O的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5，OA＝4，∴点A到圆心的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选：A．3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，BD＝3，DE＝2，则BC的长是（）A．3 B．92 C．5 D．【分析】由DE∥BC，可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质，即可求出BC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴BCDE=AB∴BC＝5．故选：C．4．（3分）如图，点B，C，D在⊙O上，∠BOC＝120°，点A是BC的中点，则∠BDA的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】连接OA，由圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠AOC＝60°，由圆周角定理即可求出∠BDA=12∠【解答】解：连接OA，∵点A是BC的中点，∴∠AOB＝∠AOC，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB=12∠∴∠BDA=12∠故选：A．5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+4＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围，在m的范围内即可判断．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×4＞0，解得：m＞2.5或x＜﹣1.5，取m＝﹣2，故选：D．6．（3分）如图是甲，乙两射击运动员的5次射击训练成绩的折线统计图．已知甲，乙两名运动员5次射击训练的平均成绩相同，均为8环．则在这5次训练中，哪位运动员的发挥更稳定？（）A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．一样稳定 D．无法判断【分析】从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，最后作出判断即可．【解答】解：由图中知，甲的成绩为8，9，8，7，8，乙的成绩为10，7，8，6，9，甲的平均成绩：（8+9+8+7+8）÷5＝8，甲的方差S甲2＝[3×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2]÷5＝0.4，乙的平均成绩：（10+7+8+6+9）÷5＝8，乙的方差S乙2＝[（10﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2]÷5＝2，∴S2甲＜S2乙．故甲更稳定．故选：A．7．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（）A．332 B．22 C．2【分析】作AC⊥OB于C，利用等腰直角三角形的性质求出△AOB的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题．【解答】解：如图，作AC⊥OB于C，∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，∴∠AOB＝45°，OA＝1，∴AC=2∴△AOB的面积为12∴正八边形面积为8×2∴π的估计值为22，故选：B．8．（3分）如图，⊙O是△ADB，△BDC的外接圆，∠DBC＝2∠ADB，若AB＝25，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．25 B．5 C．112 【分析】连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，交CD于点F，交⊙O于点E，根据圆心角、弧、弦的关系求出DE，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，交CD于点F，交⊙O于点E，则∠DOE=12∠DOC，DF=∵∠DBC＝2∠ADB，∴∠DOC＝2∠AOB，∴∠DOE＝∠AOB，∴DE＝AB＝25，∴EF=D设⊙O的半径为r，在Rt△ODF中，OD2＝DF2+OF2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得：r＝5，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）方程x2＝9的根是x1＝3，x2＝﹣3．【分析】利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：x2＝9，x＝±3，所以x1＝3，x2＝﹣3．故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．10．（3分）在杭州亚运会的跳水比赛中，对某运动员的第一个动作，8位裁判的打分如下（单位：分）：9，8.5，7.5，8.5，8.5，7.5，7，8，这组数据的极差是2．【分析】根据极差的公式：极差＝最大值﹣最小值．找出所求数据中最大的值9，最小值7，再代入公式求值．【解答】解：∵数据中最大的值9.7，最小值8，∴极差＝9﹣7＝2．∴这组数据的极差是2．故答案为：2．11．（3分）若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于18π．【分析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．【解答】解：圆锥的侧面积＝6×6π÷2＝18π．故答案为：18π．12．（3分）如图是一个照相机成像的示意图．如果AB为35mm，点O到AB的距离是70mm，那么拍摄7m外的景物A'B'的长度是3.5米．【分析】根据题意得出相似三角形，进而利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：过O作OH⊥AB于H，延长HO交A′B′于H′，∵AB∥A′B′，∴OH′⊥A′B′，∴△ABO∽△A′B′O，∴ABA′B′∴35A′B′解得：A′B′＝3.5，答：拍摄7m外的景物A'B'的长度是3.5米，故答案为：3.5．13．（3分）设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x12+3x2【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，根据方程解的定义得x12−3x1+1＝0，即x1【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2＝3，x12−3∴x12=3∴x12+3＝3x1﹣1+3x2+3＝3（x1+x2）+2＝9+2＝11．故填空答案：11．14．（3分）如图，点E是△ABC的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于12FG长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点K．作射线BH，射线CK，BH与CK交于点D．连接AD，连接BE，若∠CAD＝38°，则∠EBC的度数为【分析】连接EC，求出∠BEC，再利用等腰三角形的性质求解．【解答】解：连接EC．由作图可知，AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC＝76°，∵点E是△ABC的外心，∴∠BEC＝2∠BAC＝152°，EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB=1故答案为：14．15．（3分）如图，直线AB，CD交于点F，∠AFC＝45°，点E是AF上一点，EF＝10cm，点O从点E出发，以1cm/s的速度沿射线EB运动．以点O为圆心，23OE长为半径作⊙O，若点O运动的时间为t，当⊙O与直线CD相切时，则t的值为6或30【分析】当O点在F点左侧与⊙O相切时，作OH⊥CD于H点，如图，根据切线的性质得到OH=23OE，再根据等腰直角三角形的性质得到OF=23OE，则OE＝10−23OE，解方程求出OE，然后计算此时t的值；当O点在F点右侧与⊙O相切时，作O′H′⊥CD于H′点，如图，同样得到O′H′=23OE′，O′F=23O′E，则O′E＝10+【解答】解：当O点在F点左侧与⊙O相切时，作OH⊥CD于H点，如图，∴OH=23∵∠AFC＝45°，∴OF=2OH=2×2∴EO＝EF﹣OF，∴OE＝10−23解得OE＝6，此时t=6当O点在F点右侧与⊙O相切时，作O′H′⊥CD于H′点，如图，∴O′H′=23∵∠DFB＝∠AFC＝45°，∴O′F=2O′H′=2×23O′E∴EO′＝EF+O′F，∴O′E＝10+23O′解得O′E＝30，此时t=30综上所述，t的值为6秒或30秒．故答案为6或30．16．（3分）在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（8，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为（2，23）【分析】根据∠ACB＝60°得出点C的运动轨迹，再由BC最长即可解决问题．【解答】解：因为A（2，0），B（8，0），且∠ACB＝60°，所以可构造出以∠ACB为圆周角的圆．如图所示，当点C在BP的延长线与⊙P的交点处时，BC取得最大值，即为⊙P的直径．因为BC为⊙P的直径，所以∠CAB＝90°，又AB＝8﹣2＝6，且∠ACB＝60°，则在Rt△ABC中，tan∠ACB=AB即3=所以AC=23因此点C的坐标为（2，23故答案为：（2，23三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）解方程：（1）x2﹣6x＝0；（2）3x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x＝0，x（x﹣6）＝0，∴x＝0或x﹣6＝0，∴x1＝0，x2＝6；（2）3x（x﹣2）＝x﹣2，3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣1＝0．∴x1＝2，x2=118．（6分）已知关于x的方程x2﹣6x﹣m＝0的一个根是﹣2，求它的另一个根和m的值．【分析】先把x＝﹣2代入方程得m＝16，则方程化为x2﹣6x﹣16＝0，然后利用根与系数的关系即可求得方程的另一个根．【解答】解：把x＝﹣2代入方程得4+12﹣m＝0，解得m＝16，方程化为x2﹣6x﹣16＝0，设方程的另一根为x2，则﹣2+x2＝6，解得x2＝8，即方程的另一个根为8，m的值为16．19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE＝2BE，AE交BD于点F．（1）求BFDF（2）△BEF与△DAF的面积的比为19【分析】（1）利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵CE＝2BE，∴BE=13∴BE=13∵AD∥BC，∴△BFE∽△DFA，∴BFDF（2）由（1）知：△BFE∽△DFA，∴△BEF与△DAF的面积的比=(BE故答案为：1920．（6分）阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长（单位：小时）的情况，对全班40名学生进行问卷调查．所得的结果如图所示．（1）这40名学生上周阅读时间的众数为7小时，中位数为6.5小时；（2）求这40名学生上周在家阅读的平均时长？【分析】（1）利用众数及中位数的定义确定答案即可；（2）利用平均数的计算方法求得答案即可．【解答】解：（1）∵40名学生中阅读时间为7小时的有15人，最多，∴众数为7小时；中位数为第20和21名学生阅读的平均数，即6+72故答案为：7，6.5；（2）40名学生上周在家阅读的平均时长=10×5+10×6+15×7+5×821．（6分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿着BE翻折，点C恰好落在AD上的点F处．（1）求证：△ABF∽△DFE；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定方法，可以证明结论成立；（2）根据勾股定理，可以求得BF的长，再根据折叠的性质和相似三角形的性质可以得到EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠ABF＝90°，由折叠的性质，可知∠AFE＝∠C＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝10，∴BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，∵∠A＝90°，∴AF=B∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，由（1）知：△ABF∽△DFE，∴BFFE即10FE解得EF=1022．（8分）如图，⊙O的圆心O与正三角形ABC的中心重合，已知⊙O的半径和扇形ABC的半径都是63（1）若将扇形ABC围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．①求扇形ABC的弧长；②则h的值为105；（2）⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值为63−6【分析】（1）①直接根据弧长公式计算即可；②求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出h的值；（2）连接OB交⊙O于点D，则BD的长是⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值．【解答】解：（1）①60π×63180=2答：扇形ABC的弧长为23π；②∵圆锥的底面半径为23∴圆锥的高h=(6故答案为：105；（2）如图，连接OB交⊙O于点D，作OE⊥BC于点E，则BD的长是⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值，∵O是正三角形ABC的中心，∴BE=12BC＝33，∠∴OB=BE∴BD＝OD﹣OB＝63−∴⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值为63−故答案为：63−23．（6分）定义新运算“⊕”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]⊕[q，n]＝mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[2，3]⊕[4，5]＝2×5+3×4＝22．（1）求关于x的方程[x2，x﹣1]⊕[3，1]＝0的根；（2）若关于x的方程[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0有两个实数根，求k的取值范围．【分析】（1）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，解方程即可．（2）由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．【解答】解：（1）∵[x2，x﹣1]⊕[3，1]＝0，∴x2+3（x﹣1）＝0，∴x2+3x﹣3＝0，∴Δ＝32﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，∴x=−3±∴x1=−3+212，x（2）∵[x2+1，x]⊕[1﹣2k，k]＝0，∴（x2+1）k+x（1﹣2k）＝0，整理得：kx2+（1﹣2k）x+k＝0，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（1﹣2k）2﹣4k•k≥0，k≠0，解得：k≤14且24．（6分）如图，直线AE经过⊙O上的一点A，⊙O是△ADC的外接圆，AB是⊙O的直径，CH⊥AE于点H，点D是AB的中点，∠ADC＝∠EAC．取AD的中点F，连接BF．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）若CH＝2，AC＝5，求BF的长．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理及其推论推出∠EAB＝90°即可；（2）连接DO、BC，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证△ACH∽△BAC，再根据“相似三角形的对应边的比相等“求出AB的长，由“点D为AB的中点”、“F为AD中点”推出DF=12AD=12BD，在Rt△ABD中由勾股定理求出BD2，最后在Rt△【解答】解：（1）证明：如图，连接BD，∵AB为⊙O的直径．∴∠ACB＝90°，∴∠CDB+∠CDA＝90°∵∠CDA＝∠EAC，∠CDB＝∠CAB，∴∠CAB+∠EAC＝90°，即∠EAB＝90°，.∴EA⊥AB∴AE为⊙O的切线；（2）如第（1）题图，连接DO、BC，∵CH⊥AE，∴∠CHA＝90°，∠CHA＝∠ACB＝90°，∵∠CAH＝∠CBA．∴△ACH∽△BAC，∴ACAB=CH∴AB=25∵点D为AB的中点，∴AD=∴AD＝BD，∵F为AD中点，∴DF=12AD=∵AB为⊙O的直径．∴∠ADB＝90°，∴2BD∴BD2∵BD2+DF2＝BF2，∴(1∴BF2∴BF2∴BF=2525．（8分）为扎实推进乡村振兴战略，苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会．据统计，灯会开幕后第一周的游客人数为1.2万人，第三周的游客人数为2.7万人．（1）若从第一周到第三周，每周游客人数的平均增长率都相同，求这个平均增长率．（2）村里的猕猴桃成本为3元/个，平时按5元/个出售，每天可售出1000个．灯会期间为了保证猕猴桃的供应，村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售．若这种猕猴桃的销售价每提高0.5元其销售量就减少50个，且每个猕猴桃的销售价不超过10元，问每个售价定为多少元时，才能使每天利润为3200元？【分析】（1）设每周游客人数的平均增长率为x，利用灯会开幕后第三周的游客人数＝灯会开幕后第一周的游客人数×（1+每周游客人数的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设每个售价定为y元，则每个的销售利润为（y﹣3）元，每天可售出（1500﹣100y）个，利用每天销售这种猕猴桃的总利润＝每个的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）设每周游客人数的平均增长率为x，根据题意得：1.2（1+x）2＝2.7，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）．答：每周游客人数的平均增长率为50%；（2）设每个售价定为y元，则每个的销售利润为（y﹣3）元，每天可售出1000﹣50×y−50.5=根据题意得：（y﹣3）（1500﹣100y）＝3200，解得：y2﹣18y+77＝0，解得：y1＝7，y2＝11（不符合题意，舍去）．答：每个售价应定为7元．26．（10分）已知矩形ABCD中，BC＝8cm，点G是对角线AC上一点，且CG=5cm，点H是边AB中点，点F从点A出发，沿A﹣B﹣C方向运动，速度为3cm/s，点E从点A出发，沿A﹣D方向运动，速度为1cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为x．若△FHG面积记为S1，△HEG面积记为S2，△FEG面积记为S3．当点F运动到点G的正上方时，E，F（1）如图①，点F在线段AB（包含端点）上运动时，S1与x的函数图象如图②所示，则AB的长为4cm；（2）在（1）的条件下，如图③，点F在线段BC上运动：①若EF＝25cm，求此时x的值；②若S2•S3＝68，求此时x的值．【分析】（1）根据两个图象的对比，可以找到当x=23时，点F与（2）分别作出直角三角形，利用相似求边长，再用x表示出三角形的面积，即可求得．【解答】解：（1）由图②可知，当x=23时，点F运动到了点∴AF=2∴AH＝2，∴AB＝2AH＝4（cm）．故答案为：4．（2）①如图3，过点F作FI⊥AD于点I．∵FI⊥AD，∴∠FIE＝90°，∵AE